輻射對稱金字塔型剪紙的力學行為*

肖思 秦應霖 王慧 王鵬 馬海銘 何軍? 王迎威?

1) (中南大學物理與電子學院, 超微結構與超快過程湖南省重點實驗室, 長沙 410083)

2) (上海交通大學物理與天文學院, 上海 200240)

通過在彈性薄板上引入切口, 構建了多邊形輻射對稱金字塔型剪紙結構.利用伽遼金法求解的懸臂梁形變公式和懸臂梁組合的方法, 創建了用于解釋形變過程的“梁模型”, 得到n個模塊的正N邊形金字塔結構的彈性系數與結構參數的關系公式, 并求出彈性系數線性閾值的表達式, 解釋了該結構產生平面外扭曲的原因.利用推導的“梁模型”公式, 并通過有限元仿真和實驗的方法, 系統研究了輻射對稱金字塔型剪紙結構的力學響應特征, 驗證模型的準確性, 并用于已有報道的石墨烯剪紙結構的力學特征分析.這項工作系統解釋了豎直拉伸的金字塔型剪紙結構的力學響應.

1 引 言

在二維彈性薄板材料上引入切口, 形成鏤空的剪紙 (kirigami)結構, 可以改良材料屬性[1?4], 如傳統彈性薄板不能延展的缺點.引入剪紙結構后,薄板受到外力作用可因內部應力的釋放, 發生屈曲響應, 產生大幅度形變[5?8].通過這種方式加工具有優良性能的二維薄膜材料[9?12], 特別是對微納米材料[13]加工, 可以極大地改變材料的力學性能[14,15].對于不能延展的電子器件, 如薄膜太陽能電池[16],通過剪紙結構的加工也能大幅度提高器件的延展性.Rafsanjani和 Bertoldi[7]2017年在 Phys.Rev.Lett.上發表了關于方陣穿孔薄板力學響應的研究,在單軸拉力作用下, 剪紙結構薄板可以部分彎曲形成三維圖形, 產生周期性的永久褶皺; Rafsanjani等[8]2019年又在 Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A.發表了對圓柱帶狀剪紙結構的研究, 通過選擇剪紙結構的幾何參數調控剪紙單元的相變.目前, 多數研究聚焦在水平拉伸的帶狀結構, 可豎直拉伸的輻射對稱結構的研究, 尤其是理論研究較少.

可以豎直延展的輻射對稱剪紙結構, 如金字塔結構, 有著良好的形變能力以及力學、電學特性.2015年, Blees等[1]在 Nature上發表了關于石墨烯剪紙結構的研究, 表明金字塔型剪紙結構的石墨烯彈簧在部分條件下彈性系數為定值, 該結構有望制作具有直觀視覺讀數的微小力測量設備; 2016年, He等[17]在J.Mater.Chem.A上發表了基于金字塔結構制作的超級電容器研究, 能在三維空間拉伸.相似輻射對稱結構也被用于制作可穿戴柔性傳感器[18].目前金字塔結構的力學行為的理論研究較少, 缺少合適模型解釋其力學響應.

本文基于伽遼金法(Galerkin method)[19]求解的懸臂梁公式對金字塔型剪紙結構的力學響應進行了理論解釋.將輻射對稱的金字塔型剪紙結構分割為若干“梁單元”的組合, 建立“梁模型”, 推導得到幾何參數對力學性能影響的解析解, 并對結構的受力-形變的線性閾值做了推導.通過有限元方法(finite element method, FEM)仿真和實驗測試,對理論結果進行了驗證.利用此理論, 能定量解釋輻射對稱剪紙結構形變過程, 并通過對結構扭曲現象的分析, 指出不同模塊切口長度L對結構不穩定性的影響.

2 理論分析

2.1 金字塔剪紙模型

2015年, Blees等[1]在 Nature 上發表了利用石墨烯制作的微型剪紙結構的研究, 實驗測得金字塔型石墨烯剪紙結構在微小力條件下, 彈性系數K = 2 × 10–6N·m–1.其剪紙結構為典型的正四邊形金字塔結構, 母圖案如圖1(a)所示, 主要參數為: 正多邊形的邊數為 N = 4; 模塊數為 n = 3; 靠近內側的第一個模塊切口長度最短, 定為L; 往外側的相鄰模塊的模塊切口長度為(b/2 + L + b/2),即兩側共增加長度為b; 相鄰模塊的連接長度一般不變, 為 x; 梁寬為 w; 薄板厚度為 t; 材料楊氏模量為E.固定最外層邊緣結構, 在垂直面內施加拉力F后, 在面外的拉伸形變如圖1(b)所示.圖示結構(n = 3)在受力形變后, 可以分為三個形變模塊,三個模塊的形變長度分別為 d1, d2, d3, 總形變為長度D.

