兩輪自平衡車CMG永磁電機控制系統

肖 曦 唐藝偉 張 猛

（1.清華大學 電力系統及發電設備安全控制和仿真國家重點實驗室 北京 100084；2.北京控制工程研究所 北京 100080）

引言

兩輪自平衡車是智能車輛的一個分支，擁有體積小巧、機動性高、駕駛簡單、適用性廣等特點，已經吸引了許多技術企業和投資者的關注。美國的LitMotors公司在2013年首先提出了兩輪自平衡概念車型C-1，此車型采用陀螺穩定器技術，通過一組控制力矩陀螺（control moment gyroscope， CMG）使得車身本體保持姿態平衡[1]。國內的凌云智能公司也從事兩輪自平衡智能電動車開發[2]，其于2015年7月獲得1 000萬美元A輪投資，現已推出第三代樣車。日本的雅馬哈公司于2017年推出名為MOTOROiD的概念車型，成為同年東京摩托車展上的一個焦點。

考慮到力矩輸出能力和電氣控制難度，現有的兩輪自平衡車多基于單框架CMG系統實現。CMG系統由陀螺電機和框架電機組成，其中陀螺電機高速旋轉、提供角動量量值；框架電機帶動陀螺電機旋轉、提供角動量方向變化；二者配合產生內部力矩抵消外界的傾覆力矩。兩個CMG系統前后對稱安裝，實現自平衡車偏航和側傾的解耦，如圖1所示。

取圖1中的坐標系約定，記陀螺電機角動量量值為H，兩個框架電機旋轉角度分別為±φ，列寫車身繞x軸的角動量定理方程可得兩個CMG系統產生的內部力矩L為：

圖1 兩輪自平衡車原理示意圖

電機選型和電機控制是CMG系統的重要任務，永磁同步電機結構簡單、功率密度高、效率高、控制性能好，被廣泛應用于高精度伺服系統、艦船推進系統、牽引系統、節能控速系統等多個領域中[3]。通過合理地設計永磁體結構并相應地布置電樞繞組，可以在每相繞組中獲得正弦波或梯形波的反電動勢。為了區分此兩種電機，具有正弦波相反電動勢的永磁同步電機被稱為永磁交流電機（permanentACmachine，PMACM），具有梯形波相反電動勢的永磁同步電機被稱為無刷直流電機（brushlessDCmachine，BLDCM）。

為保證角動量量值大而穩定，CMG系統要求陀螺電機恒定高速旋轉。此外，供電功率確定后，CMG系統還要求陀螺電機盡可能輕便。由于轉子轉動慣量較大、工作轉速較高，轉矩波動對電機轉速的負面影響較小，因而CMG系統能夠容忍陀螺電機擁有較明顯的轉矩波動。無刷直流電機結構緊湊、控制簡單、可靠性強，尤其適用于此種場合。考慮到應用特點并結合設計經驗，選取外轉子結構的無刷直流電機作為陀螺電機，并在軸系上附加飛輪體以滿足慣量要求。為保證輸出力矩靈活可控，CMG系統要求框架電機擁有較好的速度伺服性能。此外由于安裝空間限制，框架電機也應該有較高的功率密度。考慮到框架電機的運行速度較低，運行負載較大，適合使用永磁同步電機直驅運行。

1 CMG系統無刷直流電機控制

1.1 模型建立

采用三相六狀態導通制，假設電機內部物理過程及驅動電路換向過程完全理想，可得到無刷直流電機的數學模型如下：

式中：

u—導通兩相的端電壓；

i—流經電流；

Ra—總電阻；

La—有效電感；

Ke—電機反電動勢系數；

ωm—機械轉速；

Tem—電磁轉矩；

TL—負載轉矩；

J—軸系轉動慣量；

B—軸系阻尼系數。

由于CMG系統中陀螺電機并不帶載，此處負載轉矩TL僅用于代表阻尼力矩的非線性部分。

1.2 控制器設計

用作CMG系統陀螺電機時，受控無刷直流電機的機械時間常數將遠大于電磁時間常數，因而可使用級聯式結構，將控制任務分解至速度環和電流環雙環，得到如圖2所示的電機控制框圖。

