經由脈沖式爆炸連接的復合式張弛振蕩*

宋錦 魏夢可 姜文安 張曉芳 韓修靜 畢勤勝

(江蘇大學土木工程與力學學院, 鎮江 212013)

張弛振蕩現象普遍存在于自然科學以及工程技術的各個領域, 探索張弛振蕩的可能路徑是張弛振蕩研究的重要問題之一.最近, 一種名為“脈沖式爆炸”(pulse-shaped explosion, PSE)的可以誘發張弛振蕩的新機制被相繼報道.PSE意味著平衡點和極限環表現出了與參數變化相關的脈沖式急劇量變, 這導致系統出現急劇轉遷現象, 進而誘發張弛振蕩.本文以多頻激勵Mathieu-van der Pol-Duffing系統為例, 探討了復合式的張弛振蕩現象.當參數激勵和外部激勵存在相位差時, 快子系統包含了兩個不同的向量場部分, 由此得到了系統的雙穩定特性.特別地, 在狹小的參數范圍內, 分岔會隨著PSE的產生而產生, 這使得PSE更具復雜性.基于此, 揭示了兩種復合式的張弛振蕩, 其特征是每一周期的演化過程包含了由PSE連接的兩個張弛振蕩簇.我們的研究深化了對PSE及張弛振蕩復雜動力學行為的理解.

1 引 言

從生物到化學, 從物理到大氣科學, 多尺度耦合效應問題[1?4]普遍存在, 例如神經元系統的信息傳遞[5]、生物代謝過程中的變構效應[6]、輸電塔與塔線之間的耦合振動問題[7]以及減速器系統的復雜振動問題[8]等.一般地, 多尺度耦合作用下的非線性系統往往能夠表現出復雜的動力學特性, 如張弛振蕩.張弛振蕩是一類復雜的振蕩模式, 其特征是在每一周期的演化過程中可以觀測到大幅振蕩和小幅振蕩的相互交替.

張弛振蕩的動力學機理問題是張弛振蕩研究的重要問題之一.從1963年諾貝爾獎獲得者Hodgkin和Huxley[9,10]在研究神經元放電過程建立的數學模型開始, 張弛振蕩就逐漸受到了學者們的關注,而后Rinzel提出的快慢分析法[11,12]為研究張弛振蕩提供了理論框架.快慢分析法在使用時需將多尺度系統分解為維數較低的快、慢子系統.然而, 在系統降維分解的過程中, 通常會涉及到信息損失,損失的信息可采用雙尺度數學[13]加以分析.基于快慢分析法, 諸如 Canard 現象[14?16], Shilnikov 同宿軌的失穩[17?20], Hopf分岔[21?24]以及經由延遲分岔的慢通道效應[25?27]等多種路徑先后被揭示與張弛振蕩的產生有關.

“脈沖式爆炸”(pulse-shaped explosion, PSE)是最近報道的一種可以誘發張弛振蕩的新機制, 其特征是在平衡點/極限環的解支上出現了與參數的變化相關的脈沖狀的急劇量變[28].現有的研究表明, PSE的產生通常與不同激勵的頻率關系有關;特別地, 激勵頻率比增加能夠導致PSE數量的增加[29].本文考慮一個由 Mathieu[30,31]和 van der Pol-Duffing 振蕩器[32?35]耦合的非線性方程, 即Mathieu-van der Pol-Duffing 方程 (MVD):

其中 β1cos(ωt) 和 β2cos(ωt+ θ) 為系統的參數激勵和外部激勵, 且激勵頻率 ω 遠小于系統的固有頻率ω0.系統(1)是一類典型的非線性振動方程, 可采用同倫攝動法[36]、變分迭代法[37]以及指數函數法[38]等等多種解析方法加以分析.特別地, 幅頻關系問題是非線性振動研究的重要問題, 系統(1)的振動頻率可以采用文獻[39]提出的最簡方法加以估算.此外, 注意到系統(1)含有多個參數, 參數的變化往往會引起系統行為的定性變化[40], 而不同參數之間的耦合作用關系可以考慮采用雙參數同倫攝動法[41]加以探討.

