溫度與微結構高度誤差對衍射光學元件衍射效率的影響研究

楊亮亮，趙勇兵，唐 健，郭仁甲

溫度與微結構高度誤差對衍射光學元件衍射效率的影響研究

楊亮亮，趙勇兵，唐 健，郭仁甲

（鹽城師范學院 物理與電子工程學院，江蘇 鹽城 224007）

基于衍射光學元件的衍射效率與微結構高度誤差的關系，提出了環境溫度、微結構高度誤差與衍射效率和帶寬積分平均衍射效率的數學分析模型。研究了環境溫度變化對帶寬積分平均衍射效率的影響，分析了工作在一定溫度范圍內時帶寬積分平均衍射效率與相對微結構高度誤差的關系。對于工作在8～12mm長波紅外波段的衍射光學元件，偏離設計波長越遠，其衍射效率受溫度的影響越大。溫度的變化會引起100%衍射效率對應的峰值相對微結構高度誤差發生改變。當衍射光學元件的相對微結構高度誤差在±15%范圍內時，衍射效率在－40℃～80℃的整個溫度范圍內高于91.89%，帶寬積分平均衍射效率在整個溫度范圍內高于88.58%。

衍射光學；衍射效率；微結構高度誤差

0 引言

鑒于衍射光學元件具有區別于傳統折射透鏡的負色散性質和負熱差性質等，所以，其廣泛應用于各種成像光學系統中[1-3]。衍射光學元件可以直接采用單點金剛石車削方法進行加工[4-5]。，也可以采用光刻技術或者復制技術[6-8]。不管采用哪種加工方法，都會不可避免地引入一些加工誤差，而誤差的存在會對衍射光學元件的衍射效率帶來直接的影響[9-12]，進而導致成像光學系統的像質下降。紅外成像光學系統中能夠選擇的透鏡材料種類有限，衍射光學元件的出現為紅外系統的設計提供了更多的自由度。致冷型紅外系統要能夠在一定的溫度范圍內實行消熱差設計，所以系統中采用的衍射光學元件其衍射效率也要進行溫度變化的影響分析。

文獻[13]討論了加工誤差對衍射光學元件波前像差的影響。文獻[10]分析了加工誤差對帶寬積分平均衍射效率的影響，指出了微結構高度誤差是影響衍射效率的重要誤差之一。文獻[14]給出了環境溫度的改變對諧衍射元件衍射效率的影響。文獻[15]給出了考慮環境溫度因素時多層衍射元件衍射效率的優化方法。本文基于前期工作中給出的微結構高度誤差與衍射效率的數學關系，建立了衍射效率和溫度與相對微結構高度誤差的數學模型。分析了環境溫度變化和一定溫度范圍內工作時，微結構高度誤差對衍射效率和帶寬積分平均衍射效率的影響。

1 溫度與微結構高度誤差和衍射效率的理論關系

當入射光線從空氣介質正入射到單層衍射光學元件的基底材料上時，衍射光學元件第衍射級次的衍射效率為[11]：

式中：sinc()＝sin(p)/p，為衍射級次；0表示衍射光學元件的理論微結構高度的大??；()為元件的基底材料在波長為時對應的折射率。假設由于加工引入的微結構高度誤差為D，那么，衍射光學元件的實際微結構高度為：

＝0＋D＝0(1＋) (2)

式中：＝D/0，表示相對微結構高度誤差?？紤]微結構高度誤差這一因素后，式(1)的衍射效率可以表示為：

當環境溫度變化時，衍射光學元件的微結構高度會隨之變化。如圖1所示，環境溫度的改變會引起衍射光學元件微結構高度大于和小于理論微結構高度。由溫度變化導致微結構高度為t，即：

t＝0(1＋gD) (4)

式中：g＝(1/0)d0/d為衍射元件基底材料的熱膨脹系數，表示溫度變化引起的微結構高度的相對改變量，D為環境溫度的變化量，數值上等于環境溫度與某一標準溫度（一般為20℃）的差值。

圖1 溫度引起微結構高度改變的示意圖

當環境溫度變化時，衍射光學元件的微結構高度和基底材料的折射率都會發生改變，進一步引起其衍射效率發生改變?？紤]溫度這一因素后，衍射光學元件的衍射效率和溫度與相對微結構高度誤差的關系為：

