考慮非正定相關性的改進LHS 概率潮流計算方法

趙亦嵐，陳 攀，周阮凱，羅 平，董雨軒

（1.杭州市電力設計院有限公司，杭州 310004；2.杭州電子科技大學 自動化學院，杭州 310018）

0 引言

MCS（蒙特卡洛模擬法）由于具有較高的準確度，其計算結果常作為概率潮流計算的參考值。但由于SRS-MCS（基于簡單隨機抽樣的蒙特卡洛模擬法）需要大量的采樣樣本才能保證計算的精確度，使得計算時間較長。因此很多學者將改進的采樣方法用于基于MCS 的概率潮流計算中[1-4]。其中LHS（拉丁超立方采樣）作為一種多維分層采樣方法[5]，能大大減小采樣規模、縮短采樣時間，但當采樣變量維數增加時，其空間均勻性略顯不足。為此，文獻[6-7]提出了基于改進最小最大距離準則來優化LHS 方法以得到更具代表性的樣本點。此外，隨著分布式能源的廣泛應用，為了得到準確的概率潮流結果就必須考慮它們之間的相關性[8-9]。文獻[10]運用Cholesky 分解將輸入變量表示為不相關的變量組合以供半不變量法計算潮流結果。文獻[11]先由LHS 結合Nataf 變換生成具有相關性的隨機序列，再由半不變量法線性化潮流方程得出潮流計算結果。

但是隨著電網中分布式電源滲透率的提高，以及隨機輸入變量數量的增加，相關性矩陣往往為非正定矩陣[11]，此時上述獲得相關性樣本矩陣的方法不再適用，需要對相關性矩陣進行修正。相關性矩陣的非正定修正問題最早出現在金融與風險管理中[12]，目前在概率潮流計算常用的方法有改進排序變換法，如正定譜分解[13]、奇異值分解[14]和智能優化算法（遺傳算法[14-15]、隨機行走法[16]）等。改進排序變換法修正后的矩陣與原矩陣有一定誤差，而智能算法得到的結果雖然誤差較小但所需修正時間較長，尤其在相關矩陣維度很大的情況下，其計算過程較為繁瑣。

因此，本文提出一種NDC-ILHS（考慮非正定相關性的改進LHS）概率潮流計算方法。此方法提高了LHS 采樣樣本的均勻性，并能有效處理概率潮流計算中由于高滲透率分布式電源引起的隨機變量間非正定相關情況。為了驗證NDCILHS 的有效性，利用其對改進的IEEE 30 與IEEE 118 節點算例進行計算，并將計算結果與MCILHS（基于修正相關系數矩陣的改進LHS）[13]和SRS-MCS 這兩種方法的結果進行了對比分析。

1 改進的LHS

針對LHS 在高維隨機變量采樣中均勻性略顯不足的問題，本文提出一種改進的LHS，該方法以使中心化離差度準則CL2[17]最小作為優化目標，采用隨機列交換算法對其求解。具體目標函數為：

式中：n 為樣本矩陣維度；N 為采樣規模；rim為樣本矩陣中元素。CL2作為衡量樣本點在維變量分布空間內離散程度，其值越小則表明樣本分布越均勻。

隨機列交換算法的思想是通過對不同父代矩陣中相同變量的樣本進行交換，在盡可能保持采樣矩陣結構特性的前提下更新采樣矩陣。同時，為了保證樣本矩陣集的多樣性，避免算法陷入局部最優，本文借鑒遺傳算法的思想，以一定的概率對采樣矩陣進行變異。改進的LHS 的具體流程如下：

（1）隨機生成Npop個采樣規模為N 的LHS 采樣矩陣組成的樣本矩陣集。

（2）在樣本矩陣集中選取Npop/2 個CL2值最小的LHS 矩陣作為第k 代父代矩陣，選其中CL2值最小的父代矩陣為父最佳矩陣，其CL2值記作Gjk。

（3）對除了父最佳矩陣外的其他的父代矩陣進行變異操作，即對矩陣中每一行任意兩元素都都以一定概率互換位置。

（4）父最佳矩陣逐一與其余父代矩陣分別進行隨機列交換，最終得到Npop個LHS 矩陣組成的子代。

（5）稱新樣本矩陣集中CL2值最小的矩陣為子最佳矩陣，其CL2值為Gsk。若Gsk-Gjk＞0，則流程結束，父最佳矩陣即為最終采樣矩陣，否則k=k+1 并轉到步驟（2）。