本文焦注于系統(1)的PSE及其誘導的張弛振蕩.我們發現, 在一定的條件下系統會產生復合式的張弛振蕩(見圖1).我們分析系統在相位差作用下的雙穩定性和PSE現象, 由此揭示復合型張弛振蕩的產生機制.研究表明, 系統在每個周期的演化過程中, 先后產生了由PSE連接的兩個張弛振蕩簇, 由此形成了所謂的復合式的張弛振蕩.

2 相位差下的雙穩定性和PSE現象

注意到本文所考慮的激勵頻率遠遠小于系統的固有頻率.因此, 系統的激勵項 c os(ωt) 和cos(ωt+ θ)在較慢的尺度上演化, 而原系統在較快的尺度上演化, 即系統(1)是一個典型的含有兩個慢變量的快慢系統.根據文獻[42]提出的分析方法, 即頻率轉換快慢分析法, 可將系統(1)轉化為僅含一個慢變量的快慢系統.然后, 通過分析轉化后的快慢系統,進而可以揭示原系統中張弛振蕩的動力學機制.

下面, 采用頻率轉換快慢分析法對系統(1)進行分析.令外部激勵 c os(ωt+ θ)= ω 為基準慢變量.對于固定的相位差 θ =?π/2 , 可得cos(ωt+ θ)=sin(ωt)= ω.另一方面, 注意到故轉化后的快慢系統的快子系統可以表示為:

顯然, 快子系統(2)的平衡點可以表示為E(x,0), 其中 x 由方程

的實根決定.在本文的研究中, 取定參數 δ >0 和β1>0.在方程 (3a)中, 注意到關系式

恒成立, 因此子系統(2a)始終存在一個平衡點.而對于方程 (3b), 當時,

恒成立.此時, 子系統 (2b)存在唯一的平衡點.特別地, 當時, 快子系統(2b)不存在平衡點.

2.1 相位差下的雙穩定性

當系統僅含一個吸引子時, 系統表現出所謂的單穩定性; 而當兩個或兩個以上吸引子共存時, 便得到了雙穩定性或多穩定性[43,44].對于本文所考慮的系統來說, 在相位差的作用下, 其快子系統被分解為由方程(2a)和(2b)決定的兩個部分.而每個向量場部分都可能會產生吸引子, 因此相位差的存在可能會誘發快子系統的雙穩定性.

為了揭示相位差下的雙穩定性, 作出快子系統(2)關于 ( ω,α) 參數平面的分岔集(見圖2), 系統參數的取值與圖1相同.此外, 為了清晰地展示各向量場部分的穩定性和分岔行為, 將分岔集切分為對應于子系統(2a)和(2b)的兩個部分, 并分別繪制于圖2(a)和圖2(b)中.

如圖2所示, 參數平面 ( ω,α) 被直線α=0.466和 α =0.333 劃分為 A, B, C 三個區域.首先, 考慮參數 α 屬于區域A的情形(即 α >0.466 ).以α=1.5時的情形為例, 當w從–1開始逐漸增大時(對應圖2(a)), 系統僅含唯一的一個吸引子, 即極限環吸引子(見圖3(a1)), 且該吸引子無分岔行為的發生.當w增大到1之后, 便逐漸減小.此時, 系統從向量場(2a)切換到(2b).隨著w的逐漸減小, w將依次穿越8條分岔曲線, 發生8次分岔(見圖3(a2)).

圖1 系統 (1) 中典型的復合式張弛振蕩 (a) α =1.5 ; (b) α =0.4 ; (c) α =0.2.其他參數固定在 γ =4 , δ =1.00 , β1=0.99 ,β2=1, ω =0.01 和 θ=?π/2Fig.1.Typical compound relaxation oscillations in system (1): (a) α =1.5 ; (b) α =0.4 ; (c) α =0.2.Other parameters are fixed at γ =4 , δ =1 , β1=0.99 , β2=1 , ω =0.01 and θ =?π/2.

圖2 (a)子系統 (2a)和 (b)子系統 (2b)在參數平面 ( w,α) 上的分岔集.其中 GH 為廣義 Hopf分岔 SubH 為亞臨界 Hopf分岔,SupH為超臨界Hopf分岔, LPC為極限環的分岔.系統參數的取值與圖1相同Fig.2.Bifurcation sets of the subsystem (2a) (a) and (2b) (b) in the parameter plane ( w,α).Here GH represent the generalized Hopf bifurcation, SubH represent the subcritical Hopf bifurcation, SupH represent the supercritical Hopf bifurcation, LPC represent the limit point cycle bifurcation.The values of system parameters are the same as those in Fig.1.