為了對金字塔型剪紙結構在豎直方向形變過程進行分析, 建立了如圖2的物理模型, 將此結構分為若干個懸臂梁的組合, 采用“梁模型”分析它的受力形變.根據正四邊形剪紙結構某個形變區域,對應圖1(b)拉伸模型中的一個側面, 建立如圖2(a)所示的“梁模型”.圖2(a)中共有 3 個“梁模塊”, 分別為 m1, m2, m3.每個“梁模塊”可以看作由 4 個相同長度為 (L – x + 2b)/2 的“梁單元”組成.如圖2(b)的“梁單元”所示, 紅色虛線區域為組成側面結構的一個基本的“梁單元”, 近似分割為兩個等效的一端受力而另一端固定的懸臂梁Beam A和Beam B.對于Beam A來說, 可以看作左端固定的懸臂梁,右端在受到右側梁Beam B向下拉伸的豎直力fA作用后向下彎曲, 產生的豎直方向撓度為dA, 懸臂梁的長度為 lA, 寬度為 w, 厚度為 t.Beam B 可類似定義.

圖1 典型金字塔型剪紙結構 (a) 邊數 N = 4, 模塊數 n = 3 的金字塔結構; (b) 模型在豎直拉力 F 作用下產生豎直形變Fig.1.Typical pyramid kirigami structure: (a) Pyramid structure with number of edges N = 4 and number of modules n = 3;(b) pyramid model produces vertical deformation under the action of vertical tension F.

圖2 由“梁單元”構成的“梁模型” (a) 金字塔結構一個形變區域簡化成的“梁模型”; (b) 懸臂梁組成的“梁單元”Fig.2.“Beam model” consisting of “beam elements”: (a) Simplified “beam model” of a deformed area of the pyramid structure;(b) “beam element” consisting of cantilever beams.

2.2 彈性系數理論分析

在如圖2(b)所示的懸臂梁Beam A模型中,采用伽遼金法計算撓度dA和受力fA的關系為[20]

式中lA是懸臂梁的長度, 對應此模型, lA長度為圖2(b)紅色虛線部分“梁單元”的一半, 長度為(L – x + 2b)/4, E 是材料的楊氏模量, I是梁的抗彎曲截面系數.橫截面為長方形的抗彎曲截面系數表達式為 I = wt3/12, w 是梁的寬度, t是梁在彎曲方向的厚度, 即彈性薄板的厚度.對于懸臂梁在豎直方向產生的小撓度形變dA, 可以忽略高階項,dA和fA的關系近似表達為

它的自由端彈性系數k可以表達為

代入I后的表達式為

圖2(b)紅色虛線區域中的“梁單元”可以看作是兩個相同懸臂梁結構Beam A和Beam B串聯(類似于彈簧)的結果, 其彈性系數k為

圖2(a)的模塊m3可以看作四個紅色虛線區域“梁單元”, 即四對相同懸臂梁結構Beam A和Beam B的組合.四個“梁單元”兩兩并聯后串聯,因此組合后的k與單一“梁單元”保持一致, 即

每部分的施力大小與施加在一個側面上的拉力 f0是相等的, 即 f0= f1= f2= f3, 其中 f0為施加總拉力F的1/4.因此, 各模塊的形變長度d1,d2, d3的關系如下:

將三個部分的d和f關系代入(7)式中, 可以得到圖2(a)中一個側面的“梁模型”的力f0與形變D的關系為

在正四邊形金字塔結構中存在四個相同的側面, 即四個“梁模型”的組合, 總的拉力F和形變長度D的關系為

如此類推, 對于存在n個模塊的正N邊形金字塔結構的彈性系數, 推廣為

各“梁單元”的形變是導致“梁模型”整體結構形變的直接原因, 因此各模塊長為x的連接處對“梁模型”的形變不起作用, 故設去掉連接長度x的梁長 Leq= L – x, 化簡 (10)式得到彈性系數 K 與輻射對稱金字塔型剪紙結構的參數(邊數N、模塊數n、模塊切口長度增加值b、梁長Leq、梁寬w、厚度t、楊氏模量E)的關系如下:

2.3 線性閾值理論分析

彈性系數K關系式(11)的適用范圍受到懸臂梁理論公式的適用范圍影響.懸臂梁理論公式采用了去掉高階項的小撓度曲線近似, 當結構形變超過保持彈性系數K為線性的最大形變, 即線性閾值DT時, 其力學響應表現為非線性.圖3給出了基于(1)式和(2)式的懸臂梁Beam A理論曲線與小撓度近似曲線對比, 在dA/lA小于0.3的范圍內,兩曲線近似相等, 在此范圍內梁的受力與形變的關系可以采用“小撓度”近似公式計算.