首先討論電流環的控制器設計。電流環主要呈現一階特性，因而可使用PI控制器進行控制，記控制器傳遞函數為：

將逆變器建模為一個小延時環節，即：

其中Tinv取為PWM周期的一半[4]。為將反電動勢納入考慮，通過結構圖變換得到圖3所示的電流環控制框圖，同時得到電流環的開環傳遞函數為：

作近似1+sTm≈sTm，同時選取

此時電流環開環傳遞函數形如典型二階系統，選取

完成電流環控制器參數整定后，討論轉速環控制器的設計。由于機械時間常數遠大于電磁時間常數，因而可對電流環進行一階近似，此時電流環的閉環傳遞函數為：

式中：

轉速環的結構如圖4所示，其開環傳遞函數可以近似為：

相應地，其閉環傳遞函數形式為：

上式中各參數分別為a0=(KcurKeKs)/(BTmTs)，a1=(KcurKeKs)/BTm，a2=1，a3=Tcur。整定參數時，以閉環傳遞函數幅頻響應的“平坦程度”作為優化目標[4]。具體而言，對|Gspd，c(jω) |在ω=0處作泰勒展開，令ω2項和ω4項的系數為零，可得，。從中解出Ks和Ts，完成控制器參數整定。

1.3 控制器離散實現

PI控制器形式簡單，在連續控制器的基礎上使用離散求和代替積分即可得到離散形式的控制器。當采樣周期遠小于閉環系統最小的時間尺度時，離散化引起的誤差可以忽略不計。仿真或實驗中可進一步調整參數以適應不同的性能需求。

圖2 無刷直流電機控制框圖

圖3 無刷直流電機電流環控制框圖

圖4 無刷直流電機轉速環控制框圖

2 CMG系統永磁交流電機控制

2.1 模型建立

理想永磁交流電機的數學模型為：

式中：

vd，vq—d軸q軸的電壓；

id，iq—d軸q軸的電流；

R—電樞電阻；

Ld—d軸電感；

Lq—q軸電感；

Φd—d軸永磁體磁鏈，

p—電機極對數；

ωe—電機電角速度；

ωm—機械角速度；

Tem—電磁轉矩；

TL—負載轉矩；

J—軸系轉動慣量；

B—軸系阻尼系數。

用作CMG系統框架電機時，受控永磁交流電機的工作轉速相對于其額定功率下的轉速較低，因而dq軸反電動勢量值較小，對解耦策略要求不高，通常前饋解耦即可滿足要求。假設d、q軸完全解耦，d軸電流被控制為0，則有：

（13＇）（14＇）（15）三個方程形式上與（2）至（4）三個方程類似。

CMG系統中框架電機帶動陀螺電機旋轉，其機械方程中除J表征的慣量項及B表征的阻尼項之外，還有額外的負載力矩即環架扭矩(gimbal torque)，記作TL1。為分析環架扭矩的形式，考慮固定于車身的非慣性系。在此系中，陀螺電機受離心力、歐拉力和科里奧利力三種慣性力。假設陀螺電機完全對稱，其安裝在框架電機軸系上時無偏心、無傾斜，則離心力和歐拉力不產生凈力矩，環架扭矩完全由科里奧利力產生，簡單矢量計算可得：

上式中u為車身側傾角速度，H為陀螺電機角動量，φ為框架電機旋轉角度。對框架電機施以控制時，車身側傾角速度大小未知，因而TL1應視為外界負載擾動。

負載力矩中未被TL1建模的部分統一記作TL2，這包括阻尼力矩的非線性項、機械安裝非理想性導致的耦合力矩等，這部分同樣也是未知的。由定義TL=TL1+TL2。

2.2 控制器設計

由于受控永磁交流電機的機械時間常數同樣遠大于電磁時間常數，因而可使用級聯式結構，將控制任務分解至速度環和電流環雙環。

就電流環而言，由于運行速度較低，dq軸耦合不嚴重，作前饋解耦后永磁交流電機的電流環控制任務類似于無刷直流電機時的情形，可采用相同的控制器設計方案和參數整定方法。電流環控制器設計完成后，取閉環電流環的一階近似，即：

轉速環的情形有所不同，一方面，用作CMG系統框架電機的永磁交流電機需要有良好的速度伺服性能；另一方面負載力矩組分復雜、難以測量，對速度性能影響較大。傳統的級聯PI控制器難以同時兼顧動態響應速度和抗擾能力，一種解決思路是設計二自由度控制器，如文獻[5][6]；另一種思路是利用轉速信息對負載轉矩進行觀測，并使用觀測值進行前饋補償。實際系統中，為獲取電機轉速，通常需要對機械傳感器采集的數據進行差分，為了減小測量噪聲的影響，又需要加入濾波環節，這會向轉速測量引入延時，不利于轉速環帶寬的提高，極端情形下甚至可能導致轉速環失穩。若使用位置信息作為反饋值，通過觀測器可以同時觀測出轉速和負載轉矩，在提高抗擾能力的同時也能獲得低延時高精度的轉速測量值，因而尤其適用于CMG應用場合。

擴展狀態觀測器（extended state observer， ESO）由韓京清等人提出[7]，Guo給出了一般情況下的收斂性證明[8]。此方法的主要思想在于將負載轉矩作為系統的“擴展狀態”、和轉子位置以及轉速一起構成“擴展系統”的狀態變量，對此擴展系統設計觀測器得到轉速和負載轉矩的觀測值。使用擴展狀態觀測器的永磁交流電機控制框圖如圖5所示。