然后 , 以 α =0.4 為例, 考慮參數 α 屬于區域B時(即 0.333<α<0.466 )的情形.當w從–1逐漸增大時, 系統將先后產生4次分岔, 即極限環的fold分岔, 亞臨界 Hopf分岔, 亞臨界 Hopf分岔, 極限環的 fold 分岔 (見圖3(b1)).隨后, w 開始減小, 系統切換到了向量場(2b).接著, 與區域B中的4條分岔曲線相關的4種分岔行為依次發生(見圖3(b2)).

最后, 考慮參數 α 屬于區域C時(即 α <0.333 )的情形.以 α =0.2 為例, 當系統由向量場 (2a) 支配時, w將兩次穿越超臨界Hopf分岔值(見圖3(c1));而當系統由向量場(2b)支配時, w也將兩次穿越超臨界Hopf分岔值(見圖3(c2)).

綜上, 相位差的存在使得快子系統被切割為(2a)和 (2b)兩部分.圖3給出了子系統 (2a)和(2b)在各參數區域中典型的穩定性和分岔行為.可以發現, 不論是子系統 (2a), 還是 (2b), 它們均表現出了單穩態的動力學特性.另一方面, 注意到子系統(2a)和(2b)聯合構成了快子系統(2), 因此快子系統(2)呈現出了因相位差的存在而誘發的雙穩定性.

2.2 相位差下的PSE現象

考慮到系統(2b)中, β1在1附近時存在臨界峰值.為了更加深入地揭示系統的PSE行為, 固定參數 α =1.5 , 其他系統參數同圖1(a).對轉換后的快子系統(2b)作關于 ( ω,β1) 參數平面的分岔集(如圖4 所示), 的確, 當 β1在 1 附近時系統會產生不同的分岔行為.為了定性分析快子系統(2b)的分岔行為, 固定其他參數, 僅改變 β1, 分別取定β1分別為 1.1, 1, 0.99 作關于 ( ω,x) 相平面的分岔圖,如圖5(a),圖5(b)和圖3(a2)所示.

3 復合型張弛振蕩

已經分析了相位差下系統的雙穩定性和PSE現象.本部分探討與此相關的張弛振蕩的產生.兩類復合式的張弛振蕩模式, 即“subHopf/fold-cycle”型和“subHopf/subHopf”型將被揭示.

圖4 子系統 (2b)在參數平面 ( w,β1) 上的分岔集.其他參數的取值與圖1(a)相同Fig.4.Bifurcation sets of the subsystem (2b) in the parameter plane ( w,β1).The values of other parameters are the same as those in Fig.1(a).

圖5 為子系統 (2b)的分岔圖 (a) β1=1.1 ; (b) β1=1.其他參數的取值與圖1(a)相同Fig.5.Bifurcation diagrams of the subsystem (2b): (a) β1=1.1; (b) β1=1.The values of other parameters are the same as those in Fig.1(a).

3.1 復合式subHopf/fold-cycle型

由于快子系統被劃分為對應于不同動力學行為的三個參數區域, 因此當參數取在不同的區域時可能會產生不同的張弛振蕩模式.本部分探討復合式 subHopf/fold-cycle 型張弛振蕩, 它與參數 α 取在區域A和B有關.首先考慮 α 取在區域A的情形, 即情形 A.

情形 A為了便于分析, 固定 γ =4 , δ =1 ,ω=0.01, β1=0.99 , β2=1 , 圖2 給出了 ( ω,α) 參數平面上的分岔集.如圖2 所示, 當 α >0.466 時,在所考慮的參數間隔內不同的 α 不會產生定性的變化.因此取定 α =1.5 為情形A.通過數值模擬可得到時間歷程圖, 如圖1(a)所示, 在每個周期內,此時系統表現為: 在兩個大幅振蕩簇之間存在一個正負雙向PSE.

