大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中基于譜分離的導頻去污染

王海榮，董健，王玉輝

（1.南京郵電大學通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003；2.中通服咨詢設計研究院有限公司，江蘇 南京 210019；3.南京船舶雷達研究所，江蘇 南京 211100）

1 引言

隨著經濟全球化及互聯(lián)網技術與移動通信技術之間的不斷融合發(fā)展，未來將會是移動互聯(lián)網的時代。在接下來的10 年中，數(shù)據(jù)傳輸速率將達到10 Gbit/s，無線數(shù)據(jù)流量將面臨1 000 倍的增長[1]，在此驅動下，第五代移動通信技術（5G）得到了充分的發(fā)展。但如果5G 技術僅僅是當前4G 技術的一個簡單演進，可能無法滿足這1 000 倍的無線速率的增長，顯然，需要具有突破性的技術。massive MIMO[2-4]（又稱為“l(fā)arge-scale MIMO”或者“大規(guī)模天線系統(tǒng)（LSAS,large-scale array system）”）將是5G 中提升頻譜效率的關鍵技術之一。massive MIMO 技術以其相對直觀地提高系統(tǒng)容量的方式成為當前的研究熱點[5-7]。massive MIMO 是指在基站端配置超過100 根且少于1 000 根天線，即每個基站都有一個大規(guī)模的天線陣列，可以同時服務大量的用戶。大規(guī)模的天線可以帶來以下優(yōu)勢：簡化了多用戶的處理，隨著天線數(shù)的大量增加，采用諸如最大比合并發(fā)射和迫零預編碼等線性處理方法就足以獲得非常接近復雜編碼如臟紙編碼算法的最優(yōu)性能；顯著降低上下行鏈路的發(fā)射功率，符合未來以降低能源消耗和保護人類生存環(huán)境為目標的“綠色通信”的要求[8-10]；同時可以很好地消除熱噪聲和快衰落效應。

雖然采用massive MIMO 技術能獲得巨大性能增益，但還是依賴于實際收發(fā)機的設計。要實現(xiàn)下行鏈路的多用戶預編碼和上行鏈路的多用戶檢測，基站都必須獲知全部或者部分的信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）。但是，基站處天線數(shù)目的大量增加，會導致無法沿用傳統(tǒng)的信道狀態(tài)信息反饋模式，這是因為傳統(tǒng)的CSI 反饋量是會隨著天線數(shù)目線性增長的，當天線數(shù)量巨大時，反饋所需的時間將會遠遠大于信道相干時間。所以，當前的massive MIMO 技術多應用于時分雙工（TDD,time division duplex）系統(tǒng)中，利用信道互易性來獲得信道狀態(tài)信息[2-4]。由于在TDD 系統(tǒng)中信道狀態(tài)信息是依靠上行導頻信號估計的，而導頻信號空間的維數(shù)總是有限的，因此在未來的稠密多小區(qū)多用戶TDD 系統(tǒng)中，不可避免地總是存在多個小區(qū)的用戶采用相同導頻同時發(fā)射，從而導致基站無法區(qū)分本小區(qū)用戶的導頻來獲得足夠精確的信道狀態(tài)信息，形成所謂的“導頻污染”（pilot contamination）[2,4,11]，這已成為massive MIMO 技術新的性能瓶頸。

針對導頻污染問題，現(xiàn)有文獻已經給出了大量理論研究和減輕導頻污染的方法[12-17]。比較值得注意的是Müller等[18]所提出的盲導頻去污染，他們指出導頻污染并不是massive MIMO 技術所固有的問題，而是因采用線性信道估計方法所導致的，通過適當?shù)卦O計系統(tǒng)參數(shù)，利用發(fā)射功率控制及切換，以及接收信號協(xié)方差矩陣漸近譜中有用信號、干擾信號及噪聲信號彼此可分離的特性，可以構造一個完全沒有導頻污染的massive MIMO 多小區(qū)系統(tǒng)。但要實現(xiàn)這一目標，目前來看還是很復雜的，比如各個參數(shù)應當滿足怎樣的條件，以及參數(shù)之間有著怎樣的關系都還沒有非常清晰的表述。另一方面，大維隨機矩陣譜分析理論也在不斷發(fā)展，Bai等[19]早在1998年就證明了沒有特征值位于大維樣本協(xié)方差矩陣的極限譜分布支撐集之外，這是譜分離理論的基礎。進一步地，文獻[20]在1999 年證明了大維樣本協(xié)方差矩陣的特征值是可以精確分離的。近年來，Mestre[21]給出了不同采樣維度下大維樣本協(xié)方差矩陣特征值的漸近密度，隨著采樣維度的增加，該密度會集中到特定的幾個特征值周圍。Couillet等[22]在感知無線網絡中利用大維隨機矩陣理論中的譜分離和特征推斷來估計多個信源的發(fā)射功率。Paul 等[23]進一步證明了沒有特征值位于可分離協(xié)方差矩陣的極限經驗譜分布支撐集之外。Couillet等[24]和Wen等[25]則利用大維隨機矩陣譜分析的相關理論分別給出了高斯和非高斯相關MIMO 多接入信道的確定等價式。