圖3 基于(1)式和(2)式的懸臂梁理論曲線與小撓度近似曲線對比Fig.3.Theoretical curve of cantilever beam compared with the approximate theoretical curve of small deflection based on Eq.(1) and (2).

對于懸臂梁Beam A來說, 縱向形變dA與梁長lA之比小于0.3時, 推導公式可適用.逐步推導至“梁模塊”, 線性閾值DT為“梁模塊”等效梁長的0.3 倍, 如對于設置參數 L = 12 mm, x = 2 mm的單一模塊, 縱向形變 d 不超過 0.3(L – x), 即不超過 3 mm 時, 推導公式可適用.推導至“梁模型”,如對于n = 3的四邊形結構, 當豎直拉力F作用到3個模塊上時, 由(7)式知, 在豎直拉伸過程中,各模塊的形變長度d與其對應等效梁長成比例關系.當模塊 m1形變達到線性閾值 0.3(L – x)時,代入(7)式, 可得模塊m2和m3形變未達到線性閾值, 因此在拉伸過程中, 模塊切口長度L最短的模塊最先達到其線性閾值.在此情況下, 取模塊m1的閾值為 0.3(L – x), 將 0.3(L – x)代入 (7)式,可得到此時模塊m2和m3分別對應的閾值.取三個模塊的線性閾值之和, 可以得到n = 3的四邊形結構保持線性拉伸時的極限長度, 即線性閾值DT公式為

對于存在n個模塊的正N邊形金字塔結構的線性閾值, 推廣為

令 Leq= L – x, 化簡 (13)式得

需要注意的是, 在具體適用中, 由于采用“小撓度”公式進行計算, 結構彈性系數的實際值會隨拉伸距離增加, 誤差逐漸增大.在形變達到線性閾值時, 會產生6%左右的理論誤差.如果為追求精確, 可以適當縮小DT計算公式(14)的常系數0.3的值.

3 公式驗證

3.1 FEM驗證

金字塔結構剪紙的力學響應可以被切口參數調制, 如 (11)式.為驗證各參數的影響, 圖4 展示了利用FEM軟件進行多點驗證, 計算正多邊形彈性系數受切口參數調制的定量結果.本文中使用ANSYS Workbench 驗證, 首先根據物理模型建模, 并在最上層多邊形平臺中心建立向上凸起表面的圓形平臺作為應力施加邊界, 在最下層制作和最底層結構大小相同的“回”形平臺作為約束邊界; 材料屬性設置為: 密度 300 kg/m3, 楊氏模量 1.2 GPa,泊松比0.3, 材料溫度22 ℃; 網格單元大小設置為20 mm.幾何參數設置為: L = 1.26 m, x = 2 cm,其余各參數設置在對應圖中空白處給出了標注.對模型位移進行求解后, 利用施力F和得到的結構最大形變D可以求出結構彈性系數K.圖4(a)—(c)中的點表示對三個參數驗證的FEM仿真值,彈性系數K分別與w, t3及N呈線性變化的關系,和K值理論公式(11)結果一致.對于梁寬w來說,增大w可以使彈性系數增大.對于厚度t, 彈性系數對厚度t最為敏感, t增大為2倍, K值會增大為8倍, 若需要大幅度增強結構彈性系數, 增加t是最有效的方法.反之亦然, 對于t為納米級的二維材料薄膜而言, 利用此類剪紙結構, 可以獲得極小的彈性系數K值, 從而測量微小力, 如光壓或光鑷力[1].對于邊數N來說, 增大 N可以增大K.但是增大N意味著需要占用更大的面積(如正六邊形的金字塔結構面積是正四邊形的2.6倍左右),同時過大的N會限制b的大小, 因此之后研究均采用四邊形結構.

