對感生電場計算方法的探討

李 燕

(雅安職業技術學院智信學院 四川 雅安 625000)

1 引言

麥克斯韋提出：即使不存在導體回路，在變化的磁場周圍也存在一個變化的電場，這個由變化的磁場激發的電場稱為感生電場.感生場強E感滿足以下兩個規律:

高斯定理

所以,對任何閉合曲面S，E感線是無頭無尾的連續閉合曲線，E感場是無散場.

環路定理

所以,對任何閉合曲線L，其中S是以L為邊線的曲面，E感是渦旋場，不能引入電位概念.

一般情況下感生電場的計算較為復雜，在多數大學電磁學教材中利用環路定理討論了少數具有對稱性感生電場的問題，例如無限長螺線管的電流隨時間作線性變化時其管內外的E感問題，在討論此問題時,部分教材利用反證法證明了螺線管管內外的E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓.如圖1所示.

圖1為一無限長螺線管的一段，C為螺線管的橫截面，L為橫截面圓周長,半徑為R.筆者在此利用解析法和類比法兩種方法來證明E感線都是與C同心的同心圓，并在此基礎上計算E感的大小，以供教學參考，如有不妥，敬請指正.

圖1 無限長螺線管

2 解析法

在柱坐標下，感生電場遵從的麥克斯韋方程為

(1)

(2)

因為螺線管為無限長且是對稱的，所以對r相同、θ和z不同的各點來說周圍磁場的分布情況應該是一樣的，也就是說感生電場大小不隨θ和z變化，比較式(1)兩端有

可得

從而有

Er=0

由此可見E感既沒有徑向分量，也沒有軸向分量，只有θ分量，所以E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓.下面還可根據式(2)求出Eθ的大小.

在管內，即r

式中r=0時，Eθ有限，C1=0，所以有

(3)

(4)

當r=R時，由式(3)知

故有

(5)

3 類比法

變化磁場激發的感生電場和傳導電流激發的磁場都遵從高斯定理和環路定理，所以可作對比如下:

感生電場

(6)

(7)

電流的磁場

(8)

(9)

由長直圓柱形電流的磁場得

r>R時，有

(10)

r

(11)

r>R時，有

(12)

r

(13)

值得注意的是使用類比法時應滿足以下兩個條件：首先,j是電流密度,B為空間分布均勻的交變電流激發的磁場.其次,只有在不考慮邊界的無限空間中B和E感的矢量場才能由它們的散度和旋度完全確定，否則還應給出邊界條件.

4 結束語

通過以上分析可以看出，不管是教材上的反證法，還是本文中的解析法或類比法，當證明螺線管管內外的E感線都是與螺線管軸線相垂直的同心圓時，除了利用已知條件的對稱性外，還要利用E感本身所遵從的定律，只有這樣才能得出正確結論.