混合指數跳擴散模型下基于FST方法的期權定價

張素梅, 趙潔瓊

(西安郵電大學理學院，西安 710121)

1 引言

在期權定價中，基于布朗運動和正態分布建立的BS 模型[1]假設過于理想化，無法解釋資產收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現象.為了解釋這些現象，1976 年，Merton[2]提出log 正態跳擴散模型，該模型可以解釋資產收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現象，具有開創性意義.隨后在2002 年，Kou 提出雙指數跳擴散模型[3]，其跳躍過程服從雙指數分布.并且相對于log 正態跳擴散模型，該模型更易于求出路徑期權的封閉解析定價公式.2007 年，Kou 和Cai 將雙指數跳擴散模型的概率密度函數擴展到有限次數的上跳和下跳，由此推出超指數跳擴散模型[4]，其跳躍過程服從超指數分布.然而，上述這些模型只能解決特定的分布問題，在實際金融市場的應用中具有很大的局限性.所以在2011 年，Kou 和Cai 提出混合指數跳擴散模型(Mixed-Exponential Jump Diffusion Model, MEM)[5]，該模型跳躍過程服從混合指數分布，而混合指數分布是指數分布的加權平均值，其權重可以為負.根據這一特征，該分布可以逼近為任何分布，其中包括正態分布、各種指數分布以及像Gamma, Weibull 和Pareto 所產生的厚尾分布等，具有一般性，可以廣泛應用于刻畫股價實際變動趨勢.

為了方便解決實際問題，對于模型來說，求解其期權定價一直以來都是重中之重.然而由于跳擴散模型包含跳躍過程，所以很難通過理論方法得到一個完整的閉式解析式，在實際求解中通常采用數值方法對期權進行定價.目前常用的數值計算方法有二叉樹、有限差分、Monte Carlo(MC)、快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)和雙邊歐拉反演(Euler inversion, EI or BA) 法等等.上述五種方法中，二叉樹方法[6]由于數學原理簡單且易操作，成為廣泛應用的期權定價方法之一.但是對于復雜的跳擴散模型，節點的增多會導致二叉樹方法收斂速度過慢.有限差分方法[6]同樣由于原理簡單而被廣泛應用于期權定價，但是對于跳擴散模型所產生的偏積分-微分方程(partial-integro differential equation, PIDE)的積分項進行求解時，需要進行相關近似，使得方法相當復雜，且在求解過程中容易出現準確性差和收斂速度慢的問題.MC 方法[7]在求解期權定價時方便操作，并適用于高維期權定價的求解，通常被用于計算期權定價的數值解[8-10]，但是由于MC 方法模擬次數多，運行時間長，很少用于歐式期權定價的求解.Carr 在1999 年使用FFT 方法[11]求解期權定價的數值解，大大提高了期權定價的運算速度，并且易于實施，被廣泛地應用于計算跳擴散模型下期權定價的數值解[12-14]，不過FFT 方法的精度與阻尼因子的選取有關，所以數值結果不穩定.2004 年Petrella 提出的BA 方法[15]主要是通過拉普拉斯變換的相關性質進行求解，該方法因其高效、快速的優點被用于超指數模型和混合指數模型的數值求解[4,5,16]，但其推導過程復雜.而本文所采用的FST 方法[17,18]利用傅里葉變換將PIDE 從時域轉換到頻域.直接在頻域中求解的優點是含有獨立增量的隨機過程通過傅里葉變換將特征指數從PIDE 中分解出來，從而獲得易于求解的常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE).這使得期權定價的求解只與特征指數有關，減少了運算量.并且對于任何指數型Lvy 過程，FST 方法具有通用性，即只需要得到特征指數的解析式即可.

本文將FST 方法和MEM 相結合，主要有兩點創新：一是將FST 方法推廣到MEM 下的歐式期權定價；二是首次將MEM 校正到實際市場，并探尋了跳參數對于隱含波動率的影響.文章的具體結構如下：第2 章給出了MEM 的基本假設，并推導出MEM 的期權定價所符合的PIDE；第3 章給出使用FST 方法對于MEM 下歐式期權定價求解的詳細推導過程；第4 章進行FST 方法與其它數值方法的數值模擬；第5 章進行模型校正；第6 章總結全文.

