附加球面相位引致Airy光束在單軸晶體傳輸時的兩次鏡像演化

朱開成 梁瑞生 易亞軍 劉偉慈 朱潔

1) (廣州工商學院電子信息工程系, 廣州 510850)

2) (中南大學物理與電子學院, 長沙 410083)

3) (貴州理工學院理學院, 貴陽 550003)

利用單軸晶體光束傳輸理論, 求得了具有附加球面相位Airy光束在單軸晶體中的傳輸公式.數值模擬計算結果表明, 線偏振附加球面相位Airy光束在晶體中傳輸時仍為線偏振, 但不是傳輸不變的.粗略地講,具有附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時, 近場是傳輸不變的; 而在由晶體尋常與非尋常折射率和球面半徑共同確定的兩個特定傳輸距離處, 傳輸光束轉換成了取向不同的Gaussian-Airy光束, 且高斯依賴的束寬度敏感地與截斷因子相關; 而當光束依次穿過此兩位置時光斑花樣先后相對于兩橫向軸平面做鏡像演化, 且鏡像演化順序也與晶體尋常和非尋常折射率相對大小密切相關, 其總的效果是遠場強度花樣能恢復原樣但花樣取向產生了關于對過橫平面二、四象限平分平面的鏡像演化.這些結果表明, 通過恰當選擇晶體材料(即折射率)和附加球面相位的半徑R, 可以調控光束花樣的形狀、取向及表征各向異性材料的相關性質.

1 引 言

自1987年實驗產生了貝塞爾光束的無衍射光后, 無衍射光在理論研究和實踐應用中都得到了眾多學者的廣泛關注.無衍射光是自由空間標量波動方程的一組特殊解, 對其研究成了一個經久不衰的研究主題.Airy光束是另一類典型的完全無衍射(無形變)束類, 這類光束是 Berry和 Balazs[1]在1979年以Airy函數作為初值條件獲得的一維含時薛定諤方程的嚴格解, 并稱之為Airy波包, 他們也證明該波包解是一維含時薛定諤方程的惟一非平凡無衍射解.2007年, Siviloglou 等[2,3]于實驗中首次成功地實現了Airy光束, 并且證實了這類光束能保持長距離無衍射傳輸且有橫向加速的奇特現象.

因為Airy光束具有無衍射、自恢復或自愈性以及可控的自彎曲彈道軌跡傳輸等奇異特性, 因此吸引了人們極大的研究興趣, 目前人們設計了多種方案, 有些在實驗中也成功地實現了Airy光束[4?9].許多基于Airy光束令人興奮的應用被先后提出并得以實現, 典型的例子包括光子彈、彎曲等離子體通道產生、光路由、光互聯及圖像信號傳輸等[10?13].特別地, 由于Airy光束在自由空間傳輸時表現出可以沿彎曲路徑傳輸的奇異性質, 自然勾起了人們對Airy光束在各種介質中傳輸性質研究的興趣.目前, Airy光束在自由空間、大氣湍流及各種介質中的傳輸動力學行為都有廣泛而深入的研究[14?29].實際上, 激光束在各向異性介質中的傳輸一直是有意義的研究主題, 而單軸晶體是典型的各向異性介質, 而且在諸如光偏振器、振幅或相位調制器設計與制造中具有重要作用.近些年, 渦旋Airy光束、Airy-Gaussian光束等在單軸晶體中的傳輸性質演化已被廣泛而深入地探討[30?37], 特別地, Deng 課題組[38?40]詳細討論了具有相位一階、二階啁啾的Airy-Gaussian光束或渦旋Airy光束在單軸晶體中的傳播, 揭示出了 一些有趣的演變性質.

本文將討論附加球面相位的Airy光束在單軸晶體中的傳播, 基于求得的解析傳輸表達式, 運用數值方法分析附加球面相位的Airy光束通過單軸晶體傳播時球面相因子的影響.

2 具有附加球面相位的Airy光束通過單軸晶體傳播時的場振幅

設光束傳輸的方向與單軸晶體的光軸垂直.不失一般性, 設z軸為光束傳輸方向, 于是單軸晶體介電常數張量e可表示為[38?40]

其中no和ne分別是尋常光波與非常光波的折射率.

