點電荷在接地金屬球形空腔內的電場分布

陳曉平 謝元棟

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

本文討論的金屬空腔表面為球面．為方便起見，球殼厚度不計．根據鏡像法，可以求解出點電荷在接地導體球殼內的電勢、電場強度分布的解析式．利用Mathematica強大的數值計算能力，探討解析式背后的物理意義．在點電荷和感應電荷共同激發的電場中，考慮相對論效應，討論點電荷在球殼中靜止釋放的運動情況．

1 電勢和電場強度公式推導

如圖1所示，點電荷在x軸上距球心b的位置，r與x軸的夾角為θ．鏡像電荷在x軸上距球心d的位置．導體球殼接地，半徑為a．

圖1 電勢和電場強度公式推導情境圖

由唯一性定理和鏡像法[1]可知

(1)

所以

(2)

即

(3)

由余弦定理可得

(4)

(5)

聯立上式可得

q′2(b2+a2-2abcosθ)=

q2(d2+a2-2adcosθ)

(6)

式(6)在任意角度下都應該成立，所以有

q′2(b2+a2)=q2(d2+a2)

(7)

2abq′2=2adq2

(8)

解得

(9)

d2=b(不符合實際情況，舍去該解)

(10)

(11)

綜上，接地導體球殼內的電勢分布為

(12)

如圖1所示，在直角坐標系下，r2=x2+y2+z2，x=rcosθ，電場強度的各個分量為

(13)

(14)

(15)

由于球殼表面各點電勢梯度與r反向，所以

(16)

總的感應電荷為

-q

(17)

若將點電荷從靜止釋放，點電荷會朝著球殼內表面做變加速運動，甚至會出現接近光速的現象，此時應考慮相對論效應[2]．基于以上討論，點電荷運動到位置x處時，鏡像電荷的大小和位置如下

點電荷和球殼之間的相互作用力可以等效為點電荷與鏡像電荷之間的電像力．則有

(18)

根據相對論公式

(19)

(20)

聯立式(18)、(19)、(20)，得到

(21)

(22)

解得

v=

(23)

其中

運動方向朝著x軸正方向．

2 電勢和電場強度分布

圖2 電勢分布圖

圖3 電場強度分布圖

圖4 電場強度方向分布圖

圖5 等勢線圖

圖6 電荷面密度分布圖

圖7 速度-位置關系圖

由于這里采用了點電荷模型，當坐標趨近于點電荷時，電勢趨于無窮大．但是圖形只能畫出有限值，所以Mathematica會在有限范圍內自動截斷[3]．

這里點電荷是放置在x=0.25，z=0處．

在電勢分布圖中，球殼內電勢大于零，球殼外電勢為零，電勢在球面處連續分布．球殼內表面靠近點電荷的一側電勢顯著大于遠離點電荷的一側．在等勢線圖中，可以清楚看到球殼內靠近點電荷附近的等勢面更為密集．

在電場強度分布圖中，球殼內電場強度均大于零，球殼外電場強度均為零，電場強度在球面處并不連續分布．所以電場強度分布并沒有像電勢分布圖那樣，在球面處閉合，而是出現了“空白”．球殼內表面靠近點電荷的一側電場強度顯著大于遠離點電荷的一側，說明靠近點電荷的球殼內表面處感應電荷的絕對值較大，而在遠離點電荷的球殼內表面處只有少量的感應電荷．

在電場強度方向分布圖中，電場線沒有穿透球殼，球面為等勢面．從圖中的箭頭方向，不難看出感應電荷均為負電荷．

感應電荷面密度受到角度θ變化的影響，感應電荷分布關于x軸對稱．在θ=0處，也就是球殼內表面距離點電荷最近的地方，可以取得最大值．這與前面分析所得情況也是符合的．

在速度-位置關系圖中可以看出，點電荷在向接地導體球殼運動時，速度不斷增大，速度的變化率也迅速增大．

3 結論

基于理論推導和數值積分繪圖，我們可以得出一致的結論：點電荷在接地導體球殼內時，內表面感應電荷均為負電荷．球殼內表面靠近點電荷一側的電荷面密度的絕對值明顯較大．所以電場大多集中在球殼內靠近點電荷的一側．

在點電荷和球殼內表面感應電荷共同激發的電場中，若將點電荷靜止釋放，將做加速度增大的變加速運動．