對于永磁交流電機，列寫擴展系統狀態方程有

式中：

θm—電機機械角位置；

ωm—機械轉速；

βm—負載力矩產生的機械角加速度；

u—電磁轉矩產生的機械角加速度；

Tm=J/B—電機時間常數。

（18）式可簡記為：

考慮參數誤差，選取ESO的系統方程為：

其中帶角標的符號表示對真實物理量的觀測或估計。（19）式可簡記為

選取K以使得sI-(A-KC)在s=-ω0處擁有三重根。此時

應施加的前饋電流iq，com由觀測量直接得到：

2.3 ESO性能與閉環機電特性分析

容易推得自iq和TL至iq，com的傳遞函數分別為：

現對（23）（24）兩式做一定物理解釋。首先注意到兩個傳遞函數中均含有來自于ESO的三階極點s=-ω0。此三階極點構成一低通環節，頻率遠小于ω0的輸入成分幾乎不受此低通環節影響，因此可以認為ω0代表ESO的帶寬。此外，兩個傳遞函數中也含有與電機機械常數有關的一階極點，可以認為ESO使用機械角位置信息得到角加速度信息，從中去除電磁轉矩的影響后觀測出負載轉矩的量值。由于軸系阻尼的存在，iq產生的電磁轉矩和TL表示的負載力矩到轉速的傳遞函數必有一由電機機械參數決定的低通環節，此低通環節的影響最終反映在前饋電流中，對應（23）（24）兩式分母中的1+sTm項。ESO使用的電機參數的準確性影響兩式的零點，假設各電機參數完全準確，則(iq，com(s)/TL(s)發生零極點對消，而(iq，com(s)/iq(s)為零，即iq，com(s)完整反映了負載力矩TL(s)，而不含有iq(s)的影響。若使用的參數不準確，則ESO既無法準確去除電磁轉矩的影響，因而(iq，com(s)/iq(s)為零；也無法由轉速信息準確得到負載轉矩，因而(iq，com(s)/TL(s)存在幅值和相位的扭曲。

容易推得自ωm和TL至的傳遞函數分別為：

其中o(s/ω0)表示s/ω0的高階項。可以看出當參數準確時，中s/ω0的一階項系數c1為零（進一步計算可知此時高階項也為零），而并無此結果。這意味著即使參數準確，使用估計ωm仍然有誤差，此誤差源于負載轉矩的影響。不過由于無常數項，可知在階躍形式的負載擾動下，ESO仍能實現對轉速無差估計。此外，提高帶寬有助于提高觀測精度，在轉速環關注的頻率范圍內，可以認為|s/ω0|≤ 1，此時≈ωm。

ESO的性能對閉環機電特性有直接影響。記G1(s)=(iq，com(s)/iq(s)及 G2(s)=(iq，com(s)/TL(s)，在轉速環頻段內，忽略電流環的sTc項，忽略ESO極點的影響，容易得到自至電流環輸出iq以及自TL至iq的傳遞函數：

（30）式表明閉環機電特性正如同設計ESO時對系統模型的估計。可以做這樣的理解：對這種估計的偏離不管來源于負載力矩還是參數偏差，都會被ESO判定為負載力矩的影響并且加以校正，最終使得閉環機電特性接近最初的估計，即參數偏差對閉環機電特性性能沒有負面影響。

為討論ESO的帶寬以及參數偏差對閉環機電特性穩定性的影響，考慮閉環系統穿越頻率ωc。假設對電機機械時間常數的估計準確，即。由于機械時間常數較易測量，工程實踐中滿足此假設并不困難。令1+jωcTc+G1(jωc)=0，容易得到：

其中θ=Tc/Tm為閉環電流環時間常數與電機機械時間常數之比，λ= 1/ω0Tm可表征帶寬寬度。隨帶寬增大，λ減小，增大，即閉環系統對參數偏差的魯棒性提高。考慮到電流環一階假設和對離散化的需求，不應把帶寬取得過大。令λ=θ，此時，ωc=ω0。其物理意義為：當帶寬ω0滿足ω0Tc=1時，若對受控永磁交流電機參數J/Φd的估計值若大于真實值的5倍，則引入前饋電流iq，com將使得閉環系統失穩。