為了更好地揭示該系統的動力學行為, 對系統(1)進行快慢分析并引入轉換相圖, 令cos(ωt+ θ)=sin(ωt)= ω, 由于在該多頻激勵系統中, 慢變參數均可以用關于w的代數式表示.從而原系統又可以表示為快子系統(2).將 s in(ωt)= ω 作為分岔參數, 在 ( ω,x) 相平面上作分岔圖與慢子系統的轉換相圖的疊加圖, 由于在該多頻激勵系統中還存在著參數激勵 c os(ωt) , 在用含有w的參數表示時, 原系統的分岔圖及轉換相圖應由兩部分組成, 如圖6所示.在系統 (2) 中, α =1.5 為對應的情形 A.

結合單周期時間歷程圖6(c)可知, 在系統(2a)中, 當慢變量 s in(0.01t) 從–1 到 1 逐漸增大時,對應時間歷程圖6(c)左側, 軌線始終被穩定的極限環吸引產生大幅振蕩(見圖6(a)).如圖6(b)所示, 當慢變量 s in(0.01t) 達到其最大值 1 時, 慢變量開始減小, 對應時間歷程圖5(c)右側.結合圖6(b)所示, 即在圖6(b)中最右側, 軌線仍舊被穩定的極限環吸引產生大幅振蕩.當慢變量減小到LPC1分岔點時, 極限環失穩脫離原來的軌道, 隨著軌線繼續運動, 運動到SubH1分岔點, 軌線由極限環吸引子轉遷到平衡點吸引子.極限環吸引子消失, 從而導致了大幅振蕩的消失和小幅振蕩的開始, 即系統由激發態向沉寂態轉遷.特別地, 分析結果表明,此時平衡點類型為結點, 故系統軌線向極限環收斂的速度非常快, 之后軌線沿著穩定的平衡點運動,根據數值模擬的分岔情況可知, 軌線應該在SubH1分岔點沿著穩定的平衡線向左運動后應該接著運動到SubH2分岔點時, 開始沿著不穩定的極限環起振直至運動到LPC2分岔點產生極限環的fold分岔.吸引子變成穩定的極限環, 繼續向左運動.當慢變繼續減小軌線運動到LPC3分岔點,經由LPC3分岔點產生不穩定的極限環, 隨后跳向SubH3分岔點, 系統由激發態向沉寂態轉遷.軌線應脫離極限環繼續向左運動.然而由于SubH2分岔點及SubH3分岔點間隔時間非常短, 軌線還未來得及跳上極限環, 軌線就已經穿過該區域, 又迅速轉遷到平衡線上.即系統產生了正負雙向PSE.平衡線急劇轉遷, 直接越過該區域到達SubH3分岔點, 并運動到穩定的平衡線上.隨著慢變量的繼續減小, 軌線運動到 SubH4處開始起振, 經由LPC4點后, 產生極限環的fold分岔, 軌線跳到穩定的極限環上, 但由于“慢通道效應”, 軌線并沒有立刻起振, 而是繼續運動一段時間后起振到極限環上, 到 s in(0.01t) 最小值時, 完成一次循環, 開始下個周期.也可以說正負雙向脈沖式爆炸連接了subHopf/fold cycle型脈沖式爆炸.

圖6 圖1(a)中的張弛振蕩的快慢分析 (a)張弛振蕩的轉換相圖與圖3(a1)中的分岔圖的疊加(與子系統(2a)相關); (b)張弛振蕩的轉換相圖與圖3(a2)中分岔圖的疊加(與子系統(2b)相關); (c)一個完整周期下的張弛振蕩.這里 α =1.5 , 而其他參數與圖1相同Fig.6.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(a): (a) Overlay of the transformed phase diagram of the relaxation oscillations and the bifurcation diagram in Fig.3(a1) (related to the subsystem (2a)); (b) overlay of the transformed phase diagram of the relaxation oscillations and the bifurcation diagram in Fig.3(a2) (related to the subsystem (2b)); (c) a whole period of the relaxation oscillations.Here α =1.5 and other parameters are the same as those in Fig.1.

情形B當參數 α 取在區域B時, 即其他參數同情形A僅改變 α =0.4 時, 在參數變化范圍內,改變 α 的取值不會產生定性的變化.通過數值模擬得到了系統分岔圖與轉換相圖的疊加, 如圖7所示.

