撥云去霧顯本質
———導數的力量

■云南省曲靖市第一中學 董善清 李德安

經過對近幾年高考試題及各地模擬試題的研究與分析,不難發現,函數與導數的壓軸題在函數單調性的討論、函數零點、極值點、不等式證明和恒成立(或有解)等問題上出現的頻率越來越高。以上這些考點的呈現,對同學們來說再熟悉不過了,但得分卻較低。究其原因,它既考查分類討論、等價轉化、數形結合、方程與不等式等思想,也考查放縮法證明不等式、構造函數法解決問題等。同時,對同學們分析問題、解決問題、融會貫通的能力要求較高。本文選取各地有代表性的高三模擬題或模擬題的改編形式,對導數壓軸題的部分類型進行剖析,并分析其本質所在,以饗讀者。

一、利用導數求解恒成立問題

例1(2020年貴州高三月考(理))已知函數f(x)=(x+1)lnx-(m-1)x+1。

(1)當x≥1時,不等式f(x)≥0恒成立,求實數m的取值范圍;

(2)證明：?n≥2,n∈N,ln5+ln11+…+ln(n2+n-1)＞n-2+

分析：(1)求解參數范圍問題,我們一般有以下兩種方法,一是帶著參數進行討論,二是將參數分離出來。通常我們首選分離參數法,如果分離參數后,無法求解,再帶著參數討論。本題將不等式變形為m≤記g(x)=,求導利用單調性即可證得。

(2)由(1)可知,當m≤2,x≥1時,f(x)≥0恒成立,取m=2,可得lnx≥1成立,令x=n(n+1)-1,則ln[n(n+1)-,然后累加即可證得結論成立。

因為x≥1,所以h′(x)≥0,所以h(x)在[1,+∞)上單調遞增,所以h(x)≥h(1)=1＞0,從而g′(x)＞0,故g(x)在[1,+∞)上單調遞增。

所以g(x)min=g(1)=2,故m≤2。

總結反思：本題主要考查了導數在恒成立、不等式證明方面的應用,第(1)問采用分離參數的方法,轉化為我們熟悉的函數最值問題,若不分離參數,也可以直接帶參分類討論進行解答,讀者可自行嘗試解答。第(2)問的難點是如何能將參數m特殊化,以及對x的賦值,結合第(1)問與第(2)問要證明的結論,恰當的轉化,合理的賦值是關鍵。

二、利用導數證明不等式

例2(2020年湖北高三月考(理))已知函數f(x)的導函數f′(x)=-sinx+x(x≥0),且f(0)=0。

(1)求函數f(x)的解析式,并證明?x∈[0,+∞),f(x)≥0;

(2)證明：當x≥0時,ex-2≥sinxcosx。

分析：(1)本題要由導函數求出原函數,關鍵是準確記憶導函數公式,同時還要特別注意常數的導數為零,這樣就很容易求出原函數的解析式。再利用函數單調性證明不等式即可。求得h(x)的最小值的取值范圍,從而得到正整數a的最小值。

解：(1)已知函數f(x)=xlnx+(2-a)x,x＞1,其中a∈R,所以f′(x)=lnx+3-a。

總結反思：對于第(2)問的證明,我們要有意識地利用第(1)問的結論,還要在平時的學習中,有意識地掌握記憶一些能夠用作放縮依據的結論,比如當x＞0時,有x＞sinx,能看到這一點,我們只需構造函數,利用函數單調性即可證明。

三、利用導數求解存在性問題

例3 (2020年重慶高三月考)已知函數f(x)=xln

x+(2-a)x,x＞1,其中a∈R。(1)求f(x)的最小值;

(2)若?x0∈(1,+∞),使得不等式f(x0)+a＜0成立,求正實數a的取值范圍。

分析：(1)我們知道,要求函數的最值,要么根據特殊類型函數值域的求法,要么知道函數的單調性,而對于由基本初等函數構成較為復雜的復合函數的最值問題,通常先確定函數的單調性,而求單調性的常用方法是求函數的導函數。本題先求得導數f′(x),然后對a進行分類討論,得到f(x)的單調區間,再求f(x)的最小值。

