基于MOPSO算法的斜拉橋索力優化分析

張玉平 劉雪松 李傳習

摘 要： 針對斜拉橋設計和監控計算中合理成橋狀態和施工狀態索力的確定問題，提出了一種基于MOPSO算法的斜拉橋索力優化方法。該方法在PSO算法的基礎上通過增加外部儲備集和優化更新策略來適應多目標、多約束的索力優化，較單目標優化方法僅有單一解的局限性，MOPSO算法考慮因素更全面，得到的Pareto最優解集可供決策者根據經驗進一步篩選。采用Python編程語言，聯合有限元軟件編寫基于該方法的優化程序，選取主塔、主梁的彎曲應變能之和，主塔成橋后在恒載作用下的縱橋向位移平方和作為目標函數，以施工過程及成橋后結構處于安全狀態和索力總體分布均勻作為約束條件。工程算例優化結果表明，該方法能夠快速搜尋到Pareto最優解集，并從中篩選出最優解，其結構應力處于安全范圍，主塔線形合理，索力總體分布均勻。該方法可應用于斜拉橋成橋和施工階段索力的確定及梁拱組合體系橋梁吊桿索力的確定。

關鍵詞： 斜拉橋;索力優化;粒子群優化算法;多目標優化;有限元

中圖分類號：U448.27? ? 文獻標志碼：A? ?文章編號：2096-6717（2020）02-0107-08

Optimization of cable tension of cable-stayed bridges based on multi-objective particle swarm optimization algorithm

Zhang Yuping， Liu Xuesong， Li Chuanxi

（School of Civil Engineering， Changsha University of Science & Technology， Changsha 410114， P.R.China）

Abstract：? To solve the problem of determining reasonable completion state and construction state in cable-stayed bridge design and monitoring calculation， a cable force optimization method based on MOPSO algorithm is proposed.This method adapts to multi-objective and multi-constraint cable force optimization by adding external reserve set and optimizing update strategy based on PSO algorithm.Compared with the single objective optimization method which has the limitation of single solution， MOPSO algorithm considers more comprehensive factors.The Pareto optimal solution set obtained by MOPSO algorithm can be further screened by decision makers based on experience.Python programming language and finite element software are used to compile the optimization program based on this method.The sum of the bending strain energy of the main tower and the main beam， and the sum of squares of longitudinal displacement under dead load is taken as the objective function after the completion of the bridge.The constraints are that the structure is in a safe state during the construction process and after the completion of the bridge and the overall distribution of cable forces is uniform.The optimization results of engineering examples show that the proposed method can quickly find the Pareto optimal solution set and select the optimal solution.The stress of the structure is in the safe range， the main tower is reasonable in alignment， and the overall distribution of cable forces is uniform.The method can be applied to determine the cable force in completion and construction of cable-stayed bridge and the suspender force of girder and arch combination bridge.

Keywords： cable-stayed bridge; optimization of cable tensions; particle swarm optimization algorithm; multi-objective optimization; finite element

現代斜拉橋多為密索體系，屬于高次超靜定結構，可以通過人為調整斜拉索各次張拉控制力，在一定范圍內調整主梁、主塔等結構的變形和受力狀態，因此，斜拉橋的設計自由度較大。如何通過優化索力來確定合理成橋狀態與合理施工狀態是斜拉橋設計和監控計算中需要解決的一個關鍵問題。

關于斜拉橋索力優化方法，許多學者已有大量的研究，多種不同方法各有其優點、不足和適用范圍[1-5]。按照優化目標數量可分為單目標優化方法和多目標優化方法兩大類。傳統的零位移法、彎曲能量最小法、用索量最小法等可歸為單目標優化方法，而影響矩陣法、遺傳算法（genetic algorithms， GA）、粒子群算法（particle swarm optimization， PSO）等可用于多目標問題優化。相對前者，多目標優化方法能夠更全面地考慮斜拉橋的受力狀態和線形等指標，避免單目標優化方法的單一性。多目標優化方法中，影響矩陣法克服了單一目標函數優化的缺點，可以用較小的計算量得到較為理想的結果，然而，影響矩陣法只是表達了結構力學體系的一種受力規律，它本身不會自行取得最優解答[5]。而遺傳算法、粒子群算法等智能優化算法則在這方面具有一定的優勢。