本文考慮采用massive MIMO的多小區(qū)TDD系統(tǒng)。利用大維樣本協(xié)方差矩陣特征值分布函數(shù)的幾乎確定收斂性，得到了當噪聲方差σ2一定時，基站接收信號的樣本協(xié)方差矩陣漸近譜中有用信號、干擾信號以及噪聲信號可分離條件首先取決于f0和P（用戶上行發(fā)射功率），之后才與f相關。其次，在f0和P的取值能保證實現(xiàn)譜精確分離的前提下，給出了當f＜ 1時，系統(tǒng)參數(shù)的一個設計方法，使盲導頻去污染更趨實用。

本文使用的符號及其含義如下。(A)T表示矩陣A的轉置，(A)*表示矩陣的共軛，(A)?表示矩陣的共軛轉置；tr{A}表示矩陣的跡，det(A)表示矩陣的行列式，表示矩陣的Frobenius范數(shù)，E{·}和var{·}分別表示期望和方差，IN表示N階單位矩陣，CN(0,1)表示均值為0、方差為1的高斯分布，z∈C+表示{z∈C,?[z]＞0}，mF(z)表示分布F的Stieltjes 變換。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個由L個小區(qū)組成的massive MIMO 多小區(qū)多用戶TDD 系統(tǒng)，假設各小區(qū)之間時間同步全頻譜復用，每個小區(qū)基站配置M根天線，同一基站的M根天線所組成的天線陣列足夠緊湊，對特定的發(fā)射天線有著相同的大尺度衰落。第j小區(qū)的單天線用戶數(shù)為nj(nj≤M)，且有。小區(qū)內的導頻正交，小區(qū)間的導頻則完全復用。那么目標小區(qū)基站接收到的上行信號為

其中，Hj是M×nj的矩陣，表示第j小區(qū)的nj個發(fā)射天線到目標小區(qū)基站天線陣列的小尺度衰落因子，其所有元素是獨立同分布的（IID,independently and identically distributed）且滿足CN(0,1)；Dβj是nj×nj對角矩陣，對角元素為βj=[βj1,；pr表示每根天線的平均發(fā)射功率；為第j小區(qū)nj根發(fā)射天線所用的導頻向量，τ為用戶發(fā)送的導頻訓練序列長度，而且Ψj中元素獨立且也滿足均值為0、方差為1。W表示M×τ的加性噪聲滿足CN(0,1)，σ表示噪聲標準差。進一步地，令，為了后續(xù)推導方便，設同一小區(qū)內Pj的nj個對角元素相同，都為Pj。那么式(1)可以表示為

3 漸近譜分析

由于H滿足其元素是獨立且有有限四階矩，根據(jù)文獻[26]中的定理3.1 可知，若M，n1,…,nK→∞且，那么HPH?的經驗譜分布（ESD,e mpirical spectral distribution）弱且?guī)缀醮_定收斂到一個極限分布G。對于z∈C+，分布G的Stieltjes變換mG(z)是關于mG的方程具有正虛部的唯一解，如式(5)所示。

因此，HPH?中ESD 的幾乎確定收斂性保證的幾乎確定收斂性，同時可以得到的ESD 幾乎確定收斂到一個分布H，對于z∈C+，其Stieltjes 變換mH(z)滿足式(6)所示條件。

因此得到了與文獻[18]不一樣的結論。文獻[18]中給出的可分離條件認為當功率矩陣P、噪聲方差σ2確定后，分布的可分離特性是由確定的，即f、f0對最終可分離特性的影響是同等的，可以互相補償來實現(xiàn)譜的精確分離。但是由前文的推導發(fā)現(xiàn)，f、f0對極限譜分布最終可分離特性的影響不同的，即具有不同的優(yōu)先等級。分布F的可分離特性首先是由分布H的可分離特性來保證的，而分布H的分離特性是由極限分布G的分離特性確定的。也就是說，當f0的取值無法保證分布G的分離特性時，無論如何調節(jié)f，都是無法獲得分布的分離特性的；而當分布G是分離時，f的大小才對分布的分離特性有影響。歸納起來，可以描述如下。

