以“問題串”的形式開展中職數(shù)學建模的教學

胡寶華

（浙江省杭州市臨安區(qū)昌化職業(yè)高級中學，浙江 杭州 311321）

一、問題的提出

2019年9月在高三進行了一次月考，其中最后一題是應(yīng)用題，筆者對任教的其中一個班級的這個題目的得分情況進行了統(tǒng)計：

得分 0分 2分 4分 6分 7分 10分人數(shù) 6人 7人 15人 1人 1人 1人

本題滿分10分，31位參加考試的同學這個題目平均得分3.12分，應(yīng)用題大題的測試結(jié)果令人非常不滿意。31位同學只有1位同學得滿分，有15位同學第一小題做對得4分，第2題無法得分，說明這15位同學知道已知數(shù)列的第一項會求第二 項，不知道分別用等差等比數(shù)列的通項公式去求和。

于是我產(chǎn)生了一個疑問，我們的高三學生為什么應(yīng)用題得分這么低？我通過與學生的談話，發(fā)現(xiàn)學生做應(yīng)用題存在以下困難：得0分得同學題目看不懂，得2分和4分得同學不知道這個題目要用數(shù)列的求和公式來求和。我們的學生公式背誦的滾瓜爛熟，但是在解應(yīng)用題的時候他不清楚應(yīng)該要用哪個知識點來解決這個問題，存在兩個困難：一是，建模分析存在困難，不會審題；二是，不知道如何構(gòu)建模型。

筆者嘗試以問題串的形式開展數(shù)學建模的教學，通過一系列問題串，把看似凌亂的知識點進行串聯(lián)，學生在教師的引領(lǐng)下對問題進行分析，使學生分析問題、解決問題的能力得到提高，使中職學生體會到數(shù)學是來源于生活的。

“問題串，是在一定的學習范圍或主題內(nèi)，教師圍繞一定目標或某一中心問題，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計的一組問題。”問題串教學是教師根據(jù)教學目標和要求，突出教學的重、難點，依據(jù)學生的現(xiàn)有能力，設(shè)計若干個具有邏輯性、實效性的問題，運用一問一答的方式進行教學的一種教學方法。

學生在遇到數(shù)學建模問題時，存在兩個困難：一是，建模分析存在困難，不會審題；二是，不知道如何構(gòu)建模型。本文就以“問題串”的形式開展數(shù)學建模的教學做一初步的探討。

二、在建模分析階段的問題串設(shè)計

基于“做中學”的現(xiàn)代教學理念，學生通過教師的啟發(fā)和引領(lǐng)進行自覺的分析、探索，在分析和探索中使學生獲得成就感。學生在碰到數(shù)學建模問題時，教師應(yīng)該如何引領(lǐng)學生進行分析和探索呢？

（一）分段函數(shù)建模問題在模型分析階段的問題串設(shè)計

例1：小李經(jīng)營山核桃土特產(chǎn)店，2019年的營業(yè)額是100萬元，各類成本共計65萬元，計算小李應(yīng)繳納的個人經(jīng)營所得稅金額。

個人所得稅稅率表（經(jīng)營所得適用）

級數(shù) 全年應(yīng)納稅所得額 稅率（%）速算扣除數(shù)（元）1 不超過3萬元的 5 0 2 超過3萬元至9萬元的部分 10 1500 3 超過9萬元至30萬元的部分 20 10500

4 超過30萬元至50萬元的部分 30 40500 5 超過50萬元部分 35 65500

注：本表所稱全年應(yīng)納稅所得額是指以每一納稅年度的收入總額減除成本、費用以及損失后的余額。

問題一：2019年營業(yè)額是100萬元，各類成本共計65萬元，小李需要納稅的金額是多少？

（生）：應(yīng)納稅額是營業(yè)額減去各類成本。

問題二：觀察稅率表，速算扣除數(shù)是什么意思？

問題三：小李應(yīng)該屬于哪一級進行扣稅？

設(shè)計意圖：學生拿到題目后不會分析，老師通過三個問題引導學生對題目進行分析解讀，通過問題一確定需要繳稅的金額，通過問題二理解速算扣除數(shù)的含義，最后明確采用“先選級，再乘稅率，最后減速算扣除數(shù)”的程序計算。

（二）數(shù)列建模問題在模型分析階段的問題串設(shè)計

近幾年的浙江省數(shù)學高職考中，在大題中出現(xiàn)了數(shù)列的綜合應(yīng)用題，需要學生運用觀察、歸納、猜想的方法，結(jié)合等差模型、等比模型來解決實際問題。學生在看到題目后，不知道怎么分析，不清楚需要用哪個模型來解決問題。

例2：杭州市住房公積金2017年初的賬戶余額為3億元人民幣，當年全年支出4500萬元，收入3500萬元。假設(shè)以后每年的資金支出額比上一年多300萬元，收入金額比上一年增加10%，試解決如下問題：

1）2019年杭州市的公積金應(yīng)支出多少萬元？收入多少萬元？

2）到2026年底，該城市的公積金賬號余額為多少萬元？

（參考數(shù)據(jù)：1.16=1.772，1.17=1.949，1.18=2.144，1.19=2.358，1.110=2.594，1.111=2.853）

