混凝土彎箱梁橋正應(yīng)力放大系數(shù)的討論

蔡政標(biāo)

（中國土木工程集團(tuán)有限公司，北京100038）

1 引言

在非偏心荷載作用下，直線橋只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)，而彎橋由于其彎扭耦合效應(yīng)既有彎曲又有扭轉(zhuǎn)，產(chǎn)生彎曲、約束扭轉(zhuǎn)、畸變3種基本變形。彎曲將使截面產(chǎn)生彎曲正應(yīng)力σm，約束扭轉(zhuǎn)不僅使截面產(chǎn)生剪應(yīng)力τω，而且產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力σω，畸變將使截面產(chǎn)生畸變應(yīng)力。采用常用的6自由度梁單元分析彎橋時，無法計算約束扭轉(zhuǎn)引起的翹曲正應(yīng)力和畸變應(yīng)力，而通過正應(yīng)力放大系數(shù)λ來考慮其實(shí)際影響。橋梁通過設(shè)置橫隔板可以把畸變應(yīng)力控制在可忽略范圍內(nèi)，此時存在式（1）：約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力見式（2）：

式中，B為截面的雙力矩，N·m2；ω為主扇性坐標(biāo)，m2；Iω為截面的主扇性慣性矩，m6。

對一確定截面，雙力矩B和主扇性慣性矩Iω為定值，約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力與主扇性坐標(biāo)ω成正比。

2 雙室箱形截面扭轉(zhuǎn)幾何參數(shù)

針對圖1所示的雙室箱形截面，梁高H，頂板寬度2B、厚度tu，底板寬度2Bl、厚度tl，翼緣板寬度Bc、端部厚度為tc、根部厚度為td，中腹板厚度tf，邊腹板厚度tw，邊腹板與底板的夾角為a，C為箱形截面的形心，A為箱形截面的扭心，Al為扭心距底板壁厚中線距離，Au為扭心距頂板壁厚中線距離，yA為截面扭心與形心的距離，文獻(xiàn)【1】給出了yA、Al、Au公式。

圖1 雙室箱形截面

文獻(xiàn)【2】對一具體尺寸的箱形截面的主扇性坐標(biāo)進(jìn)行了計算，本文根據(jù)其算法推導(dǎo)單箱雙室截面主扇性慣性矩的公式。

對于對稱截面，主扇性坐標(biāo)反對稱，顯然④、⑤點(diǎn)主扇性坐標(biāo)為零，即ω4=0、ω5=0。

閉口薄壁上任意點(diǎn)S的主扇性坐標(biāo)見式（3）：

式中，ρ為扭轉(zhuǎn)函數(shù)為任意點(diǎn)S沿薄壁中線至主扇性坐標(biāo)零點(diǎn)的積分；t為薄壁厚度，m；h為薄壁中線某點(diǎn)切線至扭心A的距離，m，h帶有正負(fù)號，順時針轉(zhuǎn)動為正。

扭轉(zhuǎn)函數(shù)ρ見式（4）：

式中，∮dS為頂?shù)装搴瓦吀拱逯芯€圍成的封閉曲線積分。

對于外懸臂部分，即開口薄壁②-①，有h=Au，故

則全截面上的主扇性坐標(biāo)分布如圖2所示。

圖2 主扇性坐標(biāo)分布

主扇性慣性矩Iω的公式見式（5）：

文獻(xiàn)【3】給出了一雙室箱形截面算例，其幾何尺寸Bc=Bl=H=120mm，B=210mm，tu=tl=tc=td=tw=tf=20mm，根據(jù)圖2計算3個極值點(diǎn)的主扇性坐標(biāo)ω1=4 848mm2，ω2=-3 215mm2，ω3=3 563mm2，與文獻(xiàn)【3】結(jié)果偏差≤1.1%；根據(jù)公式（5）計算的截面主扇性慣性矩Iω=1.016×1011mm6，與文獻(xiàn)【3】結(jié)果一致。

3 考慮約束扭轉(zhuǎn)的空間有限元程序

7自由度梁單元比6自由度梁單元多考慮了約束扭轉(zhuǎn)翹曲位移θ，即考慮“雙向彎曲、扭轉(zhuǎn)、軸向、雙向剪切、翹曲位移”7個自由度，多考慮了內(nèi)力雙力矩，即考慮“雙向彎矩、扭矩、軸力、雙向剪力、雙力矩”7個內(nèi)力，此時梁單元的空間平衡方程表示如下：

式中，[K]為14階單元剛度矩陣。

本文采用MATLAB軟件編寫了雙室箱形截面扭轉(zhuǎn)幾何參數(shù)計算程序和7自由度梁單元空間有限元程序，以對彎橋進(jìn)行應(yīng)力分析。

4 算例分析

如圖3所示，三跨箱形截面連續(xù)梁25m+40m+25m，曲率半徑為R，截面尺寸如圖4所示。

圖3 三跨連續(xù)梁邊界約束

圖4 雙室箱形截面（單位：cm）

計算求得該箱形截面主扇性坐標(biāo)ω1=1.807 5m2，ω2=-1.473 2m2，ω3=1.539 2m2，主扇性慣性矩Iω=4.202 7m6。對稱截面，彎曲正應(yīng)力σm正對稱，翹曲正應(yīng)力σω反對稱。截面σm極值點(diǎn)位于截面翼緣板和頂?shù)装澹孛妫é襪+σω）的極值點(diǎn)位于翼緣板端部（①）及邊腹板與頂?shù)装褰唤犹帲á凇ⅱ郏?/p>

該彎橋曲率半徑R分別取50m、30m時，在自重作用下，全橋各截面σm、（σm+σω）的最大值如圖5、圖6所示（以受拉為正、受壓為負(fù)）。

圖5 全橋截面正應(yīng)力（R=50m）

圖6 全橋截面正應(yīng)力（R=30m）

由圖5、圖6可知，彎橋在自重作用下，隨著曲率半徑變小，截面（σm+σω）max與（σm）max的比值增大，即其正應(yīng)力放大系數(shù)λ隨著曲率半徑的減小而增大。

通常，跨中截面拉應(yīng)力控制截面設(shè)計，可以取跨中截面拉應(yīng)力放大系數(shù)作為全橋的正應(yīng)力放大系數(shù)。當(dāng)R=200m、100m、50m、30m時，求得該橋中跨跨中截面拉應(yīng)力放大系數(shù)λ分別為1.01、1.02、1.05、1.08。當(dāng)曲率半徑R＜50m時，自重作用下的正應(yīng)力放大系數(shù)λ＞1.05。因此，對于小半徑彎橋，即使在非偏心荷載作用下其約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力也不可忽略。

5 結(jié)語

綜上所述，本文推導(dǎo)給出梯形懸臂板雙室箱形截面主扇性慣性矩公式，以便直接應(yīng)用；同時分析了在自重作用下，曲率半徑變化對彎橋正應(yīng)力放大系數(shù)的影響。研究結(jié)果表明：正應(yīng)力放大系數(shù)隨曲率半徑減小而增大。