2.4 ESO與卡爾曼濾波器的聯系

上述討論假定電機角位置的測量值完全精確，為說明測量噪聲的影響，可以對擴展狀態觀測器和卡爾曼濾波器作一比較。卡爾曼濾波器同樣可被用于觀測電機轉速[9]以及負載力矩[3]，使用時需假定系統模型完全準確、將負載力矩處理為系統噪聲并假定系統噪聲和測量噪聲均為協方差矩陣已知的白噪聲，此時卡爾曼濾波器是最小方差意義下的線性最優濾波器。但明顯可見，此種方法對負載力矩的假設偏離實際情況，此外設置協方差矩陣時需要試湊或需要從已有數據中估計，增大了工作量且不利于物理解釋。卡爾曼濾波器迭代式地計算最優增益并作狀態變量反饋，后者形式上和ESO有相似之處。為了簡潔起見，此處討論連續形式的卡爾曼濾波器，即Kalman-Bucy濾波器。

列寫系統方程有：

觀測器結構及增益計算方式為：

其中r為v的方差，Q為w的協方差矩陣。若只考慮角加速度受系統噪聲，則w僅一個非零元素，相應地Q僅在主對角線上有一非零元素。由于反饋增益僅與測量噪聲與系統噪聲方差之比有關，不失一般性，可取

據文獻[10]的結論，可以驗證得知（36）式有一與初值無關的極限解P*，由P*得到的反饋增益K*即為觀測器穩態反饋增益。定義觀測器穩態下的帶寬為矩陣特征值模的最小值，可與ESO的帶寬相對應。借用對ESO的分析可以知道觀測器的性能主要受此帶寬影響，作與r的關系如圖6所示。由于在百赫茲至千赫茲級別時，與r的關系幾乎不受在合理范圍內（百毫秒量級以上）變化的影響，此處不再具體說明。

從圖6中可以看出：測量噪聲方差越小，設計出的卡爾曼濾波器閉環帶寬越高。反映在ESO設計過程中可知為了適應測量噪聲的影響，可以降低帶寬ω0，此時ESO低通環節的濾波作用更為明顯。

2.5 控制器離散實現

使用前向歐拉法對（18）式所示的系統狀態方程進行離散，得到：

其中

表1 無刷直流電機控制器設計算例參數

考慮如下形式的離散形式觀測器系統方程：

當采樣周期Ts和觀測器帶寬ω0滿足Tsω0≤1時，調整Ke以使得Φ-ΦKeC的特征根為1-Tsω0，此時離散化引起的誤差很小，可被觀測器的閉環結構自行校正。

3 仿真驗證

對于無刷直流電機，選取算例參數如表1。取轉速參考值為100 rpm，母線電壓為72 V，電流極限值為2.5 A。電機空載啟動80 s后突加0.1 Nm的恒轉矩負載，在SimulinkR2018b里使用變步長混合階數的龍格庫塔方法對系統仿真，得到輸出如圖7和圖8。

由圖7和圖8可以看出，升速過程中導通電流保持在極限值2.5 A，當轉速接近參考值100 rpm時，導通電流快速下降至0.5 A，對應的電磁轉矩用于抵消阻尼力矩。施加階躍負載時，導通電流快速上升，以產生相應的電磁轉矩抵消負載力矩，維持轉速不變。

算例中機械子系統和電氣子系統時間常數相差多個量級，滿足于設計控制器時的假設。前述整定方法選取的參數較為激進，使得控制器本身響應非常迅速，影響系統響應時間的主要因素為母線電流的極限值限制。考慮到離散后的魯棒性問題，可以減小控制器增益而基本不影響整體系統的性能。

圖6 卡爾曼濾波器閉環帶寬與測量噪聲方差關系

對于永磁交流電機，選取算例參數如表2。令轉速指令為幅值50 rad/s頻率5 Hz的正弦信號，取無負載擾動、幅值1 Nm的各頻率正弦負載擾動、cos t cos φ形式的復雜負載擾動三種情形，比較使用擴展狀態觀測器前后的系統速度伺服性能，得到圖9至圖12。

圖7 空載升速及加載過程轉子轉速變化

圖8 空載升速及加載過程導通電流變化

表2 永磁交流電機控制器設計算例參數

圖9 無負載擾動時使用ESO前后性能對比

圖10 各頻率正弦擾動時不使用ESO時的性能

圖11 各頻率正弦擾動時使用ESO后的性能

從結果對比中可以看出，使用ESO在不損害系統動態性能的情況下大大提高了系統對于負載力矩擾動的抑制能力，且擾動頻率越低，抑制能力越強，和理論分析相吻合。

圖12 復雜負載擾動時使用ESO前后性能對比

4 結論

本文介紹了基于單框架CMG的兩輪自平衡車實現，結合應用特點說明了CMG的電機控制任務。對于用作CMG陀螺的無刷直流電機設計了級聯PI控制器并討論了其參數整定，對于用作CMG框架的永磁交流電機設計了級聯PI和擴展狀態觀測器聯合控制器，討論了ESO的觀測性能、參數魯棒性、穩定性以及測量誤差的處理。仿真結果表明兩種永磁電機各自取得了較好的控制性能。