2 混合指數跳擴散模型

在概率測度P 下，假設資產價格過程St滿足如下MEM

其中r為無風險利率，Wt是標準布朗運動，Nt是強度為λ的泊松過程，Yi= ln(Vi)是混合指數隨機變量，其概率密度函數fY(x)為

上式pu ≥0,qd= 1-pu ≥0，其中pi ∈(-∞,∞),ηi ＞1,i= 1,2,···,m,qj ∈(-∞,∞),θj ＞0,j= 1,2,···,n.分別表示上跳和下跳的概率及跳躍值.由公式(2)可知，跳躍包括m類上跳和n類下跳，第i類上跳的概率為pi，第j類下跳的概率為qj，且

根據pi和qj的參數范圍可知其可以為負數，所以要保證概率密度函數fY(x)總是非負函數，上述參數就需要滿足以下充分必要條件：其中必要條件為p1＞0,q1＞充分條件為對于所有的k= 1,2,···,m和l=1,2,···,n，有

設過程Wt,Nt及隨機變量Vi相互獨立.易見：(I) 當pi和qj為非負參數時，模型(1)為超指數跳擴散模型；(II) 當m= 1,n= 1 時，模型(1)為雙指數跳擴散模型；(III) 當λ=0 時，模型(1)為BS 模型.

由上述公式(1)和(2)可知，當St發生跳躍時，[St]=St+-St= (Vi- 1)St，即St+=St((Vi-1)+1)=StVi.

令Xt= ln(St)，則Xt+= lnSt+= lnSt+lnVi= lnSt+Yi，故由 It公式，公式(1)可改寫為

在風險中性測度Q 下，過程dSt和dXt分別為

定理1(Lvy 過程的特征函數)[19]若Xt是Rd上一個Lvy 過程，則存在一個連續函數ψ為X 的特征指數，則

證明 證明見文獻[19].

根據定理1，通過直接計算可知，MEM 的特征函數為

特征指數ψ(u)為

定理2(Lvy-Khinchine公式)[19]若Xt是Rd上包含三個參數 (γ,A,ν)的一個 Lvy 過程，對滿足E[exp(iz.Xt)]=exp(tψ(z))的ψ(z)有Lvy-Khinchine 公式

其中νdx=λfY(x)dx.

證明 證明見文獻[19].

定理3(跳擴散中的It公式)[19]令X是一個帶跳躍的擴散過程，其跳躍過程為一復合泊松過程

其中bt以及σt是連續不可預測過程滿足：在任意時間[0,T]上，存在函數f:[0,T]×R →R，過程Yt=f(t,Xt)滿足如下微分形式

證明 證明見文獻[19].

設V=V(St,t)是期權價格，在到期日t=T時的看漲期權為V(St,t) = (S-K)+，K為敲定價格.期權t時刻價格為v(Xt,t) =V(S0eXt,t)，其中St=S0eXt.根據定理2 和定理3 可知MEM 符合下列PIDE

3 混合指數跳擴散模型下歐式期權定價的FST 方法

FST 方法是將期權定價滿足的PIDE 轉換到頻域，再通過傅里葉逆變換轉換回時域.下面以看漲期權為例，給出MEM 下歐式期權定價的FST 方法的詳細推導過程.

對于公式(4)形式的PIDE，進行連續傅里葉變換F得

上式中變量ω表示頻率，對上述公式(6)進行整理得

根據定理1 和定理2 可知，公式(7)中的合并部分與MEM 的特征指數ψ(ω)相同，即

則公式(4)的PIDE 可化簡為如下ODE

對公式(9)乘以積分因子eψ(x)t并進行求解得

其中C是常數.