4 實現(xiàn)導頻去污染的分層參數(shù)設計方法

由第3 節(jié)的分析可知，實現(xiàn)massive MIMO 系統(tǒng)中導頻去污染的可分離條件應當是分層實現(xiàn)的：首先考慮分布G的分離特性和f0的關系，然后考慮f對分布的分離特性的影響。

4.1 分布G的分離特性和f0

形如HPH?的樣本協(xié)方差矩陣的極限分布G的譜分離特性是通過對分布G支撐集的劃分來構建的。文獻[26-28]對此有較為詳盡的分析，本文引用文獻[28]中的定理，如定理1 所示。

定理1令集合，其中是分布G的支撐集SG的補集，并且xG是定義在B上的函數(shù)，滿足

對x∈R*，能確定mG(z)的極限m0(x)，在z→x時，遵循以下規(guī)則。

規(guī)則1如果x∈SG，那么m0(x)是關于虛擬變量m的方程x=xG(m)在B上唯一有正虛部的解。

規(guī)則 2如果，那么m0(x)是使的關于虛擬變量m的方程x=xG(m)在B上唯一的實數(shù)解。反之，對m∈B，如果，那么。

由規(guī)則2 可以很容易地確定分布G的支撐集，即

考慮本文的分布G和式(9)，則有

考慮以下情況：當L=3，(P1,P2,P3)分別為(5,3,1)和(8,3,1)，f0=10，f1=f2=f3時，那么函數(shù)xG(mG)和分布G的支撐集分別如圖1(a)和圖2(a)所示。由這 2 個圖可知，當函數(shù)xG(mG)遞增時，xG(mG)不在分布G的支撐集之內。對于不同的(P1,P2,P3)取值，分布G的支撐集會被劃分為LG≤L塊，當LG=L時，(P1,P2,P3)對應的每一個特征值都是精確分離的；當LG＜L時，有對應的特征值混疊在一起。結合前文的漸近譜分析，可以分別得到對應于圖1(a)和圖2(a)的經驗譜和漸近譜的分布，如圖1(b)和圖2(b)所示。從這2 個圖可以看到的譜分離性與分布G的支撐集的分離性是完全對應的。

具體來看，圖1(a)中的圓圈表示局部極值點，是成對出現(xiàn)的，表示為；方塊表示拐點，表示為mG,j，其中j=1,…,LG，LG≤L；粗實線表示的是分布G的支撐集。圖1(b)中是對應的的漸近譜和經驗譜密度，其中，虛線表示漸近譜，柱狀圖表示經驗譜（經驗譜實驗中取N=120），為了考察f0對分布G可分離性的影響，本文實驗取f=100，圖2 標識同圖1。

圖1 分布G的支撐集分離特性與的譜分離性對應關系（不完全分離）

圖2 分布G的支撐集分離特性與的譜分離性對應關系（完全分離）

此外，由圖1 和圖2 中局部極值點和拐點與分布G的支撐集的關系可以發(fā)現(xiàn)，成對出現(xiàn)的極值點對應右側一段支撐集，如圖1 和圖2 中的所示（其他極值點省略未標出）；而在每對局部極值點之間總有一個拐點，如圖1 和圖2 中的之間有拐點mG,1所示（其中，在圖中未標出），因此根據(jù)式(10)～式(13)，可以得到一個判定相鄰特征值是否精確分離的條件，如命題 1所示。

命題1當滿足

本文給出一個直觀的判定條件，并不進行證明，相關的嚴格數(shù)學推導參見文獻[26-27]。根據(jù)命題1，可以得到如圖3 所示的對應于f0和的可分離區(qū)域。由圖3 可以得出對應于圖1和圖2 的2 個點分別是。很明顯位于可分離區(qū)域外而位于可分離區(qū)域內，這與圖1 和圖2 所示的結果是相符的。