問題一：每年支出構(gòu)成一個什么數(shù)列？

（生1）：每年支出額比上一年多300萬元，每年支出額構(gòu)成一個等差數(shù)列。

問題二：每年收入額構(gòu)成一個什么數(shù)列？

（生2）：每年收入額比上一年增加10%，每年收入額構(gòu)成一個等比數(shù)列。

設(shè)計意圖：學生的解題困難首先是審題難理解難，收入和支出需要分開計算，通過上述問題引導學生將學習過的數(shù)列知識運用到解題中來，把文字的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問題。現(xiàn)實生活中存在很多等差等比數(shù)列的模型，這些模型問題常見的解題思路：審題—建模—研究模型—返回實際。在此類模型中，經(jīng)常結(jié)合考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式。

（三）線性規(guī)劃問題在模型分析階段的問題串設(shè)計

例3：A、B、C、D四為同學分別拿著4，2，3，1個開水壺去打開水，但是熱水龍頭只有一個，假設(shè)打滿一瓶開水需要1分鐘時間，怎樣安排打開水的順序，他們打完開水所花的總時間最少（包含排隊、打水的時間）？

問題一：A、B、C、D四為同學將自己的開水壺打滿水各需要多少時間？

（生1）：A、B、C、D四為同學將自己的開水壺打滿水分別需要4分鐘、2分鐘、3分鐘、1分鐘。A同學用時最長，D同學用時最短。

問題二：對于A同學和D同學，如果先安排A同學打水，總共需要多少時間？

（生2）：如果A同學先打水，A同學需要4分鐘；D同學除了等候的4分鐘還要加上自己打水的一分鐘，D同學需要5分鐘時間，兩人總共需要9分鐘時間。

問題三：對于A同學和D同學，如果先安排D同學打水，總共需要多少時間

（生3）：如果D同學先打水，D同學需要1分鐘；A同學除了等候的1分鐘還要加上自己打水的四分鐘，A同學需要5分鐘時間，兩人總共需要6分鐘時間。

問題四：從上面的兩種方案看，我們可以得到一個什么結(jié)論?

（生4）：把打水時間少的同學先安排打開水，可以使等候的時間最短。

問題五：那么應(yīng)該如何安排同學他開水呢？

（生5）：按照占用打開水的時間有少到多的順序安排是：D同學、B同學、C同學、A同學。

設(shè)計意圖：通過上述的五個問題，可以幫助同學理清思路，抓住關(guān)鍵問題，找到解決問題的最佳方法和途徑。使學生明白只有通過最優(yōu)化的思想，合理安排，才可以提高效率，得到最佳的效果。

三、在構(gòu)建模型階段的問題串設(shè)計

（一）函數(shù)建模問題在構(gòu)建模型階段的問題串的設(shè)計

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，函數(shù)模型與我們的生活息息相關(guān)，我們可以利用熟悉的函數(shù)解決日常生活中的實際問題。近幾年的高職考大題中經(jīng)常出現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用的題目，我們的學生在這個題目上普遍得分比較低。

例4：某水廠要建造一個容積為8000立方米，深5米的長方體蓄水池，池壁每平方米的造價為100元，池底每平方米的造價為200元。如何設(shè)計能使總造價最低，最低造價為多少？

模型假設(shè)：設(shè)池底一邊長為x米，總造價為y元。

構(gòu)建模型：問題一：用關(guān)于x不等式寫出池底面積和池壁面積？（學生感覺有困難）

問題二：池底的面積是多少？（教師通過分步提問化解困難）

問題三：池壁的面積是多少？

（生2)：因為池底的一邊長為x米，另一邊為米

問題四：總造價的函數(shù)模型是怎么寫？（通過上面的問答，學生可以輕松的寫出函數(shù)模型）

設(shè)計意圖：這里采用遞進式問題串的形式設(shè)計問題串，以問題引領(lǐng)學生進行思考，有序?qū)訉油七M，一問一答，以前問作為后問的基礎(chǔ)，后問作為前問的延伸。

（二）幾何測量問題在模型構(gòu)建階段的問題串的設(shè)計

在考查無法直接測量的距離問題時，我們可以通過在三角形中建立三角函數(shù)模型解決問題。在三角形在已知兩邊及一邊的對角或已知兩角及一邊，求另外的邊角，可以用正弦定理；已知兩邊及夾角或已知三邊，求另外的邊角，可以用余弦定理。

建模分析：正確理解仰角和俯角，在ΔAMN中，已知兩個角和一條邊求另外的邊的問題。在中已知斜邊和角，求直角邊的問題。

建模構(gòu)建：

問題一：在ΔAMN，已知條件是什么，求什么？

（生1）：在ΔAMN中，可知，，求邊的長度。

問題二：：已知兩角與一邊，可以用什么定理解決問題？

問題三：利用正弦定理可以求出哪條邊的長度？

在解三角形的綜合問題時，要仔細分析問題，結(jié)合圖形，找出相應(yīng)邊角的關(guān)系，運用正弦定理、余弦定理解決問題。

通過以問題串的形式開展數(shù)學建模教學實踐，發(fā)現(xiàn)學生由原來“怕”數(shù)學建模題到現(xiàn)在“喜歡”解數(shù)學建模題，筆者所帶的高三學生在模擬考試中數(shù)學建模題的得分有明顯的提高，收到了成效。