因此，在任意0≤t1≤t2≤T時，計算出t2時刻的傅里葉變換后的期權定價，則可以計算出t1時刻的傅里葉變換后的期權價格

傅里葉逆變換如下

從而

連續傅里葉變換完成后，還需要在截斷的風險資產價格域上實現傅里葉變換的離散化，即離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT).DFT 將對數資產價格從[-∞,∞]截斷到區域? = [xmin,xmax].由奈奎斯特臨界頻率和時域的關系ωmax·ωmax-ωmin=N/2 可知，對于對數資產變量，需要選擇一個適當的變化使得定價在x= 0 的鄰域中.由此應該選擇足夠大的空間邊界來捕獲期權價值函數的整體行為，即讓ωmax=-ωmin，使得函數區域位于中心，則傅里葉變換在? 上近似為

因為DFT 是在離散化的時域和頻域下實現的，所以對于對數資產價格域的離散化，令xn=xmin+n·?x,n=0,1,···,N-1 和另外，對于頻域的離散化，令根據使用奈奎斯特頻率條件，即得到因此期權價格v(X,t)在時間t上的離散傅里葉變換為

結合方程(14)和方程(11)，可以得到對數資產價格xn在時域中的價格，對于任何n=0,1,···,N-1 有

從而

其中v(X,t1)是時間t1在資產價格exn的期權價格.

4 數值模擬

本文利用Matlab 的DFT(x)和IDFT(x)函數實施FST 方法，討論MEM 在m=2,n= 2 的情況下歐式看漲期權定價.假設MEM 的模型參數與文獻[5]中的參數相同，即r= 0.05,θ1=η1,η2=θ2= 50,pu= 0.4,qd= 0.6,p1= 1.2,p2=-0.2,q1= 1.3,q2=-0.3,S0= 100,K= 100,t= 1.同時為了檢驗FST 方法的有效性，對于σ= 0.2 和σ= 0.3 的情況，分別給出不同η1下不同λ的數值計算，其中η1取值為20,40；λ的取值為1,3,5.為了進行數值方法的對比，我們也利用BA、FFT、MC 三種方法在上述參數下進行計算，并與FST 方法進行對比，其中FFT 方法的阻尼因子α= 1.21，MC 方法的模擬次數N= 100000，FST 方法截斷區域? = [xmin,xmax]= [-7.5,7.5].本文所有實驗都在Inter(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU 2.80GHz，RAM為8.00GB 的計算機上進行.結果如表1 所示.

由表1 可知：四種方法中，MC 方法的運行時間最長，FFT 方法的運行時間最短，FST 方法次之.在計算精度上，以BA 方法為基準，FST 方法的計算結果與BA 最接近，相對誤差最小為0.0002，最大為0.0004；FFT 方法的計算結果與BA 相差較大，相對誤差最小為0.03，最大為0.2；與FST 方法相比，FFT 方法雖然CPU 運行時間上占據優勢，但是精度低、不穩定.因此通過上述分析可知FST 方法具有精度高、穩定性好，運行時間短的優點.

表1: 混合指數跳擴散模型(m=2, n=2)下BA、FST、FFT、MC 方法(括號里為MC 方法95%的置信區間)的歐式看漲期權定價結果對比

5 模型校正

5.1 非線性最小二乘法

期權定價是給定模型參數，再計算期權價格；而模型校正的思想是通過市場價格來反推理論模型的參數，使得通過模型得出的理論價格能夠等于市場上交易的實際價格.所以模型校正和期權定價互為反問題.然而當模型是跳擴散模型時，通常無法保證反問題解的存在，因此我們采用非線性最小二乘法[20]解決該問題

其中? 是模型參數，??是模型最優參數，分別是來自模型和市場的第i個期權價格，Ki和Ti分別是第i個期權的執行價格和到期時間，N是用于模型校正的期權數，ωi是加權因子.

設參數集? 的初始估計為?0，使用期權的中間價格作為市場價格

其中bid/ask為市場第i個期權的出價和開價.這意味著我們不要求模型準確復制市場價格，但平均來說，落在出價和開價區間內，這是校正過程的一個合理的放松，因為建模過程總是在一定的容許范圍內產生的估計.

本文使用Matlab 中的lsqnonlin 函數實施校正算法[20].然而lsqnonlin 函數計算出的最優解和參數的初始值有關，因此得到的解可能不是全局最優，只能得到局部最優解.但只要(17)滿足，利用lsqnonlin 函數求出的最優解就是可以接受的.