2 相關性非正定修正方法

文獻[18]提出一種CGM（逐列迭代梯度法），它通過逐列最小化目標函數得到最接近原相關系數矩陣的正定矩陣。由于其對目標函數的多個變量進行尋優，并且對非正定矩陣進行逐列迭代分析，導致耗費時間過長。因此，本文提出一種改進的AGM（迭代梯度法），將相關系數矩陣處理成一個變量，只需對單變量進行尋優，并利用Armijo準則[19]確定動態步長，因此可快速處理概率潮流計算中相關系數矩陣為非正定的情況。

設矩陣C′為經AGM 修正后的相關矩陣，為n 維矩陣。為了方便迭代修正，由C=BBT分解為矩陣B，以使修正后的相關矩陣盡可能接近于初始相關矩陣為目標，目標函數為：

式中：C 為目標非正定矩陣。

為了減少修正過程的迭代次數以提高計算效率，矩陣B 初始值應該使BBT接近于C。設為矩陣C 所有非對角項的平均值，它可計算得出：

式中：cij為矩陣C 第i 行j 列元素。

矩陣B 的初始值B1是對矩陣C1進行Cholesky分解得到的，其中矩陣C1為：

AGM 的具體步驟如下：

（1）設k=1，由式（4）計算矩陣Bk和誤差rk=

（2）計算目標函數的梯度為：

（3）確定動態步長參數θk為：

式中：τ 為步長因子，通常設為0.5；m 為控制步長收斂的值，初始值為1。

（4）由梯度修正計算下次迭代的矩陣：

3 基于NDC-ILHS 的概率潮流計算

基于NDC-ILHS 的概率潮流計算流程如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 NDC-ILHS 計算流程

（1）獲得電網的初始數據，如風、光等隨機變量X 各自服從概率分布參數以及各變量之間的相關系數矩陣C 等。

（2）判斷相關系數矩陣是否為非正定矩陣，若為非正定矩陣，則采用AGM 對其進行修正，得到修正后的相關矩陣C′；若為正定矩陣，則C′=C。

（3）對輸入隨機變量X 進行改進的LHS 采樣，采樣規模為N，得到初始采樣矩陣R。

（4）對初始采樣矩陣R 經過Cholesky 分解獲得滿足相關矩陣C′的輸入隨機變量樣本矩陣R′。

（5）將樣本矩陣R′中N 個數據樣本分別代入網絡中進行確定性潮流計算，獲得輸出變量樣本矩陣。統計輸出矩陣樣本的數字特征，獲得如節點電壓與支路功率等輸出變量的統計數據及其服從的概率分布。

4 算例分析

4.1 相關性修正方法分析

為了驗證AGM 對非正定相關矩陣修正的性能，將AGM 與PDSD（正定譜分解）[13]以及CGM得到的結果進行比較分析。定義精確度誤差為：

式中：n 為矩陣維度；C′為修正后的正定相關矩陣；C 為待修正的非正定相關矩陣。

隨機產生不同維度的非正定相關矩陣，在輸入隨機變量間相關系數都為正的情況下，利用3種方法分別對其進行修正，所需的時長和相應的誤差如表1 與表2 所示。

表1 3 種方法修正非正定矩陣所耗時長比較

表2 3 種方法修正后相關矩陣與原矩陣誤差ερ 比較 %

從表1 可以看出，在同樣的矩陣維度下，AGM 計算所需時間少于CGM 與PDSD，在矩陣維度超過300 時AGM 的速度優勢更加明顯。以修正維度為500 的隨機非正定矩陣為例，PDSD與CGM 各需7.692 8 s 與1.096 3 s，而AGM 僅需0.979 6 s。

在計算精度方面，由表2 可得，隨著矩陣維度的增加，PDSD 的誤差上漲幅度逐漸增大。可以看出在處理高維度相關矩陣問題上，AGM 比PDSD 更加準確。當矩陣維度為500 時，AGM 的精確度較PDSD 提升了32.5%；AGM 與CGM 的誤差相比，兩者相差不大，AGM 略小。

實際中隨著風光等分布式電源在電網中滲透率的增加，相關矩陣的維度也會隨之增加，因此從計算的速度和精度綜合考慮，AGM 性能更佳。

4.2 潮流計算結果評價標準

本文利用改進的IEEE 30 與IEEE 118 節點系統[20]來驗證所提NDC-ILHS 算法的性能。通過式（10）和式（11）計算輸出變量期望值和標準差的相對誤差來評估本文所提方法的準確度。

