理解本質注重方法研究對策
———極坐標與參數方程科學備考新方向

■江蘇省口岸中學 雷道金

極坐標與參數方程為高考選考內容之一,主要考查直線與圓的極坐標方程,考查直線、圓、橢圓的參數方程,考查參數方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化、極坐標方程與參數方程的互化,考查利用參數方程求軌跡的問題及軌跡方程的建立。考查最多的是參數方程與極坐標方程的直接應用,如極坐標系下兩點間距離的求解等,交匯考查直線與圓錐曲線的位置關系、平面幾何的基礎知識、三角函數的性質等。

高考對極坐標與參數方程的題量、考查難度都相對穩定,通常為一道解答題,位于第22題,滿分10分。試題分設兩問,第一問考查內容多為“互化”,第二問考查內容多為利用參數方程中參數的幾何意義或極坐標方程中ρ,θ的幾何意義解決問題,內容涉及距離、面積、弦長、交點、軌跡等問題。理論上說,本系列的問題通過“互化”轉化為普通直角坐標方程后,均可用解析幾何的相關知識加以解決,但是高考全國卷更加關注用本領域知識解決相關問題的考查。與此同時,對數形結合、化歸與轉化等數學思想,以及邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養都有涉及。整體來講,考查難度定位中等偏易,是考生容易突破的一道題目。

題型一、求曲線的極坐標方程

例1 已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,圓C的直角坐標方程為x2+y2+2x-2y=0,直線l的參數方程為,(為參數),射線t OM的極坐標方程為

(1)求圓C和直線l的極坐標方程;

(2)已知射線OM與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長。

解析：(1)因為ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,圓C的直角坐標方程為x2+y2+2x-2y=0,所以ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0。所以點P的極坐標為所以點Q的極坐標為

總結：求曲線的極坐標方程的步驟：

(1)建立適當的極坐標系,設P(ρ,θ)是曲線上任意一點。

(2)由曲線上的點所適合的條件,列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式。

(3)將列出的關系式進行整理、化簡,得出曲線的極坐標方程。

題型二、極坐標方程的應用

例2 已知曲線C的極坐標方程為,以極點為平面直角坐標系的原點O,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系。

(1)求曲線C的直角坐標方程;

總結：利用極坐標系解決問題的技巧：

(1)用極坐標系解決問題時要注意題目中的幾何關系,如果幾何關系不容易通過極坐標表示時,可以先化為直角坐標方程,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決。

(2)用極坐標方程解答最值問題時,通常可轉化為三角函數模型再求最值問題,比在直角坐標系中求最值的運算量小。

題型三、參數方程與普通方程的互化

(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程;

解析：(1)曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4。直線l的普通方程為x-y+25=0。

設曲線C1上任意一點P的坐標為(cosθ,2sinθ),則點P到直線l的距離為d所以點P到直線l的距離的最小值為

總結：消去參數的方法一般有三種：

(1)利用解方程的技巧求出參數的表達式,然后代入消去參數。

(2)利用三角恒等式消去參數。

(3)根據參數方程本身的結構特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數。

將參數方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據參數的取值范圍,確定函數f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍。

題型四、參數方程的應用

解析：直線l為經過點P(1,0)且傾斜角為α的直線,由y2=4,整理得t2-2tcosα-3=0,Δ=(2cosα)2+12＞0,設A,B對應的參數分別為t1,t2,則t1+t2=2cosα,t1·t2=-3＜0,所以t1,t2異號,則||PA|-|PB||=|t1+t2|=|2cosα|=1,所以cosα所以直線l的傾斜角為

總結：(1)對于形如數),當a2+b2≠1時,應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題。

(2)直線參數方程中參數t的幾何意義要認識到位,|t|表示距離,t是包含符號的,如上述例題中,A,B在P點的兩側,t1,t2異號,故||PA|-|PB||=|t1+t2|=|2cosα|=1,而不是||PA|-|PB||=|t1-t2|。另外,當參數方程中含兩個字母參量,哪個是參數在審題時也是值得特別注意的。

(3)遇到橢圓上點到直線距離的問題,應先將直線的參數方程化為普通方程,相應地,將橢圓的方程化為參數方程,轉化為三角問題進行求解。

題型五、極坐標方程與參數方程的綜合應用

例5 在直角坐標系xOy中,曲線C1：(為參數,),其中,tt≠00≤α＜π在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲 線 C2：ρ=2sinθ,曲 線 C3：ρ=23cosθ。

(1)求C2與C3的交點的直角坐標;

(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值。

解析：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-23x=0。

總結：在對坐標系與參數方程的考查中,利用坐標法可以更簡捷地解決問題,這最能體現坐標法的解題優勢。將題設條件中涉及的極坐標方程和參數方程等價轉化為直角坐標方程,然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法,這就是數學問題求解中的“化生為熟”原則,充分體現了轉化與化歸的數學思想。

將陌生的問題化為已知的問題加以解決,是問題解決的常見思維模式,對極坐標和參數方程的有關問題解決,最簡捷的思路就是將極坐標方程轉化為直角坐標方程、參數方程轉化為普通方程,再利用解析幾何中的知識解決問題,然而在有些情況下這種轉化卻會加大運算過程,有時還會出現無法計算結果的情形,近年來高考全國卷就經常出現這種情況,因此除了掌握化為普通直角坐標方程求解的算法,還應關注運用本領域知識解決問題的算法。

值得一提的是,與解析幾何相同,本專題的核心內容也是利用代數的手段研究幾何問題,因此正確的作圖對于成功解題有著決定性作用,應養成邊讀邊畫,以圖協助理解,以圖尋找思路的良好習慣,圖形引領數形結合,戰無不勝。