5.2 模型校正實證分析

我們仍然對MEM 在m=2,n=2 時進行模型校正，實證分析使用標準S&P 500[21]指數期權從2017.01 到2017.03 的數據，根據moneyness =K/S篩選出取值在0.94-1.06 之間的數據，并將滿足(17)式的數據挑選出來.隨后將這些數據分為三個部分，分別為取值在0.94-0.97 之間的價內期權(in-the-money, ITM)、0.97-1.03 之間的平價期權(at-the-money, ATM)和1.03-1.06 之間的價外期權(out-of-money, OTM).每個期權的出價和開價均已知，期權的到期時間從15 天到365 天不等，由于期權價格對利率不靈敏，且利率在每日的基礎上變化很小，因而，設定無風險利率為年利率0.13.為了簡便，假設市場無分紅.

在模型校正中，以出價和開價的中間價格作為市場價格，根據5.1 可知，lsqnonlin 函數進行校正主要是對于初始參數x0的設置，可以通過不斷的調整初始參數值進行重新校正.根據文獻[5]，我們選擇兩組初始值進行參數設置，分別對ATM、ITM、OTM 進行校正，結果如表2 所示.

表2: 混合指數跳擴散模型(m=2, n=2)兩組初始值的校正結果

為檢驗校正的效果，使用如下兩個校正測度：平均相對百分比誤差ARPE 和平均絕對百分比誤差APE[22]

式中Cmod和Cmar分別表示期權基于模型的價格和市場價格，N是校正使用的期權個數，校正誤差結果如表3 所示.

表3: 混合指數跳擴散模型(m=2, n=2)的校正誤差

由上表可知，由于ITM,ATM 和OTM 這三個部分的數據校正后的參數估計值都相同，因此表2 分別給出兩組初始值進行參數校正后的平均估計值.整體可以看出校正結果除第一個參數σ的結果出現細小的波動，其余參數的校正結果不變.而表3 的校正誤差結果可以看出，基于兩個初始值的誤差非常小，不超過0.0006，由此表明了校正算法具有一定的穩定性.

根據表2 中的估計值2 繪制隱含波動率圖，對于估計值2 中的10 個參數分別繪制隱含波動率圖，其中參數λ和η1的隱含波動率圖變化明顯.因此，在其他參數不變的情況下，選取這兩個參數進行隱含波動圖的分析.其中，λ的取值分別為0.5375, 1.5375, 3.5375,5.5375；η1的取值分別為3.6352,8.6352,18.6352,28.6352.繪制三維曲線圖，其中執行價格為0.8-1.2，距離到期日的時間間隔為0.04-1 年，結果如圖1 和圖2 所示.

根據上圖可知，由于資產收益分布的非對稱性，可以看出圖1 和圖2 的隱含波動率曲線不是對稱的，且體現出明顯的“波動率微笑”特征.圖1 為不同λ下資產收益的隱含波動率圖.可以看出隨著λ的增大，期權的隱含波動率相對變大，表明參數λ的變化對于隱含波動率的影響顯著；圖2 為不同η1下資產收益的隱含波動率圖.可以看出隨著η1的增大，隱含波動率圖像變化明顯，在η1= 18.6352 時，圖像趨于穩定，表明η1取值相對較小時，對于隱含波動率的影響較大.

6 結論

本文使用傅里葉空間時間步長法(FST)求解混合指數跳擴散模型(MEM)下歐式期權定價過程中產生的PIDE 問題.利用FST 方法，我們在MEM 模型下獲得了歐式期權的數值解，并對結果進行對比分析，相對于蒙特卡洛模擬(MC)、快速傅里葉變換(FFT)、以及歐拉反演(BA)，FST 方法更加有效.然后進行模型校正，結合最小二乘法和S&P 500 指數期權數據進行實證分析，得到模型的參數值，并繪制了MEM 的隱含波動率圖像，結果表明MEM 很好地體現資產收益的“波動微笑”等特征，而且參數λ和η1對隱含波動率有重要影響.

圖1: 混合指數跳擴散模型(m=2, n=2)在不同λ 下的隱含波動率圖

圖2: 混合指數跳擴散模型(m=2, n=2)在不同θ1 下的隱含波動率圖