當含有衍射光學元件的混合成像光學系統的工作波段范圍為min～max時，需要綜合考慮衍射光學元件的帶寬積分平均衍射效率，其與溫度和相對微結構高度誤差的關系為：

2 分析和討論

工作在8～12mm波段的衍射光學元件，基底材料采用常用的鍺（Ge），衍射級次?。?，根據帶寬積分平均衍射效率的最大化計算得到設計波長為0＝9.74mm，其微結構高度理論值為0＝0/[(0)－1]＝3.24mm。

2.1 溫度變化對衍射效率的影響

當相對微結構高度誤差為零時，根據公式(5)，得到衍射光學元件的衍射效率與波長和溫度的關系如圖2所示。圖3給出了在設計波長和邊緣波長等幾個不同波長處，衍射效率和溫度的變化關系。從圖中可見，溫度從－40℃變化到80℃，在設計波長處，衍射效率變化不大；偏離設計波長越遠，衍射效率受溫度的影響越大?？梢钥闯龈哂谠O計波長的幾個波長，如波長為12mm時，衍射效率隨溫度的降低而減小，隨溫度的升高而增大；小于設計波長的幾個波長，如波長為8mm時，衍射效率隨溫度的降低而增大，隨溫度的升高而減小。

圖2 衍射效率與波長和溫度的關系

圖3 幾個不同波長處的衍射效率與溫度的關系

Fig.3 Relationship of diffraction efficiency and temperature at several wavelengths

當環境溫度為20℃、－40℃和80℃時，衍射光學元件的衍射效率隨波長的變化曲線關系如圖4所示。溫度降低時，實現100%衍射效率的峰值波長向短波移動；溫度升高時，實現100%衍射效率的峰值波長向長波移動。所以，在一定溫度范圍內工作的衍射光學元件，要注意溫度變化時所引起的峰值波長改變的現象。根據圖3和圖4可知在不同溫度下對應的衍射效率，當環境溫度從20℃升高到80℃時，整個波段范圍內的最小衍射效率從20℃時的85.33%下降到為84.02%，下降了1.31%；當環境溫度從20℃降低到－40℃時，整個波段范圍內的最小衍射效率為86.60%，相比20℃時衍射效率，升高了1.27%。

2.2 溫度變化對帶寬積分平均衍射效率的影響

當相對微結構高度誤差為零，環境溫度范圍為－40℃～80℃時，根據公式(6)計算得到衍射光學元件的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關系如圖5所示。當環境溫度從20℃升高到80℃時，或從20℃降低到－40℃時，帶寬積分平均衍射效率都是僅下降了0.02%。改變很小。

圖4 幾個不同溫度處的衍射效率與波長的關系

圖5 帶寬積分平均衍射效率與溫度的關系

2.3 溫度變化和微結構高度誤差對衍射效率的影響

當環境溫度為20℃、－40℃和80℃時，利用公式(5)得到衍射光學元件的衍射效率與相對微結構高度誤差的關系曲線如圖6所示。對比圖4，溫度降低時，實現100%衍射效率的峰值相對微結構高度誤差向正值方向移動；溫度升高時，實現100%衍射效率的峰值相對微結構高度誤差向負值方向移動。所以，在一定溫度范圍內工作的衍射光學元件，要注意溫度變化時所引起的峰值相對微結構高度誤差改變的現象。

當相對微結構高度誤差為0、±5%、±10%和±15%時，衍射光學元件的衍射效率與溫度的關系曲線如圖7所示?？梢钥闯觯斞苌涔鈱W元件的相對微結構高度誤差在±5%范圍內時，衍射效率在－40℃到80℃的整個溫度范圍內高于98.87%；當衍射光學元件的相對微結構高度誤差在±10%范圍內時，衍射效率在－40℃～80℃的整個溫度范圍內高于96.13%；當衍射光學元件的相對微結構高度誤差在±15%范圍內時，衍射效率在－40℃～80℃的整個溫度范圍內高于91.89%。

圖6 幾個不同溫度處的衍射效率與相對微結構高度誤差的關系

圖7 幾個不同相對微結構高度誤差處的衍射效率與溫度的關系

Fig.7 Relationship of diffraction efficiency and temperature at several relative microstructure height errors

