通過理想氣體模型認識溫度是分子平均動能的標志*

何春生

(北京市第八十中學 北京 100102)

1 問題的提出

溫度是分子平均動能的標志(人教版用詞)或量度(教科版用詞).對同種物質，溫度越高，分子運動越劇烈，分子的平均動能越大.但對不同種物質，如何比較分子的平均動能呢？既然說溫度是分子平均動能的標志，那就是說溫度相同時不同種類的分子平均動能也相等.這個結論是如何得到的呢？高中學生受認知水平的限制，很難在這個學段把這個問題研究清楚.

筆者在教學過程中，通過建構理想氣體模型，結合高中學生已經掌握的彈性碰撞模型，使用動量和能量的相關知識，讓學生認識到，分子質量不同的理想氣體溫度相同時分子的平均動能也相等.

2 建構理想氣體模型

從學生對實際氣體的微觀認識入手，抓住主要因素，忽略次要因素，建構理想氣體模型.

(1)理想氣體微觀結構

氣體很容易被壓縮，實驗表明，氣體的體積約為同種分子組成的相同質量的液體體積的1 000倍.可見氣體分子間距離比分子本身的線度大得多.據此可將常溫常壓下的氣體分子理想化，忽略分子的形狀和大小，將氣體分子視為質點.

(2)理想氣體分子之間的相互作用

近幾年河南省高校一直引進健美操專業的高學歷人才，使河南省高校健美操教師男女比例差異大且年齡趨于年輕化；據國家教委對高校師資應具有研究生及以上學歷要求，與當前河南省健美操教師的實際情況相結合，發現河南高校健美操教師學歷層次方面存在差距，這對其健美操的相關科研發展有一定的影響。最后，體院培養健美操專項方向的教師時間短，從事健美操方向的專業教師也就少，在允許自由選課前提下，學生選學健美操人數卻很多，從而出現健美操教師缺編的問題，學校對健美操教師的培養不能夠滿足學生們的選課需要，因此，需要對高校健美操教師專業結構進行調整和改進。

分子間存在相互作用的引力和斥力.引力和斥力都隨分子間距離的增加而減小，但斥力減小得更快.當rr0時，分子間表現為引力.但當分子間距離r?r0時，分子間相互作用力可以忽略，如圖1所示.又因為分子在永不停息地做無規則運動，氣體分子之間在不停地發生碰撞.據統計，在標準狀況下，一個氣體分子在1 s內與其他分子碰撞可達65億次之多.碰撞時分子運動狀態瞬間發生改變，分子間作用力較大.據此可將分子間的相互作用理想化，除碰撞外，分子間相互作用不計.

圖1 分子之間相互作用力隨距離的變化

(3)理想氣體分子與分子之間的碰撞過程

氣體分子碰撞前后，分子間距離都比較遠.從分子勢能隨距離變化的圖像上(圖2)，我們不難看出，氣體分子碰撞前后，分子勢能都可以視為零.因此碰撞前后，發生碰撞的分子的總動能不變.這和發生彈性碰撞的情況相同.因此我們可以將氣體分子間碰撞視為彈性碰撞.

這樣就將常溫常壓下的氣體做了理想化處理，建立了理想化模型.這就是理想氣體模型.

圖2 分子勢能隨距離的變化

3 溫度是理想氣體分子平均動能的標志

理想氣體分子之間的能量轉移是通過分子間頻繁的碰撞來實現的.直接研究三維碰撞對高中學生來說，難度較大.先簡化模型，假設分子只能在一條直線上運動.探究分子在一維直線發生正碰時，能量轉移和哪些因素有關.

3.1 兩分子追碰

如圖3所示，設A和B兩類理想氣體分子的分子質量分別為mA和mB，A類分子中A1和B類分子中的B1在一條直線上運動，它們的速度分別為vA11和vB11，A1追上B1發生正碰，碰撞后它們的速度分別為vA12和vB12.因A1和B1間發生的碰撞是彈性碰撞，所以有

圖3 兩分子追碰

mAvA11+mBvB11=mAvA12+mBvB12

(1)

(2)

碰撞過程中A1分子損失的動能ΔEA1等于A1碰撞前動能減去A1碰撞后動能，即

(3)

聯立式(1)～(3)解得

(4)

3.2 兩分子對碰

如圖4所示，設另一速度大小、方向均與A1相同的分子A2，與另一速度大小與B1相同但速度方向與B1相反的分子B2發生正碰(對碰)，將A2分子的速度記為vA21，B2分子的速度記為vB21.

