分?jǐn)?shù)階具有不確定項(xiàng)和外擾的超混沌金融系統(tǒng)的滑模同步

毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，鄭州 450015)

1 引言

混沌同步是基于主從系統(tǒng)或者驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步化，而系統(tǒng)誤差逐漸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)就認(rèn)為系統(tǒng)取得了同步.分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步已經(jīng)成為研究的主要課題[1,2]，例如：文獻(xiàn)[1]研究具有外擾不確定分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen 系統(tǒng)的滑模同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]研究了一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制.Mohammad 等[3]研究了一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步，同步時(shí)間在有限時(shí)間間隔內(nèi)完成.徐瑞萍和高明美[4]、李鵬和鄭志強(qiáng)[5]、侯瑞茵等[6]利用積分滑模技巧研究一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步.滑模控制近年來(lái)越來(lái)越受到控制界的重視.滑模同步已經(jīng)取得了很多成果，例如：毛北行等[7]研究了分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen 系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；毛北行[8]研究了糾纏混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步)；毛北行[9]基于新型滑模趨近律方法研究了分?jǐn)?shù)階Duffling 系統(tǒng)的同步控制；毛北行和程春蕊[10]研究了分?jǐn)?shù)階Sprott 系統(tǒng)的同步問(wèn)題，設(shè)計(jì)了適應(yīng)律和控制器；毛北行和周長(zhǎng)芹[11]研究了分?jǐn)?shù)階Duffling 系統(tǒng)的終端滑模同步.

另一方面，金融系統(tǒng)的混沌同步問(wèn)題引起了學(xué)者的密切關(guān)注，朱濤等[12]研究了時(shí)滯金融系統(tǒng)的同步問(wèn)題，毛北行和張玉霞[13]研究了分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的滑模同步問(wèn)題，但以上兩篇文獻(xiàn)研究的都是三維金融模型的混沌，然而分?jǐn)?shù)階不確定四維金融超混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)比三維系統(tǒng)更為復(fù)雜，而分?jǐn)?shù)階四維超混沌金融系統(tǒng)的滑模同步方面的研究還不很多見(jiàn)[14]，在以上研究的基礎(chǔ)上，本文研究了分?jǐn)?shù)階具有外擾和不確定項(xiàng)的超混沌金融系統(tǒng)的滑模同步.

2 滑模同步

考慮金融超混沌系統(tǒng)[14]

a=0.9,b=0.1,c=1.5,d=0.2,k=0.17 時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)奇怪吸引子，如圖1 所示.

圖1: 系統(tǒng)吸引子相圖

定義1[15]分?jǐn)?shù)階Caputo 微分定義

將系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)為主系統(tǒng)

其中 0＜q ≤1 為常數(shù).

設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

其中φ(t) = [x1,y1,z1,w1]T, ?fi(φ(t))為不確定項(xiàng)，di(t)為外部擾動(dòng).定義誤差e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=w1-w，得到

假設(shè)1存在未知正常數(shù)mi,ni ＞0(i=1,2,3,4)，滿足

由于混沌系統(tǒng)軌跡有界，所以假定不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)為有界變量是合理的.

假設(shè)2i=1,2,3,4.

引理1[15]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則有

引理2[16]若函數(shù)f(t)在[0,+∞)上一致連續(xù)，并且廣義積分存在，則有

滑模運(yùn)動(dòng)分兩個(gè)階段：第一階段即到達(dá)段，第二階段即滑模段.本文設(shè)計(jì)的滑模運(yùn)動(dòng)到達(dá)段設(shè)計(jì)為等速趨近律，滑模函數(shù)設(shè)計(jì)為容易得到如下結(jié)論.

定理1在假設(shè)1 和假設(shè)2 下，構(gòu)造滑模面控制器

和自適應(yīng)規(guī)則

不發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)閟i(t)=Dq-1ei(t)，構(gòu)造

利用假設(shè)2，從而

上式兩邊積分

利用引理2，si(t)→0?ei(t)→0.

3 積分滑模同步

將系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

其中φ(t) = [x1,y1,z1,w1]T，?f(φ(t))為不確定項(xiàng)，d(t)為外部擾動(dòng).定義誤差e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=w1-w，得到

假設(shè)3存在未知參數(shù)m,n ＞0，滿足|?f(φ(t))|＜m,|d(t)|＜n.由于軌跡有界，所以可以做上述假設(shè).

假設(shè)4|?f(φ(t))+d(t)-e1|＜λ|e3|.

假設(shè)5其中x1+x非零有界，由于混沌系統(tǒng)軌跡有界，可以作此假設(shè).

定理2在假設(shè)3 至假設(shè)5 條件下，構(gòu)造滑模面

從而e3→0.

因而e2→0.又由于混沌系統(tǒng)軌跡有界，所以-(x1+x)非零有界，

由e2→0，從而根據(jù)假設(shè)5 得到e1→0.

根據(jù)第四方程

因x1,y有界，e1,e2→0，從而-x1y1+xy →0，所以

由引理2 得到s →0.

4 數(shù)值仿真

系統(tǒng)參數(shù)為a= 0.9,b= 0.1,c= 1.5,d= 0.2,k= 0.17,q= 0.92，設(shè)置初始值為(x(0),y(0),z(0),w(0)) = (2.2,6.5,2.5,1.5), (x1(0),y1(0),z1(0),w1(0)) =(3,4,3,4.5)，不確定項(xiàng)和外擾取

定理1 和定理2 中系統(tǒng)的誤差曲線，如圖2 和圖3 所示，圖中可以看到，初始時(shí)刻系統(tǒng)的誤差相差較大，隨時(shí)間的推移誤差逐漸趨向一致.定理2 中達(dá)到同步需要更少時(shí)間，并且金融超混沌系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間趨于同步，定理1 中有四個(gè)控制器而定理2 只有一個(gè)控制器就能完成，且控制器相對(duì)較簡(jiǎn)單.

圖2: 定理1 中的系統(tǒng)誤差

圖3: 定理2 中的系統(tǒng)誤差

5 結(jié)論

研究了分?jǐn)?shù)階不確定四維金融混沌系統(tǒng)滑模同步的兩種方法，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)和適應(yīng)規(guī)則，得到了分?jǐn)?shù)階金融超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)取得滑模同步的兩個(gè)充分性條件，用Matlab 仿真技術(shù)驗(yàn)證了所得結(jié)論.