2.4 溫度變化和微結構高度誤差對帶寬積分平均衍射效率的影響

當環境溫度變化范圍為－40℃到80℃時，利用公式(6)計算得到衍射光學元件的帶寬積分平均衍射效率與相對微結構高度誤差的關系如圖8(a)所示。考慮到溫度的影響，帶寬積分平均衍射效率的最大值為95.65%，此時對應的相對微結構高度誤差為－0.04%；當相對微結構高度誤差分別為－15%和＋15%時，帶寬積分平均衍射效率分別為89.19%和89.41%。

當環境溫度變化范圍相對于20℃不對稱時，例如－40℃到40℃時，同理，計算得到衍射光學元件的帶寬積分平均衍射效率最大值為95.66%，對應的相對微結構高度誤差為0.24%。若環境溫度變化范圍為－20℃～100℃時，帶寬積分平均衍射效率最大值為95.65%，如圖8(b)對應的相對微結構高度誤差為－0.32%?？梢姰敪h境溫度不對稱時，最大帶寬積分平均衍射效率所對應的相對微結構高度誤差會有所區別。

圖8 帶寬積分平均衍射效率和相對微結構高度誤差的關系

當相對微結構高度誤差為0、±5%、±10%和±15%時，圖9給出了衍射光學元件的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關系?？梢?，當衍射光學元件的相對微結構高度誤差在±5%范圍內時，帶寬積分平均衍射效率在－40℃到80℃的整個溫度范圍內高于94.66%；當衍射光學元件的相對微結構高度誤差分別在±10%和±15%范圍內時，帶寬積分平均衍射效率在整個溫度范圍內分別高于92.28%和88.58%。

3 結論

基于衍射效率與微結構高度誤差的表達式，建立了工作在一定環境溫度范圍內的衍射光學元件的衍射效率與帶寬積分平均衍射效率和溫度與相對微結構高度誤差的數學關系表達式。對于工作中8～12mm長波紅外波段的衍射光學元件，偏離設計波長越遠，其衍射效率受溫度的影響越大。溫度的變化會引起100%衍射效率隨對應的峰值波長發生改變，也會引起100%衍射效率所對應的峰值相對微結構高度誤差偏離理想情況。當衍射光學元件的相對微結構高度誤差在±15%范圍內時，在－40℃～80℃的整個溫度范圍內衍射效率高于91.89%，帶寬積分平均衍射效率高于88.58%。該分析方法和結論為工作在一定溫度范圍內的衍射光學元件的設計提供了理論基礎。

圖9 幾個相對微結構高度誤差處的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關系

Fig.9 Relationship of PIDE between temperature at several relative microstructure height errors

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Research on the Influence of Temperature and Microstructure Height Error on Diffraction Efficiency for Diffractive Optical Elements

YANG Liangliang，ZHAO Yongbing，TANG Jian，GUO Renjia

(School of Physics and Electronics Engineering, Yancheng Teachers University, Yancheng 224007, China)

Based on the relationship between diffraction efficiency and microstructure height error for diffractive optical elements (DOEs), mathematical analytical models of environment temperature, microstructure height error, and diffraction efficiency/polychromatic integral diffraction efficiency (PIDE) were put forward. The influence of ambient temperature on the PIDE was researched and the relationship between the PIDE and microstructure height error within a certain temperature range was analyzed. For a DOE working within an 8-12mm long-waveband infrared range, the influence of temperature on the diffraction efficiency was significant as the wavelength deviated from the designed value. The peak relative microstructure height error corresponding to the 100% diffraction efficiency changed with the change of temperature. When the relative microstructure height error of the DOE was within ±15%, the diffraction efficiency was higher than 91.89% in the temperature range from －40℃ to 80℃ and the PIDE was higher than 88.58% in the entire temperature range.

diffractive optics, diffraction efficiency, microstructure height error

O436

A

1001-8891(2020)05-0213-05

2019-07-22；

2019-12-20.

楊亮亮（1986-），女，副教授，博士，主要從事衍射光學、光學設計和聚光光伏系統等方面的研究。E-mail：yang_liangliang@163.com。

江蘇省高校自然科學研究項目（19KJD140005），國家自然科學基金（11847161，11847166）。