圖4 兩分子對碰

類比A1和B1的碰撞，易解得A2與B2分子碰撞前后，A2損失的動能為

(5)

3.3 上述兩對追碰和對碰的兩個A類分子損失的動能之和

3.1追碰和3.2對碰過程中，兩個A類分子損失的動能之和應為ΔEA1+ΔEA2.又因為vA11與vA21大小和方向都相同，vB11與vB21大小相等，方向相反，所以ΔEA1中的中括號里的第三項和ΔEA2中的中括號里的第三項滿足

所以

(6)

ΔEA1+ΔEA2=

(7)

可見在這樣速率分別相等的一對追碰和對碰中，A類兩分子損失的動能之和，等于k倍的A分子碰撞前的總動能減去B分子碰撞之前的總動能.

3.4 大量的A類分子和B類分子發生碰撞

(1)對大量分子而言，速度大小為vA11的A類分子和速度大小為vB11分子發生追碰和對碰的幾率相等.所以具有這兩個速率的分子發生碰撞，A類分子損失的動能等于k倍的發生碰撞的A分子的總初動能減去B類分子的總初動能.

(2)因為vB11可以為任意值，所以速度大小為vA11的A類分子與任意速率的B類分子發生碰撞，A類分子損失的動能之和等于k倍的所有參與碰撞的A分子動能之和減去參與碰撞的B類分子動能之和.

(3)再因為vA11也是任意的，所以任意速率的A分子與B分子發生碰撞，A類分子損失的動能之和等于所有參與碰撞的A類分子的動能總和減去B類分子的動能總和.所以只要參與碰撞的分子數量足夠多，就可以認為在所有A類分子和B類分子的碰撞中，A類分子損失的動能等于k倍的參與碰撞的所有A類分子總動能減去參與碰撞的B類分子的動能之和.

3.5 若只考慮一維運動 對理想氣體溫度是分子平均動能的標志

由上面的分析不難看出，如果只考慮一維碰撞，若vA1和vB1分別表示A和B分子碰撞前的速率，則A和B兩類氣體分子碰撞中A分子損失的動能可以表示為

(8)

等式兩邊同時除以碰撞的次數，則有

(9)

可見，如果A分子的平均動能和B分子的平均動能相等，則在A和B分子發生碰撞時，A類分子損失動能的平均值為零.即A和B兩類理想分子熱交換的總量是零.而在宏觀現象中，只有兩個物體溫度相等，它們之間的熱交換才滿足這個規律.所以宏觀表現為溫度相同的兩類理想氣體，它們分子的平均動能相等.所以溫度可以看做分子平均動能的標志.

3.6 三維運動下的理想氣體溫度也是分子平均動能的標志

上述結論是只考慮理想氣體分子只參與一維運動和碰撞得出的.實際上理想氣體分子參與的是三維的運動和碰撞.一維碰撞中的速度可以看做理想氣體的速度在這個維度上的速度分量.利用速度的合成與分解，通過更復雜的統計運算，也可以得到

(10)

4 總結與反思

(1)學生對問題的認識是不斷發展的，隨著學生認知水平逐步提升，學生對問題的認識也會逐漸深入，這也就是學習的進階.在階段性的教學中，教學也應該是開放式的，即既要提供適合學生認知的教學手段和教學層級，也要提供開放式的接口，告訴學生有些內容和環節，目前我們還不能進行深入研究，等條件成熟了，我們再逐步學習和探究.

(2)通過物理模型研究物理問題是物理學的重要方法和手段.模型建構是科學思維的重要組成部分.培養學生建構和應用模型的能力，也是學生學習物理課程的重要目標之一.教學中應該讓學生多一些體驗和感受.

(3)運動和相互作用觀、能量觀是重要的物理觀念.教學中應該注意促進學生物理觀念的形成.雖然在熱學的研究和教學中，研究大量分子行為使用的是統計規律，但研究單個分子的運動時，仍然使用力和運動與能量等經典物理知識.使用碰撞探討溫度和分子平均動能的關系，既在宏觀和微觀物理量之間示范性搭建了一座橋，也有利于學生相關物理觀念的形成.