設具有附加球面相位的Airy光束沿z軸傳輸(z > 0), 是沿 x 方向偏振的線偏振光, 在 z = 0 處的場分布形式為[8,9]

其中wx和wy分別是x和y方向特征主斑寬度的參數; a 和 b 是 x 和 y 方向截斷參數; k =2π/λ 是波數,是單色光波長; R 是附加球形波面半徑.為簡化起見, 下面將取表征強度參數 E0= 1.實際中最簡單直接實現這種附加球面相位Airy光束的方法是用相應Airy光束通過一個無像差薄透鏡, 這時 R 就是透鏡焦距.R > 0 或 R < 0 分別對應于會聚或發散球面相位, 本文僅討論 R > 0 情形.通過相位調制實現光束整形是非常有效和常用的手段之一[41?44].

在傍軸近似下, 光場復振幅在正交穿過單軸晶體中傳播時的演化可表示為[38?40]

于是, 將(2)式代入(3)式并進行適當的變量變換后可得到:

顯然這光束仍是x方向的線偏振光束, 而且場的復振幅對x和y的依賴關系是可分的.

得到

再次應用[45]

最終有

類似地, 在橫平面 zf=neR 上有

因此, 我們求得了具有附加球面相位的Airy光束沿光軸正交方向入射進單軸各向異性晶體中傳輸時場復振幅在不同橫平面上的分布解析表達式, 據此可討論不同橫平面上光束的強度分布或相位分布演變性質.

3 數值模擬結果與分析

基于前節的解析結果, 可以對具有附加球面相位的Airy光束垂直于單軸晶體光軸的傳輸場強度分布 I (x,y,z)=|Ex(x,y,z)|2演化進行數值計算,計算中取 a = b 和 d = 1 (即 wx= wy).數值計算表明, 一般而言具有附加球面相位的Airy光束在正交穿過晶體光軸傳輸時不再是傳輸不變的.

圖1給出了在金紅石晶體中傳輸時的光場強度分布, 金紅石晶體的尋常光和非尋常光折射率分別為 no= 2.616, ne= 2.903.數值結果表明, 在以及 zf=neR = 2.903R 處(注意這里 zn

再者, 在穿過這兩個位置時, 光斑花樣有鏡像演化[26], 如在穿過zn時, 其場強分布花樣對y平面成鏡像演化, 而在穿過zf后, 對x平面產生鏡像演化, 從而總的變化是相對于平分二、四象限的平面(x+y = 0 的平面)鏡像演化.進一步計算表明, 在遠場其場強分布花樣形式上恢復了原始花樣, 但花樣的取向不同, 如圖1中 z = 1.5zf處的強度花樣是z = 0處的花樣相對于平分二、四象限的平分平面的鏡像演化的結果.實際上, 具有附加球面相位的Airy光束正交穿過單軸晶體傳輸時在zn與zf處鏡像演化是可以理解的, 因為對于有限截斷參數的Airy光束, 導致了單軸晶體中衍射表達式(16)式和(18)式的因子Wx和Wy出現符號變化.

圖2給出了其他參數與圖1相同而復合參數Nw= 1 的情況, 主要討論了在 zn和 zf區間傳輸時光場強度分布不斷調整的過程, 在臨近zn時“點”狀旁斑被壓縮融合, 到zn處時成為條狀分布, 穿過zn后條狀條紋重新分裂生成點狀旁斑, 圖2中標識為 z = 0.93zn, zn和 1.07zn的強度分布清楚地展示了這些.在zf附近演化行為也是類似的(取向除外).此外, 計算表明在這種光束能量調整中也伴隨了主斑中央位置的移動, 只要對比圖2與圖1中z = 0處的光斑情況就可看出這點, 且主斑移位大小反比于Nw.再者, Nw對具有附加球面相位Airy光束傳輸的影響似乎還表現在光斑的大小方面, 計算表明Nw= 1時的演變情況與圖1給出的Nw= 100時的類似, 只是在同樣傳輸距離處光斑的大小反比于Nw.

實際上, 對不同的單軸晶體介質, 具有附加球面相位的Airy光束在其中傳輸的近場和遠場表現了相似的行為, 只是依單軸晶體no與ne的相互關系, 其對軸平面鏡像演化的次序是不同的.如對淡紅銀礦晶體其 no= 2.979, ne= 2.711, 即 no> ne,因而有 zf< zn.這時光束先穿過 zf后首先關于x軸鏡像演化, 再在穿過zn后出現對y軸的鏡像演化, 當然最后總的效果仍是相對于過二、四象限平分平面的鏡像演化, 如圖3所示.因此, 應用不同的單軸晶體這一光束展現了不同的演化性質, 這一特征有可能在確定晶體性質(如折射率大小關系)方面具有應用.且就作者所知, 這一結果還未見有文獻報道過.