遺傳算法和粒子群算法對目標函數沒有可導性、連續性等要求，算法概念簡明，收斂速度快，魯棒性好，并且粒子群算法相對遺傳算法，不需要復雜的交叉、變異等操作，算法實現簡單，在許多領域有廣泛的應用[6]。在斜拉橋索力優化問題方面，也有一些學者運用該類方法進行了探索。劉益銘等[7]、朱敏等[8]、吳霄等[9]運用遺傳算法，以主梁、主塔的最小彎曲能量為目標函數對斜拉橋索力進行優化;李鴻波等[10]運用量子粒子群算法，以矮塔斜拉橋恒載作用下的結構應變能為目標函數對斜拉橋索力進行優化。陳志軍等[11]、姜增國等[12]和Hassan等[13]分別運用粒子群算法和遺傳算法，以主梁線形和主塔線形或塔梁應變能為目標，通過對兩個目標函數加權求和處理，實現多目標優化，其各分項系數比較敏感且需要一定的經驗確定。以上文獻研究內容集中于單目標優化或者將多目標轉換為單目標優化，都存在一次僅能得到一個數值解的問題，而決策者更希望能夠根據實際需要，在多個可行解中篩選得到最優解;并且將多目標轉換為單目標處理忽略了各目標函數之間相互沖突的關系，不能算作真正的多目標優化。筆者將基于單目標粒子群優化算法的多目標粒子群優化（multi-objective particle swarm optimization， MOPSO）算法[14]應用于斜拉橋索力優化，建立的優化模型考慮多目標函數多約束條件，能搜尋出Pareto最優解集并從中進一步篩選得到最優解，實現斜拉橋索力的自動調優，確定合理成橋狀態及合理施工狀態，并通過一座非對稱混合梁獨塔斜拉橋驗證了該方法的可行性。

1 MOPSO算法原理

粒子群算法（PSO）由美國心理學家Kennedy和電氣工程師Eberhart在1995年共同提出，其思想來源于鳥類覓食等復雜群體行為。該優化算法概念簡明，對目標函數要求低，易于編程實現[15]。

PSO算法可描述為：在D維搜索空間內有n個粒子，每個粒子可以看作是問題的一個解，將第i個粒子的位置用向量 x i=[xi1，xi2，…，xid]表示，飛行速度用向量 v i=[vi1，vi2，…，vid]表示，由所確定的目標函數輸出該粒子的適應度值，通過迭代優化過程中適應度值的相互比較，每個粒子能夠知道自己目前最好的位置 p best 1=[ p best i1， p best i2，…， p best id]以及群體搜索到的最好位置?g best =[ g best 1， g best 2，…， g best d]，各粒子根據自身經驗和種群內其他粒子的經驗決定下一次移動的速度和位置，其速度和位置的更新公式為[15]

vkid=wvk-1id+c1r1（ p best k-1id-xk-1id）+c2r2（ g best k-1d-xk-1id） （1）

xkid=xk-1id+vk-1id （2）

vdmin≤vkid≤vdmax

xdmin≤xkid≤xdmax? （3）

式中：vkid為第k次迭代粒子i飛行速度矢量的第d維分量，vdmin和vdmax為其限值;

xkid為第k次迭代粒子i位置矢量的第d維分量，

vdmin和vdmax為其限值;

pbestk-1id為第k-1次迭代粒子i經歷最好位置矢量的第d維分量;

gbestk-1d為第k-1次迭代種群所經歷過最好位置矢量的第d維分量;w為慣性權重，非負數，調節對解空間的搜索范圍;c1和c2為加速度常數，調節其最大步長，取值范圍為[0，2];r1和r2為兩個介于（0，1）的隨機數，增加搜索隨機性。