圖4 FEM模擬和理論計算驗證彈性系數與結構參數關系 (a)?(c) 彈性系數K分別與梁寬w、厚度t的三次方及邊數N值呈線性變化關系; (d) 取不同模塊切口長度L的增加值b, 驗證K值與模塊數n的關系, 點為模擬值, 虛線為計算值Fig.4.Verify the relationship between elastic coefficient and structural parameters through FEM simulation and theoretical calculation: (a)?(c) The elastic coefficient K varies linearly with the beam width w, the cube of thickness t, and the number of sides N;(d) take different values b to verify the relationship between the elastic coefficient K and the number of modules n.The points are simulation values, and the dotted lines are calculated values.

圖4(d)中, 取不同的模塊切口長度L的增加值b, 驗證了K與n的關系.圖中的點為FEM仿真值, 虛線為基于彈性系數K的計算公式(11)的理論計算值, 兩者保持了很好的一致性.對于n來說, 增大n即增加“梁模塊”會使K值縮小.此外,如圖4(d)中右下角插圖所示結構, 相鄰模塊的切口長度 L 均相等, 即 b = 0 時, 計算和模擬的對應結果為圖4(d)中六邊形.b = 0 時該結構的力學響應可以保持很好的線性關系, 同時可以使計算更加簡單; 當 b > 0 時, 計算和模擬的對應結果為圖4(d)中五邊形, K 值會小于 b = 0 的結構, 但其線性閾值DT會更大, 可拉伸范圍更大.

3.2 實驗驗證

為驗證彈性系數K計算公式(11)和線性閾值DT計算公式(14), 在彈性紙板上制作了模塊數n為3的四邊形金字塔結構.紙板采用A4大小的270 g規格相片紙, 實驗結構圖形采用CAD(computer aided design)繪制, 用刻刀對打印好圖像的紙板進行切割, 完成金字塔結構的制作.為減小重力影響, 實驗中將此結構的底端最外層結構固定在一豎直平面上, 通過水平滑動裝置施加變化的水平拉力F, 用數字測力計記錄其拉力F與形變D 的關系.圖5(a)為實驗圖, 結構參數為: N = 4,n = 3, L = 7.5 cm, x = 8 mm, b = 1 cm, w =4.5 mm, t = 280 μm.

圖5(b)中黑色圓點數據為圖5(a)模型對應的實驗測試結果, 紅色虛線為根據前10個點的線性擬合結果, 擬合彈性系數K (即直線斜率)值為3.606 N·m–1, 將擬合 K 值及其他參數代入 (9)式,計算得出楊氏模量E值為1.828 GPa, 與材料測量值一致, 與相關文獻報道在同一數量級[21].將各參數代入線性閾值公式(12), 經過計算, 可得線性閾值 DT= 0.0946 m, 并在圖5(b)中用灰色虛線將其標出.可以直觀地發現, 拉力F和形變長度D的實驗數據在計算得到的線性閾值(虛線)左側藍色區域可以保持線性關系, 線性閾值右側紅色區域逐漸偏離線性變化.在線性閾值處, 實際測量的拉力F與計算出的拉力值有3.5%左右的誤差.拉伸長度超過閾值后, 誤差增大.因此, 基于“梁模型”推導的彈性系數K計算公式(11)和線性閾值DT計算公式(14)通過實驗得到驗證.且對于任意彈性薄板材料, 可以利用在薄板上切割金字塔型剪紙結構, 在結構的線性閾值范圍內采用 K的計算公式(11)來近似估算材料的楊氏模量E.

根據推導出的彈性系數K的計算公式(11),彈性系數K與厚度t的三次方成正比, 因此剪紙結構如用于厚度為納米級的二維材料, 可以獲得高敏感度的微小力測量設備.如文獻[1]中采用多晶石墨烯制作金字塔型剪紙結構, 可在激光照射下產生形變, 從而直接測量激光驅動力或間接測量激光光強.基于實驗條件限制, 研究直接參考文獻[1]中數據, 用于定性驗證彈性系數K的計算公式(11)和線性閾值DT的計算公式(14).對于二維材料制作的金字塔型剪紙彈簧, 圖5(c)為文獻[1]中采用多晶石墨烯制作的金字塔型剪紙結構在激光驅動下產生的形變-受力估計值測量結果, 弱光強低光壓下表現為線性, 并且在線性閾值處逐漸偏離擬合曲線.文獻[1]中未給出金字塔結構的具體參數,根據實驗圖像, 估算出結構參數如 N = 4, n = 3,w = 2 μm, t = 0.335 nm, L = 20 μm, x = 2 μm,b = 10 μm, 并根據基于“梁模型”推導的彈性系數K的計算公式, 估算材料的楊氏模量約為68 TPa.該值相比常用石墨烯楊氏模量1.054 TPa[22], 有一個數量級的增強, 推測是二維材料楊氏模量在彎曲狀態有數量級增加[23]所致.