圖1 金紅石晶體中不同傳輸距離處的光場強度分布, 其他參數分別為 Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1Fig.1.Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1.

圖2 金紅石晶體時不同傳輸距離處的光束強度分布, 其他參數分別為 Nw = 1, a = b = 0.1, d = 1Fig.2.Intensity distributions of the Airy beams in rutile crystal at several propagation distances with Nw = 1, a = b = 0.1, d = 1.

圖3 淡紅銀礦晶體時不同傳輸距離處的光束強度分布, 其他參數分別為 Nw = 100, a = b = 0.1, d = 1Fig.3.Intensity distributions of the Airy beams in proustite crystal at several propagation distances with Nw = 100, a = b = 0.1,d = 1.

最后應當指出, 這種Airy光束附加相因子的另一類似情況是名為“啁啾(chirped)”的相因子,由Zhang等[26]首先討論了具有線性、平方啁啾Airy光束在平方勢介質中的傳輸問題, 發現了周期反轉(inversion)現象; 隨后, 有研究者就一階、二階啁啾Airy光束在自由空間及介質中的傳輸問題[47?52], 以及具有啁啾的光渦Airy光束和Airy-Gaussian光束在晶體中的傳輸問題[38?40]進行了探討, 但沒有討論Airy光束的相關問題, 也沒有關于本文中發現的在兩個位置依次發生的鏡像演化現象的報道[38?40].再者, 在束寬度 wy= 200 μm,光波長 l = 500 nm, Nw= 100, R ≈ 2.5 mm 時,為了觀察到本文得到的結果, 要求晶體厚度約為3R ≈ 8.0 mm, 這在實際中應是可實現的.

4 結論與討論

本文基于光束在各向異性介質中的傍軸矢量傳輸理論, 導出了附加球面相位的Airy光束垂直于各向異性單軸晶體光軸的傳輸公式, 并利用該表達式進行了數值模擬計算與分析, 研究了附加球面相位的有限能量Airy光束垂直于晶體光軸的傳輸特性.研究結果表明, 線偏振附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時仍為線偏振, 但不再是傳輸不變的.粗略地講, 具有附加球面相位的Airy光束在晶體中傳輸時, 近場是傳輸不變的, 遠場時強度花樣能恢復原樣但花樣取向產生了關于過二、四象限平分平面的鏡像演化.特別地, 在傳輸距 離與 zf=neR 處 , 光 束 轉換 成了Gaussian-Airy束, 且在穿過此兩位置時光斑花樣先后有相對于兩橫向軸平面的鏡像演化, 且鏡像演化順序密切與晶體尋常和非尋常折射率相關.在臨近zf與zn處及其間范圍內, 光場光斑花樣不斷從Airy光束的“點”狀旁斑調整到線狀旁斑最后再調整到“點”狀旁斑, 調整過程中還伴有主光斑的位移.最后, 附加球面相位的半徑調控了zf與zn附近范圍的光斑大小及主斑位移大小.這些結果表明Airy光束除了在自由空間傳播時表現無衍射、自恢復或自愈性以及可控的自彎曲彈道軌跡傳輸等奇異特性外, 具有附加球面相位因子的Airy光束在各向異性介質中傳播時會呈現光斑花樣形狀變化及取向鏡像演變的新特性, 這些新特性豐富了對Airy光束在各向異性介質中傳播的新認識, 并有可能在確定單軸晶體尋常與非尋常光折射率的相互關系及需要光斑花樣或花樣取向變化的場合找到應用[53,54].

最后, 本文中討論的結果可直接拓廣到更一般的非球面二次相因子情形.如前所述, 光斑形狀變化或取向鏡像演變的發生位置zn和zf是由晶體折射率和二次相因子系數共同決定的, 球面二次相因子與非球面二次相因子的區別只是兩系數相同或不同而已.因此非球面二次相因子只會導致本文結果出現的位置不同而不會導致本文所得結果的消失, 從而給光束性質的調控提供了更多可能性.