MOPSO算法是在PSO算法的基礎上擴展而來，原生支持多目標優化問題求解的算法。它具備PSO算法概念簡明、易收斂和易編程實現的特點，而且對問題的連續性和可導性沒有要求，適用范圍廣，該算法被認為是求解多目標優化問題最具潛力的方法之一[16]。MOPSO算法相較PSO算法通過增加外部儲備集保存算法迭代過程中出現的非劣解，采取適當的更新策略更新每一次迭代中的pbest（個體引導者）、gbest（全局引導者）和外部儲備集來解決多目標問題[17-18]，其優化結果為一組最優解集，而非單一解，算法工作流程如圖1所示[6]。

2 索力優化模型

2.1 設計變量

現代斜拉橋多為密索體系，其索力可調的特點使得斜拉橋設計的自由度較大，對于已確定的斜拉橋結構體系，需找到一組索力使得結構達到最優的受力狀態和線形[19]，因此，將索力作為調整的設計變量較合理，其向量形式為

X= [T1，T2，…，Tn]T （4）

式中：Ti為第i根斜拉索初始索力值;n為設計變量數，對于完全對稱的斜拉橋，設計變量可取斜拉索數量的一半，對于非對稱斜拉橋，設計變量取全部斜拉索數量。

2.2 目標函數及約束條件

斜拉橋索力確定需要遵循以下原則：

1）結構安全性原則。結構安全性原則包含斜拉橋施工過程的安全性和成橋狀態下的安全性兩部分，各構件在各工況下的應力必須滿足規范要求且有一定的安全儲備。

2）“梁平塔直”原則。“梁平塔直”為斜拉橋成橋的線形目標，主梁的成橋線形一般可以通過在施工過程中設置合理的預抬量調整，但也不宜出現過大的波動;而主塔線形一般無法通過設置預偏調整，通常在施工過程中以張拉索力進行控制，使其在成橋后達到“塔直”的目標。

3）索力總體分布均勻原則。斜拉索索力分布一般由主塔向兩端（短索向長索方向）呈遞增趨勢，允許個別斜拉索索力小幅度跳躍，如主塔兩側第一對斜拉索索力和尾索索力。

綜上，分別選取主塔、主梁的彎曲應變能之和，主塔恒載作用下，縱橋向位移平方和作為目標函數。以主梁、主塔的應力滿足規范允許值，斜拉索索力總體分布均勻且不超過規范要求的安全系數作為約束條件。

對于離散的桿系結構，其彎曲應變能[20]可表示為

U=∑ m i=1? li 4EiIi （M2Li+M2Ri） （5）

式中：m為結構單元數量;li、Ei、Ii、MLi、MRi分別為單元長度、彈性模量、慣性矩及左右桿端彎矩值。

主塔的縱橋向位移平方和可表示為

D=∑ s i=1 δi2 （6）

式中：s為主塔控制節點數;δi為主塔各控制點處的縱橋向位移值。

約束條件表示為

1）關心截面應力：σjmax≥σj≥σjmin;

2）斜拉索索力：Tjmax≥Tj≥Tjmin;

3）斜拉索索力均勻度：? Tj+1-Tj Tj+1? ≤Δ。

式中：σjmax、σjmin分別為截面j應力上下限，按規范取值;

Tjmax、Tjmin分別為第j根斜拉索索力上下限，在滿足規范要求容許拉力小于0.4Tpd（破斷索力）的前提下，考慮經濟性和垂度效應建議Tjmax取0.32Tpd、Tjmin取0.15Tpd;Δ為相鄰索力均勻度評價閥值。

2.3 數學模型

斜拉索索力優化數學模型可表示為

minf（x）=[minU（x），minD（x）]

s.t.gi（x）≤0，i=1，2…，n? （7）

式中：f（x）為目標函數，包含結構彎曲應變能U（x）以及主塔縱橋向位移平方和D（x）;g（x）為約束函數;n為約束個數。

2.4 基于MOPSO算法的索力優化

2.4.1 約束處理及更新策略

MOPSO算法迭代過程中的更新策略包含pbest更新（個體引導者更新）、gbest更新（全局引導者選擇）以及外部儲備集更新。筆者所考慮的索力優化問題是一個多目標多約束問題，在pbest更新策略上，采取約束占優的選擇策略，具體按如下規則進行：