(2)根據題意進行參數分離,得到新函數

①當a≤3時,f′(x)＞0,所以f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),無最小值。

②當a＞3時,由f′(x)＞0,得x＞ea-3;由f′(x)＜0,得1＜x＜ea-1。

所以f(x)的單調遞減區間為(1,ea-3),單調遞增區間為(ea-3,+∞)。

所以f(x)的最小值為f(ea-3)=ea-3·(a-3)+(2-a)ea-3=-ea-3。

設g(x1)=x1-lnx1-3=0,得ln

x1=x1-3。

因為g(4)=4-ln4-3=1-ln

4＜0,g(5)=5-ln5-3=2-ln

5＞0,g(x1)=0,g(x)是增函數,所以4＜x1＜5。

當x∈(1,x1)時,h′(x)＜0,所以h(x)單調遞減;

當x∈(x1,+∞)時,h′(x)＞0,所以h(x)單調遞增。

所以當x=x1時,h(x)取得最小值,為h(x1)。

所以a＞h(x1)=

總結反思：第(1)問屬于常規題,利用導數求函數的單調區間和最值,很容易求解;第(2)問要注意區分恒成立和存在性問題的不同之處,同時也要進一步熟悉求參數范圍的方法,一是帶著參數討論,二是分離參數。當然,若在第(1)問的基礎上不分離參數,直接求出f(x)+a的最小值亦可。由第(1)問可知,f(x)min=-ea-3,故f(x)+a的最小值為-ea-3+a,從而只需-ea-3+a＜0,所以a＜a＜a-3,結合對數函數圖像的特征,由ln4＞1,ln

5＜2,可知a≥5。

四、利用導數求解函數零點個數問題

例4(2020年吉林高三月考(理))已知函數f(x)=x2-2alnx,g(x)=x2-x+2-2ln2。

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)當方程g(x)-f(x)=0有且只有一個根時,求a的值。

分析：(1)利用導數法判斷函數的單調性,對函數f(x)進行求導,利用分類討論法求出函數f(x)的單調性。

(2)本題可以先分離常數,進而轉換為兩函數圖像交點個數問題,問題迎刃而解。

當x∈(0,2)時,F(x)＜0;當x∈(2,+∞)時,F(x)＞0。

所以當x∈(0,2)時,h(x)單調遞減;當x∈(2,+∞)時,h(x)單調遞增。

所以h(x)min=h(2)=2,所以a=1。

總結反思：本題第(1)問利用導數法研究函數的單調性;第(2)問通過分離參數構造函數,再利用分類討論思想研究函數零點的問題,意在加強同學們的化歸與轉化能力。

五、利用導數單調性、放縮法證明不等式

分析：(1)涉及函數唯一零點問題,我們很容易想到函數零點存在性定理,再借助于函數單調性,問題可解。

(2)關鍵在于如何由f(x1)=f(x2)轉換到構造函數g(x)=x-sinx,再利用放縮法去掉“sin

x”,這需要我們在平時多注意積累,能意識到正弦函數與對數函數在一起是很難化簡運算的。

總結反思：第(1)問考查函數單調性、函數零點存在性定理,同時也要注意多觀察端點值的正負,這是一項很重要的基本功;第(2)問關鍵是利用放縮法去掉“sinx”,再構造函數證明不等式,考查同學們的轉化與化歸思想。放縮得到＜2。下面證明 x1x2＜為對數平均數,該不等式為對數平均不等式,是應用較廣的不等式,其證明方法也是證明不等式的常用策略。

利用導數解決函數的綜合問題是常見的、有效的途徑,如何有效地利用是難點所在,其突破的關鍵是要有撥云去霧顯現出本質的能力。解題的核心是能夠構造出“合理”的函數,而這一“合理”的函數如何構造?可以分離參數構造,可以適當放縮后構造,可以選取變量構造,亦可以圍繞零點或極值點建立等式構造等,要在解題綜合運用過程中加以領會體悟。唯有如此,才能真正地發揮出導數的力量。