圖3 對應于 f0和的可分離區(qū)域

由圖3 也可以看到，當期望信號與干擾的功率差異越大時，f0的設計越簡單，而兩者功率很接近時，區(qū)分彼此則是很困難的。然后，與特征推斷中需要把每一個對應的特征值都精確分離不同，當實現(xiàn)盲導頻去污染時，只需將期望信號與左右相鄰最近的干擾信號精確分離出來即可，其他離得更遠的干擾源的多少并不會影響最終分離的結果。最后還發(fā)現(xiàn)，當對應特征值的分離性存在時，期望信號的功率并不一定要大于干擾信號功率，以圖2 為例，一般考慮功率值為8 時對應期望信號功率，而為1 和3 時是干擾信號功率。但當假設期望信號功率為3，干擾信號功率為1 和8 時，往功率值為3 的對應子空間投影和往功率值為8 時的子空間投影幾乎是沒有什么區(qū)別的。

4.2 分布的分離特性和f

F的支撐集是無法實現(xiàn)的。至今，關于這個問題僅有一個充分條件在文獻[22]中被提出，該充分條件假設了f≥ 1。這對于實際系統(tǒng)設計而言，無疑是不可行的，因為f≥ 1意味著在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中所采用的導頻長度要大于或者等于基站的接收天線數(shù)。

命題 2為了求解式(15)中的支撐集，都可以通過mG來計算。

證明由式(8)可以看到對于每一個給定的值，還與mH相關，由式(6)可知，mH可以通過mG來計算，所以顯然是可以通過mG來計算的。對于則沒那么簡單，首先對式(8)求導得到

其中，有

顯然，式(17)可以通過mG直接計算獲得。而式(18)則沒那么直接，需要知道的表達式，直接對式(5)求導來計算是困難的。但利用反函數(shù)的導數(shù)就等于原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)這一結論，則很容易就能得到式(19)。

證畢。

算法1對給定的f(f≤1)，判斷是否位于分布的支撐集之外

2)求解關于mG的方程。

5 仿真結果

本節(jié)通過數(shù)值仿真來評估本文所提的分層參數(shù)設計方案來實現(xiàn)massive MIMO 系統(tǒng)中的導頻去污染。由于本文研究的是盲導頻去污染的分層參數(shù)設計方案，因此數(shù)值仿真關注的是所提方案的有效性，實現(xiàn)漸近譜可分離后，對通信系統(tǒng)性能（BER,bit error ratio）的對比與文獻[18]是類似的，因此本文不再贅述。不失一般性地，設L=3，σ2=0.1。依據(jù)分層參數(shù)設計首先要確定f0的值，假設(P1,P2,P3)=(8,3,1)，那么對于massive MIMO系統(tǒng)而言，f0=10是一個典型值。由圖3 可知，位于可分離域內。接下來就需要尋找最小的參數(shù)f，使其能滿足的譜精確分離。由于要使得f∈(0,1)，很自然想到用二分法來搜索可能的f。對每一個可能的f值可采用4.2 節(jié)中的數(shù)值算法來驗證其是否支持G和的支撐集分離性。對于上述的設定：σ2=0.1，(P1,P2,P3)=(8,3,1)，f0=10，f1=f2=f3，可以最終搜索得到最小的f值為0.5（搜索步長為0.1），這是一個實際系統(tǒng)可以接受的參數(shù)值，如圖4 所示。圖4中右側縱軸表示的支撐集，而下側橫軸表示的支撐集。對應的的漸近譜和經驗譜密度分布如圖5 所示，其中虛線表示漸近譜，柱狀圖表示經驗譜（經驗譜實驗中N=120）?？梢钥吹狡渥V的分離性與圖4 中分析的支撐集分離性是相一致的。

圖4 分布支撐集的分離性（f=0.5）

圖5 的漸近譜和經驗譜分離性（f=0.5）

圖6 滿足可分離條件的最小f值

6 結束語

本文提出了一種適用于massive MIMO 系統(tǒng)的，采用系統(tǒng)參數(shù)分層設計，實現(xiàn)了基站接收導頻信號的樣本協(xié)方差矩陣的譜能精確分離，從而消除導頻污染的方法，解決了現(xiàn)有的盲導頻去污染方法的不足。通過進一步的研究發(fā)現(xiàn)期望導頻信號與干擾信號之間的功率差異是實現(xiàn)譜分離的重要參數(shù)，而非期望導頻信號功率越大越好。當已經實現(xiàn)接收信號譜的精確分離后，干擾源的多少并不會影響最終的結果。在此基礎上，首次給出了數(shù)值方法，當f＜ 1，即所采用的導頻序列長度小于基站接收天線數(shù)時，仍然能實現(xiàn)譜分離，完全消除了上行信號的導頻污染。