1）若粒子本次位置 x ki與 p best k-1i 為可行解（滿足約束條件），則按Pareto占優準則：若?x ki為支配解，即fi（ x ki）≤fj（ p best k-1i）（j=1，…，n，n為目標函數數量），則?p best ki=kki，反之若 x ki為受支配解，即fj（ x ki）≥fj（ p best k-1j）（j=1，…，n），則 p best ki= p best k-1i;若互相不支配，則隨機決定更新。

2）若粒子本次位置 x ki為可行解，而 p best k-1i為不可行解，則更新，反之，則不更新。

3）若 x ki與 p best k-1i均為不可行解，則按約束違反程度決定是否更新，具體規則為：若 x ki滿足的約束條件數多于 p best k-1i ，則更新，反之，則不更新;若相等，則按Pareto占優準則處理約束， x ki 約束占優時更新，否則不更新。

MOPSO算法中，因外部儲備集中的非劣解較多，如何從中選擇gbest對算法的性能影響很大，為了維護粒子群的多樣性，根據自適應網格法[21]計算外部儲備集中各粒子的擁擠度，隨機選擇擁擠度較小的粒子作為全局引導者。為提高粒子群的多樣性，同時讓算法能夠在一定的不可行域中搜索，提高算法的全局搜索能力，外部儲備集更新策略將約束條件作為額外的目標函數考慮。具體按如下規則進行3輪篩選：

1）將各粒子本次迭代所得 p best ki 與儲備集中的非劣解按Pareto占優準則比較，若 p best ki 為支配解或非劣解則添加到外部儲備集中。

2）更新后的外部儲備集中若存在受支配解，則將其剔除。

3）若外部儲備集粒子數量超出上限，則按自適應網格法，將擁擠度較高的粒子隨機剔除。

2.4.2 擾動處理

針對MOPSO算法優化過程中可能收斂到局部最優解的問題，按如下規則進行擾動，提高算法的全局搜索能力：

1）當外部儲備集多次未更新時，即沒有新的非劣解出現，對群里內粒子位置和速度重新進行隨機生成。

2）在迭代過程中若某粒子移動到已經搜索過的位置時，對該粒子的位置和速度微調，避免重復計算。

3）每間隔一定迭代次數，對群體內隨機10%的粒子位置和速度進行隨機生成。

2.4.3 索力優化計算步驟

斜拉橋索力優化流程圖如圖2所示，具體計算步驟如下：

1）根據斜拉橋結構布置、截面尺寸及材料參數等建立考慮施工過程的全橋有限元模型，并確定設計變量數目;

2）設置MOPSO算法參數，包括加速度常數、慣性系數、種群規模、位置及速度限值、算法最大迭代次數等;

3）按恒載平衡法等方法確定一組初始索力，并根據這組索力初始化各粒子的位置和移動速度;

4）求解有限元模型，提取結構關心截面的應力、位移等計算結果;

5）根據確定的目標函數及有限元模型計算結果計算各粒子的適應度值，并初始化pbest、gbest、外部儲備集;

6）根據MOPSO算法中的速度、位置更新公式對粒子的位置和速度進行更新，將更新后的粒子位置（索力）替換到有限元模型中;

7）重新求解有限元模型;

8）根據確定的目標函數及有限元模型計算結果計算各粒子的適應度值，據此更新pbest、gbest、外部儲備集;

9）若滿足停止迭代的條件則輸出Pareto最優解集，并對其篩選得到最優解;若不滿足停止迭代的條件則轉入步驟6。

3 算例

3.1 工程概述

廣東某不對稱獨塔雙索面混合梁斜拉橋，跨徑組合為66 m+69 m+260 m=395 m，邊中跨比0.52，采用塔墩梁固結，邊墩設縱向活動支座，橋面全寬40.5 m（雙向八車道），主塔塔身總高142 m。主梁采用鋼混結合，中跨247 m采用鋼箱梁，其他部分采用預應力混凝土箱梁，梁高3.5 m。全橋共40對拉索。全橋總體布置、拉索編號、主塔截面及主梁截面如圖3所示。

