淺談帶電粒子在磁場中運動的多解問題

■孫彥澤

帶電粒子進入磁場后在洛倫茲力的作用下運動時,由于受種種因素的影響,常常會出現多解的情況。下面分三種情況結合例題進行分析。

一、平行直線邊界的磁場

常見的臨界情景和幾何關系如圖1所示。

圖1

例1 如圖2甲所示,間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強磁場。取垂直于紙面向里為磁場的正方向,磁感應強度隨時間的變化規律如圖2乙所示。t=0時刻,一質量為m、帶電荷量為+q的粒子(不計重力),以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置,沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場。當B0和TB取某些特定值時,可使t=0時刻入射的粒子經Δt時間恰能垂直打在P板上(不考慮粒子反彈)。上述m、q、d、v0為已知量。若,為使粒子仍能垂直打在P板上,求T0。

圖2

解析：設粒子在磁場中做圓周運動的半徑為R,周期為T,由圓周運動公式得T=。由牛頓第二定律得,將代入得d=4R。

若粒子的運動軌跡如圖3所示,O1、O2為圓心,O1O2的連線與水平方向間的夾角為θ,在每個T0內,粒子只有在A、B兩個位置才有可能垂直擊中P板,且,由題意可知。設經歷完整T0的個數為n(n=0,1,2,3,…)。若粒子在A點擊中P板,則R+2(R+Rsinθ)n=d。當n=0時,無解；當n=1時,得；當n≥2時,不滿足0＜θ＜90°的要求。若粒子在B點擊中P板,則R+2Rsinθ+2(R+Rsinθ)n=d。當n=0 時,無解；當n=1時,得；當n≥2時,不滿足0＜θ＜90°的要求。

圖3

圖4

二、直線邊界的磁場

如圖5所示,粒子進出磁場具有對稱性。當粒子進入磁場時的速度垂直于邊界時,出射點距離入射點最遠,且dmax=2R,如圖5甲所示；同一出射點,可能對應粒子的兩個入射方向,粒子在磁場中的運動軌跡一個是“優弧”,一個是“劣弧”,如圖5乙、丙所示。

圖5

例2 如圖6甲所示,空間存在著兩個方向均垂直于紙面向外的勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ,磁感應強度大小分別為B1、B2,且B1=B0,B2=2B0,虛線MN為兩個磁場的邊界。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)從邊界上的A點以一定的初速度豎直向上射入勻強磁場區域Ⅰ中,邊界MN上的C點與A點間的距離為d。試求該粒子從A點射入磁場的速度v0為多大時,粒子恰能經過C點。

圖6

解析：設粒子在磁場區域Ⅰ中做圓周運動的半徑為r1,在磁場區域Ⅱ中做圓周運動的半徑為r2,則,得r1=2r2。由題意知,速度v0的最大值對應的半徑應為r1=d,如圖6 乙中①所示。若粒子在A點的速度小一些,則凡是做圓周運動的半徑滿足d=nr1(n=1,2,3,…)的粒子都能滿足恰能通過C點的條件,如圖6中②③所示,即,又有,解得。

三、圓形邊界的磁場

圖7

①若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向進入磁場,則粒子離開磁場的速度的反向延長線一定過磁場區域的圓心(沿著另一半徑方向射出),如 圖7 甲 所 示。②若粒子射入磁場時的速度方向與入射點對應半徑間的夾角為θ,則粒子射出磁場時的速度方向與出射點對應半徑間的夾角也為θ,如圖7乙所示。

例3一半徑為R的薄圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中,磁場方向與筒的中心軸線平行,筒的橫截面如圖8所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔,筒可繞其中心軸線轉動,圓筒的轉動方向和角速度大小可以通過控制裝置改變。一不計重力的帶負電粒子從小孔M沿著MN方向射入磁場,當筒以大小為ω0的角速度轉過90°時,該粒子恰好從某一小孔飛出圓筒。若粒子速率不變,入射方向在該截面內且與MN方向成30°角,則要讓粒子與圓筒無碰撞地離開圓筒,圓筒的角速度應為多大?

圖8

圖9

解析：若粒子與MN方向成30°入射,速率不變,則半徑仍為R,作粒子的運動軌跡如圖9 所示,粒子的軌跡圓圓心為O′,則四邊形MO′PO為菱形,可得,所以,則粒子在磁場中偏轉的時間。又有,解得。因為圓筒的轉動方向與射出孔不確定,所以需要分兩種情況討論。①當圓筒順時針轉動時,設筒轉動的角速度為ω1。若粒子從N點離開,則筒轉動時間,解得ω1=；若粒子從M點離開,則筒轉動時間,解得。綜上得ω1=。②當圓筒逆時針轉動時,設筒轉動的角速度為ω2。若粒子從M點離開,則筒轉動時間,解得；若粒子從N點離開,則筒轉動時間,解得。綜上得)。