一類基于“累加”求和設(shè)計的數(shù)列

■陳乾可(指導(dǎo)教師:范偉峰)

形如an+1=pan+f(n)a2n(p≠0)的遞推數(shù)列試題是一類基于“累加”求和設(shè)計的數(shù)列類試題,這類試題所包含的類別和求解方法可以歸納如下。

一、類別與方法綜述

解an+1=pan+f(n)a2n,p≠0,an≠0型遞推數(shù)列,通常先兩邊同除以anan+1,得；兩邊同乘以pn,得。可以進(jìn)行累加求和,即由產(chǎn)生新的式子,新的式子是個新的“天地”,大有作為。

解決這類試題的關(guān)鍵是創(chuàng)造累加求和的可能,不等式部分需要基本的放大縮小技能、方法。

二、p=1且f(n)是常數(shù)時,求解方法簡單而直接

例1數(shù)列{an}滿足。求證：

(1)an+1＞an；

證明：(1)由an+1-an=a2n≥0,若an=0,則數(shù)列為0的常數(shù)數(shù)列,與矛盾,故恒有an+1＞an。

(2)an+1=an+a2n,兩邊同除以anan+1,得,對n賦值、累加得。當(dāng)n≥2 時,an+1＞an(增數(shù)列),所以有1。因此有2(n≥2,n∈N)成立。

評注：這里有幾個特征很明顯,p=1,,累加求和是自然的,利用an進(jìn)行放縮獲得結(jié)果。

三、p=1且f(n)是整式相關(guān)變量時,求解難點在放縮上

例2已知,求證：

(1)an＜an+1＜1；

證明：(1)顯然有an+1＞an＞0。另由,兩邊同除以anan+1,得。放大得,對n賦值、累加可得an+1＜1。

評注：(1)f(n)由常數(shù)變?yōu)榕cn的整式相關(guān)的變量了,放縮技能也要加強(qiáng),需要往數(shù)