情形B與情形A相似但不同, 相似點表現在,情形B定性分析與情形A均為subHopf/foldcycle型復合式張弛振蕩.不同點具體表現為以下兩個方面: 一方面, 當 s in(0.01t) 從–1 到 1 逐漸增大的過程中, 從圖7(a)可知, 軌線沿著穩定的平衡線運動, 經由“慢通道效應”導致的延遲后, 就已經發生并完成了subHopf/fold-cycle分岔.不同的是,在情形A圖6(a)中, 軌線僅僅沿著穩定的極限環運動, 系統的穩定性并沒有發生任何改變, 直到sin(0.01t)從1到–1逐漸減小的過程中才產生分岔,然后發生了PSE現象; 另一方面, 從圖2就可看出, 當w從–1到1增大的過程中, 在情形A中并沒有產生任何分岔, 而情形B中已經產生了4次分岔行為, 從單個周期時間歷程圖6(c)和圖7(c)中也可以很明顯發現, 在每個周期內, 情形B中經由PSE連接的大幅振蕩簇的起振范圍及起振區域比情形A都更小.

3.2 復合式supHopf/supHopf型

由圖2可知, 當參數 α 落在區域C(即 α <0.333 )時, 慢變量可以穿越不同的分岔曲線, 由此誘發不同的分岔模式和復雜動力學行為.本部分探討與此相關的張弛振蕩.當參數 α 落在區域C時, 不同的α不會導致定性不同的分岔行為.因此, 不失一般性, 在下面的討論中固定參數 α =0.2.

圖7 圖1(b) 中的張弛振蕩的快慢分析Fig.7.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(b).

圖8 圖1(c)中的張弛振蕩的快慢分析Fig.8.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(c).

當 α =0.2 時, 作關于 ( ω,x) 相平面的分岔圖與轉換相圖疊加圖(見圖8(a)和圖8(b)).在圖8(a)中, 當慢變量 s in(0.01t) 逐漸增大時, 從時間歷程圖8(c)可知, 軌線從最左側沿著穩定的平衡線運動, 然后運動到 SupH1分岔點, 由于“慢通道效應”, 軌線并未沿著穩定的平衡線運動, 而是接著沿著平衡線運動很長一段時間后才開始起振, 形成穩定的極限環, 然后運動到SubH2分岔點后, 再經過一段時間后從穩定的極限環上下來, 運動到平衡線上.然后到最右側當慢變量 s in(0.01t) 達到其最大值1時, 結合時間歷程圖8(c)可知, 慢變量開始減小, 即軌線從圖7(b2)最右端沿著穩定的平衡線向左運動.一直向左運動到SubH3分岔點和SubH4分岔點, 與區域A和區域B相同, 由于兩點之間間隔非常短, 軌線還未來得及起振就已經跳到SupH4分岔點左側的平衡線處, 沿著穩定的平衡線向左運動, 當 s in(0.01t) 達到其最小值–1 時, 完成一次循環.即正負雙向脈沖式爆炸連接了subHopf/subHopf型張弛振蕩.

4 結 論

探討張弛振蕩的動力學機制是張弛振蕩研究的重要問題之一.PSE作為一種誘發張弛振蕩的新路徑, 吸引著許多科研工作者.在以往的研究中,不同激勵的頻率關系被認為是誘發PSE的重要因素, 例如頻率關系的改變會導致系統向量場的變化, 這使得極速逃逸現象的數量增多, 進而導致PSE數量的增加, 并由此誘發復雜的張弛振蕩.本文的研究表明, 當頻率相等的兩個激勵存在相位差時, 會導致快子系統由兩個不同的向量場部分組成, 這誘發了系統的雙穩定性和PSE現象.特別地, 其中一個向量場部分展現了關于PSE對稱的兩組分岔行為, 且每組分岔行為可以誘發一個張弛振蕩簇.基于此, 得到了經由PSE連接的復合式的張弛振蕩模式.本文的研究基于一個特定的非線性系統.然而, 由本文的分析可知, 當兩個慢變激勵存在相位差時, 必然會導致快子系統包含兩個不同的向量場部分.因此, 對于其他系統來說, 有可能也會誘發雙穩定性和PSE現象.綜上所述, 本文報道的相位差下的雙穩定性、PSE現象以及基于此而產生的復雜的張弛振蕩模式也可能在其他系統中被觀測到.