3.2 參數設置

該斜拉橋為不對稱結構，選取全橋共40對斜拉索作為設計變量， X =（T1，T2，…，T40）T。MOPSO算法主要參數設置見表1，其中，慣性權重系數、c1和c2加速度常數采用Vandenbergh等[22]的推薦值。考慮到目前普遍使用的計算機配置，種群規模n取14，兼顧計算效率和算法性能。速度vid取值介于[-400，400]，粒子位置xid限值在保證拉索安全系數的前提下，取初始索力上下浮動30%，即介于[0.7x0d，1.3x0d]。最大迭代次數設置為800次。

3.3 優化結果與分析

如何控制施工過程中主梁、主塔應力在安全范圍內和成橋狀態下的主塔線形是施工監控的兩個關鍵問題。運用提出的斜拉索索力優化方法，采用Python編程語言聯合有限元軟件編寫程序，對該橋的初始索力進行優化。表2為優化得到的Pareto最優解集，由表2可以看出，集合中的解均為可行解。對Pareto最優解集篩選，選擇第1組解作為最優解。圖4為優化后的初始索力，主跨斜拉索索力相對優化前變化幅度不大，但邊跨大部分斜拉索索力相較優化前有10%左右提高，這說明優化前的邊跨索力值偏小。根據斜拉橋布置，圖4中B10斜拉附近設置有輔助墩，可以看出，此處索力值較相鄰拉索更小。其主梁、主塔彎矩與優化前的對比分別如圖5、圖6、圖7所示。由圖5、圖6可知：相較優化前，邊跨混凝土梁的彎矩變化不大，但鋼主梁部分的彎矩有明顯改善，其彎矩極值由7.63×104 kN·m減小至4.95×104 kN·m，并且各截面彎矩分布均勻。 由圖7可知，優化后的主塔彎矩極值明顯降低，受力更合理，上塔柱最大彎矩由1.04×105 kN·m減小至7.11×104 kN·m，下塔柱彎矩極值由1.21×105 kN·m減小至5.77×104 kN·m。

3.4 與單目標PSO算法優化結果對比

將該算法中的目標函數僅選取主梁、主塔彎曲應變能之和，得到帶約束的單目標PSO優化算法結果。MOPSO算法優化結果與之對比見表3。

由表3可知，雖然單目標PSO優化算法搜索到了更小的彎曲應變能，但沒有照顧到主塔的成橋線形，其成橋塔偏值達到了53 mm，與MOPSO算法優化結果差別明顯。由此說明了該方法相對單目標優化方法的優越性。

4 結論

基于MOPSO優化算法，考慮多優化目標函數和多約束條件，提出一種斜拉橋索力優化方法，確定了斜拉橋合理施工狀態及合理成橋狀態。以一座非對稱混合梁獨塔斜拉橋為例進行試算，得到如下結論：

1）MOPSO算法基于隨機搜尋思想，對目標函數沒有連續性、可導性等要求，在PSO算法的基礎上，通過增加外部儲備集保存迭代過程中出現的非劣解，采取適當的更新策略更新每次迭代中的個體引導者、全局引導者以及外部儲備集來解決多目標索力優化問題。

2）在以結構塔梁彎曲應變能和主塔成橋線形為優化目標函數，以施工過程及成橋后結構處于安全狀態和索力總體分布均勻作為約束條件的索力優化問題中，MOPSO算法搜尋得到的Pareto最優解集可供決策者進一步篩選，較僅考慮塔梁彎曲應變能的單目標PSO優化算法所得到的單一解更全面合理。

3）除了適用于斜拉橋成橋狀態索力的確定外，該方法也適用于斜拉橋設計計算中可能出現的多次調索索力優化問題和梁拱組合體系吊桿的張拉力確定問題。

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