運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想提高高中數(shù)學(xué)解題能力的初探

■張莉娟

高中數(shù)學(xué)在很大程度上決定著高考成績(jī)的高低,高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于很多同學(xué)來(lái)說(shuō)存在一定的困難,因?yàn)樾枰獙?duì)大量的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行記憶和應(yīng)用,而數(shù)形結(jié)合的滲透,會(huì)幫助大家更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí),為同學(xué)們高考成績(jī)的提升提供保障。下面就來(lái)探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何使用數(shù)形結(jié)合思想。

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的好處

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中,認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想的重要性,并在實(shí)際學(xué)習(xí)中充分應(yīng)用是非常必要的。如圖1 所示,U為全集,其中的子集為M、P、S,陰影部分的代表集合也就一目了然了。

圖1

例如,求關(guān)于x的不等式：。在對(duì)該題進(jìn)行解答時(shí),因?yàn)樾枰獙?duì)a的情況進(jìn)行分析,所以可利用數(shù)形結(jié)合方法,如圖2所示。

(1)當(dāng)a=0時(shí),集合為(-∞,0)∪(0,+∞)。

(2)當(dāng)a＞0時(shí),集合為。

(3)當(dāng)a＜0時(shí),集合為。

圖2

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

(一)促使同學(xué)們形成圖形意識(shí)

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,同學(xué)們需要具備圖形意識(shí),如刻度尺上的刻度、繩子上的結(jié)、座位和每天行走的路線等；實(shí)數(shù)含有無(wú)數(shù)個(gè),分為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零；直線的組成是無(wú)數(shù)點(diǎn)的集合,所以在直線上可以將實(shí)數(shù)表現(xiàn)出來(lái)等。

例如,已知0＜a＜1,求方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。如圖3所示,判斷圖像y=a|x|與y=|logax|的交點(diǎn)個(gè)數(shù),可以畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像,該圖像有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程有兩個(gè)實(shí)根。

圖3

再如,設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),如果雙曲線上存在點(diǎn)A,∠F1AF2=90°,且,求雙曲線的離心率。基于對(duì)圖像的分析,得。基于雙曲線的定義,由。在Rt△AF1F2中,通過(guò)勾股定理,得9a2+a2=4c2,故雙曲線的離心率。

圖4

(二)促使同學(xué)們更新學(xué)習(xí)觀念

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中,不僅要接受知識(shí),對(duì)其進(jìn)行模仿和練習(xí),還需要積極滲透更多的學(xué)習(xí)方式,如合作交流學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)等。同時(shí),還要積極探索數(shù)形結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用,促使思維模式的形成,保證為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供充足條件。

例如,設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖5 所示,求f(-1)+f(1)的值。圖像過(guò)原點(diǎn),d=0。f(x)的圖像和x軸的三個(gè)交點(diǎn)結(jié)合,分別為-x1,0,x2,設(shè)f(x)=ax(x+x1)(x-x2)=ax3+bx2+cx,在x＞x2時(shí),a＜0,b=a(x1-x2),b＞0。所以f(-1)+f(1)=2b。

圖5

總之,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中,為了充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,需要不斷加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)。同時(shí),還要不斷總結(jié)有效的學(xué)習(xí)方法,對(duì)學(xué)習(xí)方式進(jìn)行不斷的創(chuàng)新。這樣數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力才能得到極大的提升。