利用兩個結(jié)論巧解一道難題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

瞬態(tài)過程具有很強的規(guī)律性，在物理學中的應(yīng)用比較廣泛.下面給出關(guān)于瞬態(tài)過程的兩個結(jié)論，并用來解答一道有關(guān)“電容器-滑動桿”的瞬態(tài)電路問題.由此可對解題過程化繁為簡，顯得巧妙快捷.

結(jié)論1:對于一個瞬態(tài)過程的變量x=f(t)，設(shè)初始值為x0=f(0)，穩(wěn)態(tài)值為x∞=f(∞)，時間常數(shù)為τ，若滿足一階常系數(shù)線性微分方程

則其通解為指數(shù)函數(shù)

即

上述兩個結(jié)論可分別稱為瞬態(tài)過程的結(jié)論和電容器等效變換的結(jié)論.對于按指數(shù)函數(shù)規(guī)律變化的瞬態(tài)過程，只要推導出關(guān)于某個變量的一階常系數(shù)線性微分方程的標準形式，得出3個要素，即可寫出某個物理量隨時間變化的關(guān)系式.對“電容器-滑動桿”瞬態(tài)電路問題的解答，可將電容器等效替換為一個滑動桿，對應(yīng)3個參數(shù)，由此轉(zhuǎn)換為雙桿滑動的純電阻電路問題，拓展了解題思路和方法.下面進行舉例分析.

【例題】如圖1所示，水平放置的光滑金屬導軌，處在豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，導軌間距為l，足夠長，電容器的電容為C，金屬棒ab垂直于導軌放置，其質(zhì)量為m，電阻為R，導軌電阻不計.現(xiàn)有一個水平向右的恒力F垂直作用在棒ab上，設(shè)電容C足夠大，求金屬棒運動的速度和加速度隨時間變化的關(guān)系式.

圖1 題圖

解析：金屬桿在恒力作用下切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E=Blv，給電容器充電，電路中形成電流，使金屬桿受到水平向左的安培力的作用.可將電容器轉(zhuǎn)換為滑動桿a′b′，其電阻為零，初速度為零，質(zhì)量m2=CB2l2，如圖2所示，設(shè)右桿的質(zhì)量m1=m.在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)，設(shè)某時刻兩桿的速度分別為v1和v2，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，因兩個電源反向串聯(lián)，且v1>v2，故整個回路的感應(yīng)電動勢為

e=Bl(v1-v2)

則感應(yīng)電流為

圖2 將電容器轉(zhuǎn)換為滑動桿a′b′

以向右為正方向，對左、右兩個金屬桿由牛頓第二定律分別列出微分方程為

對感應(yīng)電流關(guān)于時間取導數(shù)為

聯(lián)立可得

式中

設(shè)

則有

這是關(guān)于感應(yīng)電流i的一階常系數(shù)線性微分方程的標準形式.設(shè)i=f(t)，可知電流的穩(wěn)態(tài)值為

時間常數(shù)為

感應(yīng)電流的初始值為f(0)=0，由瞬態(tài)過程的結(jié)論可知方程的解為

由牛頓第二定律得加速度為

則相對速度為

對整體由動量定理有

Ft=m1v1+m2v2

兩式聯(lián)立得

將速度關(guān)系式對時間取導數(shù)也可得加速度關(guān)系式.

這就是如圖1所示的“電容器-滑動桿”電路中滑動桿運動的速度和加速度.

速度關(guān)系式和加速度關(guān)系式還可分別變形為

這就是如圖2所示的雙桿在磁場中運動時主動桿的速度和加速度.

可見，當感應(yīng)電流趨于穩(wěn)態(tài)時，兩個金屬桿具有相同的恒定加速度，都將做勻加速直線運動.若m1=m2=m，則此時主動桿和從動桿運動速度隨時間變化的關(guān)系式分別為

都隨時間線性增大.

對于“電容器-滑動桿”電路，雖然感應(yīng)電動勢和電流都可趨于穩(wěn)態(tài)，加速度也能趨于穩(wěn)態(tài)，但滑動桿的速度不能趨于穩(wěn)態(tài).或者說，滑動桿先做初速度為零的變加速運動，經(jīng)歷時間為

后，將趨于勻加速運動，加速度為

對應(yīng)的初速度即此時速度圖像切線的縱截距為

雖然根據(jù)兩個電路的等效性可以求出某些物理量，但要注意個別物理量是不同的，例如兩個電路中的感應(yīng)電動勢不相等.