高速轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算及支承結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

吉世偉

（南京圣威惠眾機(jī)電技術(shù)有限公司， 江蘇 南京 210001）

引言

對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子，在某些轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)軸會(huì)產(chǎn)生撓曲，同時(shí)出現(xiàn)巨大的不平衡力和力矩，這些轉(zhuǎn)速稱為轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。在這些轉(zhuǎn)速下工作，高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械將會(huì)產(chǎn)生很大的振動(dòng)現(xiàn)象，很可能造成嚴(yán)重的后果甚至振壞。為了保證高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在臨界轉(zhuǎn)速下能正常工作，需要計(jì)算轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)幅值，確保其在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)。

本文針對(duì)某試驗(yàn)臺(tái)用高速轉(zhuǎn)子，利用MATLAB軟件劃分單元，以建立轉(zhuǎn)子軸系的有限元模型，計(jì)算轉(zhuǎn)子軸系的臨界轉(zhuǎn)速，同時(shí)分析支承剛度對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響，并根據(jù)額定轉(zhuǎn)速50 000 r/min 工況下的運(yùn)行情況，對(duì)轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。

1 臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算

由于構(gòu)成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的材料無法做到嚴(yán)格意義上的均質(zhì)或轉(zhuǎn)子加工存在誤差而導(dǎo)致各微元的質(zhì)心并不一定在回轉(zhuǎn)軸上，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)橫向干擾。在某些轉(zhuǎn)速下，當(dāng)橫向振動(dòng)的固有頻率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率相等時(shí)，便會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，并且會(huì)引起系統(tǒng)強(qiáng)烈振動(dòng)，出現(xiàn)這種情況時(shí)的轉(zhuǎn)速就是臨界轉(zhuǎn)速。為保證高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械不會(huì)因振動(dòng)過大發(fā)生故障，計(jì)算出的轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速應(yīng)高于工作轉(zhuǎn)速50 000 r/min。

有限單元法分析臨界轉(zhuǎn)速的基本原理是求解系統(tǒng)頻率方程的特征根。因此，首先需要得到各單元的運(yùn)動(dòng)方程，然后推導(dǎo)出整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，最后得到頻率方程[1]。

在有限元法中，通常將質(zhì)量連續(xù)分布的、具有無窮多個(gè)自由度的實(shí)際轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為具有若干個(gè)集中質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)。沿轉(zhuǎn)子軸線把轉(zhuǎn)子質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量集總到若干個(gè)節(jié)點(diǎn)處，這些節(jié)點(diǎn)一般選擇在葉輪、軸頸的中心、聯(lián)軸器、軸的截面有突變處以及軸的段部等，并按照順序編號(hào)，軸承一般安排到節(jié)點(diǎn)處[2]。

在軸段劃分的過程中，常常會(huì)遇到欲劃分為一段的兩節(jié)點(diǎn)之間，內(nèi)包含多個(gè)不同軸頸或者同時(shí)含有軸段和輪盤的情況，就需要將該段等效為一個(gè)等直徑的軸段以方便進(jìn)行計(jì)算。一般的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包括軸段、軸承、附加質(zhì)量等單元。

為了計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，本文利用MATLAB軟件中基于有限單元法的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)計(jì)算代碼DYNROT 軟件包來計(jì)算。首先需要對(duì)DYNROT 文件中待求轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)信息、材料屬性、軸承剛度阻尼等需要輸入?yún)?shù)矩陣。接下來在計(jì)算文件中計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速及坎貝爾圖。

在計(jì)算之前，首先要對(duì)轉(zhuǎn)子建模并進(jìn)行節(jié)點(diǎn)劃分，如圖1 所示。

圖1 轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)劃分

轉(zhuǎn)子總長(zhǎng)120 mm，共劃分為28 個(gè)節(jié)點(diǎn)。其中節(jié)點(diǎn)5 和22 為軸承安裝處，節(jié)點(diǎn)28 為附加質(zhì)量處。單列球軸承剛度近似計(jì)算公式：

式中：Krr為徑向剛度，N/mm；Fr為徑向外力，N；n為滾珠數(shù)目；d為滾珠直徑，mm；β 為接觸角。

選用SKF 角接觸球軸承S7001CEGA/HCP4A，計(jì)算單個(gè)軸承徑向剛度為1.505 2×107N/m。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，如下頁(yè)表1 所示。

表1 節(jié)點(diǎn)參數(shù)

運(yùn)行MATLAB 軟件中的計(jì)算程序，輸出臨界轉(zhuǎn)速、坎貝爾圖。如圖2 所示。

圖2 單列球軸承支承結(jié)構(gòu)下坎貝爾圖

結(jié)合坎貝爾圖及MATLAB 軟件輸出的臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果，得到轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速為45 427.45 r/min。由于試驗(yàn)中轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速為50 000 r/min，高于此型轉(zhuǎn)子及支承情況下的一階臨界轉(zhuǎn)速，未滿足設(shè)計(jì)要求，下一節(jié)通過分析軸承剛度和臨界轉(zhuǎn)速的關(guān)系，優(yōu)化轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)。

2 軸承剛度對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響

由于在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中利用角接觸球軸承用來支撐轉(zhuǎn)子，所以軸承剛度的變化對(duì)試驗(yàn)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速有很大的影響[3]。根據(jù)上一節(jié)所述的方法，本節(jié)計(jì)算了軸承剛度由1.505 2×107N/m 變化到4.0×107N/m 范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的變化，計(jì)算結(jié)果如表2所示，臨界轉(zhuǎn)速- 軸承剛度曲線圖如圖3 所示。

表2 臨界轉(zhuǎn)速隨剛度變化而變化的計(jì)算結(jié)果

由圖中可以看出，在一定范圍內(nèi)，隨著軸承支承剛度的增加，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速逐漸增大。

圖3 臨界轉(zhuǎn)速- 軸承剛度曲線圖

3 轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)已初步固化，支承跨距也初步確定，本文通過增加角接觸球軸承提高支承剛度的方法，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速。

同樣選用SKF 角接觸球軸S7001CEGA/HCP4A，兩個(gè)支撐位置均采用兩個(gè)軸承串聯(lián)的軸承組進(jìn)行支承，增加支承剛度。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向外力Fr沒有發(fā)生變化，單個(gè)軸承的徑向剛度變?yōu)?.155 0×107N/m。

此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)劃分如圖4 所示，在4 和5 節(jié)點(diǎn)處、22 和23 節(jié)點(diǎn)處，采用串聯(lián)的角接觸軸承組。

圖4 軸承組支承結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)劃分

輸入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，并用MATLAB 程序計(jì)算。

圖5 軸承組支承機(jī)構(gòu)下坎貝爾圖

結(jié)合坎貝爾圖（見圖5）及MATLAB 軟件輸出的臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果，得到轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速為64 844.3 r/min，大于轉(zhuǎn)子的額定工作轉(zhuǎn)速50 000 r/min，滿足了設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié)論

1）確定高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速在45 427.45 r/min 左右，小于該系統(tǒng)額定轉(zhuǎn)速50 000 r/min；

2）在對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的拓展研究中發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)隨著軸承支承剛度的增加，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速逐漸增大；

3）于是在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)跨距初步確定的前提下，采用角接觸球軸承串聯(lián)的軸承組形式提高支承剛度，優(yōu)化支承系統(tǒng)，提高了系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速，使得該轉(zhuǎn)子和支承系統(tǒng)滿足某試驗(yàn)臺(tái)的要求。