式中：εμ和εσ分別為輸出變量期望值和標準差的相對誤差；μi和μs分別為輸出變量期望的實際值和標準值；σi和σs分別為輸出變量標準差的實際值和期望值。

4.3 IEEE 30 節點系統

在IEEE 30 節點系統中的8，16，20，25 節點上分別接入1 個風電場，各風電場風速服從威布爾分布，相關參數如表3 所示。

表3 風電場的相關參數

風電場輸出有功功率的計算見文獻[2]。4 個風電場風速間的秩相關系數矩陣為一非正定矩陣：

將負荷節點分類為2 個區域，其中節點1—17 為區域A，節點18—30 為區域B。區域A 和B內負荷間相關系數分別為0.5 和0.8，不同區域的負荷之間相互獨立。所有負荷有功功率與無功功率都服從額定功率為期望值，標準差為5%期望值的正態分布。

以50 000 次SRS-MCS 的概率潮流結果為基準，對NDC-ILHS 計算結果進行誤差分析，結果如表4 所示。

由表4 可知，NDC-ILHS 得到的概率潮流結果與基準值的誤差非常小，不超過2.6%，尤其是節點電壓幅值期望的平均相對誤差接近于0，從而驗證了NDC-ILHS 的準確性。

表4 NDC-ILHS 在不同采樣規模下輸出變量平均相對誤差 %

4.4 IEEE 118 節點系統

同區域或鄰近區域的風電場之間和光伏機組之間都存在相關性，而且相關系數通常都為正值。但地理上毗鄰的風電場及光伏電站往往由于白天風速小、光照強度大而晚上風速大、光照強度幾乎為零，因此具有較強的負相關關系[21]。因此本算例考慮輸入隨機變量正負相關性并存，且有較高的可再生能源滲透率，即非正定相關矩陣維度較大的情況。

在IEEE 118 節點系統中，在節點8，20，54，92 各接入1 個風電場，在節點16，32，70，96 各接入1 個光伏電站。4 個風電場參數與表3 相同，光伏電站有功功率服從Beta 分布[20]，具體參數如表5 所示。

表5 光伏發電機組相關參數

風電場和光伏電站間的秩相關系數C1為：

系統中的隨機負荷按地理位置被分為3 個區域，其中節點1—40 為區域A，節點41—75 為區域B，節點76—118 為區域C。各區域內負荷間相關系數分別為0.5，0.6 和0.8，不同區域的負荷之間相互獨立。所有負荷有功功率與無功功率都服從額定功率為期望值，標準差為5%期望值的正態分布。

同樣，本文以采樣規模為50 000 的SRS-MCS的概率潮流計算結果為基準值，將NDC-ILHS，MCILHS 與SRS-MCS 的計算結果進行對比分析。3 種概率潮流計算方法得到的輸出節點電壓相對誤差曲線如圖2 所示，其中樣本點的采樣規模從50 到500，步長為50。

由圖2 可知，在處理高滲透率的風光并網概率潮流問題時，由于AGM 修正高維非正定矩陣得到的結果更加精確，因此NDC-ILHS 得到的電壓相角的標準差誤差均比同樣采樣規模下MCILHS與SRS-MCS 所得的結果小。NDC-ILHS 在采樣規模大于100 以后電壓幅值和相角的期望值就趨于穩定，得到電壓幅值和相角期望值的平均相對誤差都比SRS-MCS 小得多，和MCILHS 所得計算結果相當。

圖2 3 種方法所得電壓平均相對誤差指標

表6 與表7 分別為支路66-67 的有功功率的相對誤差表。

表6 支路66-67 有功功率期望相對誤差εμ %

表7 支路66-67 有功功率標準差相對誤差εδ %

由表6 可知，NDC-ILHS 與MCILHS 得到的有功功率期望的相對誤差都小于SRS-MCS 的計算結果，且都具有較好的收斂性，在采樣規模為100 時就基本到達穩定狀態。由表7 可知，在不同采樣規模時采用NDC-ILHS 獲得的有功功率的標準差比其余2 種方法小。

當采樣規模為500 時，3 種方法得到的支路66-67 有功功率的PDF（概率密度函數）與CDF（累積分布函數）如圖3 所示。由圖3 可知，本文所提NDC-ILHS 所得PDF 與CDF 曲線比其他方法更接近于基準值。

圖3 3 種方法采樣規模為500 時支路有功功率對比

5 結語

為了解決LHS 在高維隨機變量采樣中樣本均勻性不足以及高滲透率風光等分布式電源并網而導致相關矩陣高維且非正定的問題，本文提出一種考慮非正定相關性的改進LHS 概率潮流計算方法。通過AGM，PDSD 及CGM 處理不同維度非正定相關矩陣的仿真對比可以看出，隨著矩陣維度的增加，AGM 所需時間更少，所得結果精度更高。通過對比不同概率潮流方法對改進IEEE 30 和IEEE 118 節點系統的計算結果，驗證了NDC-ILHS 解決隨機變量非正定相關時概率潮流計算問題的能力，在相同采樣規模下，NDCILHS 的準確性要優于SRS-MCS 與MCILHS。