推導三種宇宙速度

艾尼·卡迪爾 努爾尼牙孜·肉孜

（新疆喀什巴楚縣第五中學，新疆 喀什 843800）

宇宙速度是指從地球拋出一物體，在天體的重力場中運動，四個較有代表性的初始速度的統(tǒng)稱；

第一宇宙速度（又稱環(huán)繞速度）：是指拋體緊貼地球表面作圓周運動的速度（也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度），大小為7.9km/s；

第二宇宙速度：是指拋體完全擺脫地球引力束縛，飛離地球的所需要的最小初始速度，大小為11.2km/s .

第三宇宙速度：是指在地球上發(fā)射的拋體擺脫太陽引力束縛，飛出太陽系所需的最小初始速度，其大小為16.7km/s .

假設(shè)地球是均勻球體，萬有引力定律告訴我們：：任何兩個質(zhì)點之間都存在相互的吸引力，大小和兩個質(zhì)點的質(zhì)量乘積成正比，和距離平方成反比，首先我們應(yīng)用萬有引力定律來對人造衛(wèi)星繞地球的運行情況進行一個簡單的分析.

一、三種宇宙速度的推導方法

分別討論第一宇宙速度，第二宇宙速度和第三宇宙速度的幾種推導方法，用不同的的方法和思路推導三種宇宙速度。

（一）第一宇宙速度的推導方法

基本公式法：

設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，繞地球做勻速圓周運動的飛行器質(zhì)量為m，飛行器速度大小為v，距離地面的高度為h .飛行器運動所需向心力是由萬有引力提供，即：

這就是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，叫做第一宇宙速度。

（二）第二宇宙速度的推導方法

第二宇宙速度就是脫離地球的速度.要計算這個速度，必須先求出在地球的引力場內(nèi)，物體移動時克服引力所作的功。由于各個不同位置的引力并不相等是變力，在這里我們不能引用W=FS=mgs的公式來計算，而要用積分或用下述方法。

設(shè)將物體m從地球E的引力場內(nèi)P0處移到Pn處。因各點的引力不等。我們在P0，Pn二之間分成許多個很小的等分δ，如圖1所示，各等分點P0，P1，P2… …Pn距地球中心的位置各為r0，r1，r2… …rn； 然后求出每一等分的平均引力；再將物體在各等分間反抗平均引力所做的功總和起來，就是物體從P0到Pn所做的總功。物體在P0處所受的力等物體在P1處所的力等于，物體在P0，P1間所受的平均引力 。

上式中，r1=r0+δ，因δ很小，故擴可以略去不計。物體從P0到P1所作的功=，同理，物體從P1到P2所作的功，同理，物體Pn-1從到Pn所作的功。將以上各式相加，得出：物體從P0到Pn所作的功

2.設(shè)將物體從地球的表面(r0=R)射到地球以外(rn=∞)這時所需要的速度v2就是脫離地球的速度.

3.如將物體從距地心為r的高處，射向地球以外，即r0=r，rn=∞，則

（三）第三宇宙速度的推導

選擇原點在太陽的中心，設(shè)質(zhì)點以第三宇宙速度拋出時，其動能為，這個動能包含兩部分，即脫離地球引力所需的動能Ek1和脫離太陽系引力所需的動能Ek2，即根據(jù)第二宇宙速度可求出質(zhì)點脫離地球引力所需要的動能。下面求Ek2，因為地球繞太陽公轉(zhuǎn)的橢圓軌道的偏心率很小，可近似認為是園，各行星對質(zhì)點的引力比太陽對它的引力小得多，不可計，基于這兩點簡化并應(yīng)用機械能守恒定律解題從（2）式可知，質(zhì)點環(huán)繞地球的速度乘以便是質(zhì)點脫離地球引力所需的速度，與此相類比，質(zhì)點隨地球環(huán)繞太陽公轉(zhuǎn)的速度乘以 也就應(yīng)該等于指點脫離太陽引力所需的速度，根據(jù)觀測和計算，地球的公轉(zhuǎn)的速率等于29.8km/s，所以質(zhì)點脫離太陽引力所需的速率應(yīng)該是

如果準備飛出太陽系的質(zhì)點的發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)的速度，這樣，射出的質(zhì)點在離開地球時只需要有相對于地球為的速度便可以擺脫太陽系，與此相對的 動能為既能擺脫地球引力又能擺脫太陽引力所需要的總能量為即可求出第三宇宙速度。

二、總結(jié)

綜上所述，對三個宇宙速度的推導過程中，不僅要涉及到物理上的運動的合成與分解、能量守恒定律、圓周運動規(guī)律以及參考系的選取，還要用到數(shù)學上的知識。