針對圖5(b)的實驗結果, 力的測量誤差會隨著變形量的增加而增加, 這在變形量較大尤其是右側的非線性區域格外明顯.在測量力的大小時, 進行了多組實驗, 發現力的大小變化范圍大約為力的8%, 所以將誤差統一設定為受力F的8%.在圖5(b)的非線性區域, 金字塔結構受大拉力作用下, 實驗值偏移理論值, 彈性系數K表現出的非線性響應是不可避免的.影響其非線性響應的主要因素有三個, 首先, 結合 (1)式和 (2)式, 可以發現舍棄掉的指數型高階項在微小力情況下值較小, 隨著受力的增大, 舍棄掉的指數型高階項逐漸增大, 這是主要因素; 其次, 在結構拉伸過程中, 結構受力產生的應變會造成梁的扭曲, 這是另一個因素; 最后, 金字塔模型在重力影響下, 結構會產生一定的扭曲, 部分重力還可能會與拉力F抵消, 使結果偏離理論曲線.

圖5 利用實驗對 K, DT 的計算公式 (11)和 (14)式進行驗證 (a) 實驗圖; (b) 四邊形實驗數據, 點為測量結果, 虛線紅色為線性區域擬合結果, 黑色虛線為計算出的線性閾值; (c) Nature上發表的石墨烯剪紙彈簧在激光驅動下的形變-受力結果[1]Fig.5.The K and DT formulas (11) and (14) are verified experimentally: (a) Experimental picture; (b) the experimental data of the quadrangular pyramid structure, the points are the measurement results, the red dotted line is the linear region fitting result, and the black dotted line is the calculated linear threshold; (c) laser-driven deformation of graphene kirigami springs published in Nature[1].

在理論建模中, 需要考慮重力是否對模型有顯著影響.“梁模型”是由若干懸臂梁的線性疊加組成的, 因此整個模型力學響應的線性特性與單個懸臂梁的線性特性保持一致.對于圖5(a)對應的實驗模型, 可以將模型分為懸臂梁組成的形變區域和頂部不發生形變的多邊形平臺區域.實驗選擇的材料面密度為 270 g·m–2.對于懸臂梁組成的形變區域,單個懸臂梁所受重力是微小的.如以實驗模型的底層模塊計算, 組成底部模塊的懸臂梁面積為2.349 ×10–5m2, 所受重力 G 約為 2.3 × 10–4N, 實驗模型施力F取0.2 N時, 單個懸臂梁所受拉力約為2.5 ×10–2N, 相差兩個數量級.其余模塊的懸臂梁所受重力更小, 可以認為重力對單個懸臂梁的線性影響可以忽略.因此, 對于由懸臂梁組成的整個形變區域, 重力對其線性的影響可以忽略.對于頂部不發生形變的多邊形平臺區域, 特別是當N取值較大時, 其平臺重力G較大, 重力也可能與拉力抵消.經過計算, 由于重力影響, 線性閾值會提前G/K左右.因此, 對于豎直拉伸的金字塔結構中, 頂部平臺的重力G會導致公式適用范圍提前G/K左右, 但組成形變區域的懸臂梁重力影響可以忽略.

4 梁扭曲的影響

根據(14)式, 可以計算出金字塔型剪紙結構的拉伸線性閾值.但當拉力較大, 金字塔結構的每一個模塊會因形變發生橫向的收縮, 帶動相鄰模塊, 使梁結構產生平面外的扭曲.此扭曲會破壞結構穩定性, 尤其是在厚度較小的二維材料中, 扭曲會導致彈性系數出現非線性變化[23].因此, 在設計剪紙結構參數時, 也要考慮梁扭曲對拉伸線性閾值的影響.

圖6建立了簡單的幾何關系用于解釋輻射對稱金字塔型的面外扭曲的產生原因, 此結構的偏曲過程與文獻[24]中太陽能電池由二維到三維的形變過程類似.為研究金字塔結構的偏曲影響因素,選取其中一個模塊進行了研究, 如圖6(a)金字塔結構形變的實物圖所示.圖6(b)為某一模塊形變的簡單示意圖.設單一模塊的切口長度為L, 在受豎直方向拉力產生的豎直方向形變為 ? d , 根據其幾何關系對模塊切口長度L的橫向應變 εT進行了推導.

該結構未經拉伸的模塊切口長度為L, 在產生豎直方向形變 ? d 后, 其長度 L1為

豎直形變引起的模塊切口長度L橫向應變 εT為

其中

代入可得模塊切口長度L橫向應變 εT為

由(18)式可以看出, 不同的模塊切口長度L可以調制橫向應變 εT, 影響梁結構扭曲.因此合適的參數取值可以提高結構穩定性, 減小梁結構扭曲發生的可能性.利用(18)式計算了不同模塊切口長度L對橫向應變 εT的影響.圖7是計算結果,x取定值0.01 m, 結果表明產生同樣拉伸量的情況下, 模塊切口長度L越短, 引起的橫向收縮就越嚴重, 導致梁的扭曲越嚴重, 為了提高結構穩定性,應盡可能提高L長度.圖中計算了不同模塊切口長度L可能導致的橫向收縮 εT.在拉伸量 ? d 為模塊切口長度L的30%時, εT值很容易就達到5%以上, 結合線性閾值公式(14), 表明形變超過線性閾值DT的結構, 會產生較大幅度的梁扭曲, 彈性系數會出現不可預測的非線性變化, 影響結構穩定性.

圖6 模塊的橫向收縮 (a) 模塊形變的實物圖; (b) 某一模塊形變的簡單幾何關系Fig.6.Transverse strain of a module: (a) Experimental diagram of module deformation; (b) simple geometric relationship of deformation of a single module.

圖7 不同模塊切口長度 L 對橫向應變 εT 的影響Fig.7.Influence of different module cut length L on transverse strain εT.

對于結構水平拉伸時的公式適用范圍, 不考慮重力, 有兩個主要限制因素, 分別是線性閾值公式(14)和橫向應變公式(18)的限制, 通過兩公式的對比, 可以發現模塊切口長度L和模塊連接長度x是影響公式適用范圍的主要因素.可以通過結構的幾何參數, 計算出公式的適用范圍.下面以單一模塊為例進行了適用范圍的分析與討論.對于L 遠大于 x 的單一模塊, 如 L = 0.1 m, x = 0.01 m的結構, 采用線性閾值公式(14)計算得到的公式適用范圍為 D < 0.027 m 的區域; 采用 (18)式計算, 令 εT= 0.3, 可以得到公式適用范圍為 D <0.023 m 的區域, 可以發現 (18)式為主導因素, 應選擇公式適用范圍為 D < 0.023 m 的區域.對于L 略大于 x 的單一模塊, 如 L = 0.02 m, x = 0.01 m的結構, 采用線性閾值公式(14)計算得到的公式適用范圍為 D < 0.003 m 的區域; 采用 (18)式計算, 令 εT= 0.3, 可以得到公式適用范圍為 D <0.00341 m的區域, 可以發現(14)式為主導因素,應選擇公式適用范圍為 D < 0.003 m 的區域.因此, 對于一般的結構, 為保證結果精確, 可以利用(14)式和(18)式分別計算結構拉伸長度, 取結果較小的值作為公式適用范圍的約束.對于多個模塊的金字塔結構, 需要逐個計算每個模塊的公式適用范圍, 對所有模塊求和可以得到金字塔結構的理論公式適用范圍.因此, 對于水平拉伸結構, 按照上述分析計算公式適用范圍; 對于豎直拉伸結構的公式適用范圍, 需要考慮重力, 公式適用范圍一般相比水平拉伸結構會縮小G/K左右.

5 結 論

本文系統研究了輻射對稱金字塔型剪紙結構的力學響應特征.通過懸臂梁組合的方法, 構建了“梁模型”, 得到n個模塊的正N邊形金字塔結構的彈性系數與結構參數的關系, 并求出其線性閾值的表達式, 解釋了該結構產生平面外扭曲的原因.結合FEM仿真和實驗的方法, 驗證該剪紙結構彈性系數K公式以及線性閾值DT公式的正確性, 并用于已有報道的石墨烯剪紙結構的力學特征分析.研究結果表明, 通過剪紙結構參數, 可以有效控制輻射對稱金字塔型剪紙結構的彈性系數.在宏觀領域, 金字塔型剪紙結構有望作為可控彈性系數的柔性結構應用于柔性器件領域; 在微觀領域, 有望利用二維材料制作具有直觀視覺讀數的微小力測量設備.