丁字路口車輛U 形轉向的元胞自動機模型

袁定強， 郭明旻， 張 鵬,3， 林志陽， 房 銳

(1. 上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海 200072;2. 復旦大學航空航天系，上海 200433；3. 上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200072 4. 云南省交通規劃設計研究院有限公司 陸地交通氣象災害防治技術國家工程實驗室, 昆明 650200)

U 形轉向（車輛路口掉頭）是導致車輛擁堵的主要原因之一，因此有必要對路口車輛的U形轉向問題進行研究。目前，國內外學者對U 形轉向問題的研究[1-8]更多地是從道路交通設計和工程應用角度出發，沒有利用交通流相關的模型理論進行分析，因此未能從本質上揭示流量密度等因素的影響。也有學者從交通流模型角度出發，研究車輛的路口轉向問題。Yang等[9]研究了在路口處用右轉再加U 形轉向方式代替原來的直接左轉方式，用CORSIM 交通仿真工具比較了這兩種方式對路口處的車輛出行時間、延誤時間和交通流量的影響。Carter等[10]研究了十字路口處的車輛U 形轉向對路網車流量的影響。Combinido等[11]用元胞自動機NaSch模型模擬了十字路口處用右轉加U 形轉向代替直接左轉的問題，并根據車輛轉向行為對轉向處道路進行特殊的元胞劃分，但并沒有采用元胞交錯網格，不完全符合實際. Meel等[12]研究了道路中途車輛U 形轉向（在道路的中央分隔帶切開一段，用于車輛U 形轉向）問題，將此種道路U 形轉向設計細分為4 類，并比較了這4 類設計在車流量、交通事故方面的優缺點。

隨著計算機軟件技術的發展，國內外學者或軟件公司基于交通流理論模型開發出了交通仿真模擬軟件。如科研人員利用VISSIM[13-17]或AIMSUN[18]研究了各種車輛U 形轉向問題。仿真軟件中采用了其他相關交通流仿真模型，并非是以元胞自動機NaSch 模型為基礎，并且所研究問題更多地偏向于左轉加掉頭模式或是十字路口車輛掉頭，未考慮丁字路口的車輛U形轉向問題。

王金剛[19]對丁字路口車輛遠引調頭交通組織方法展開了研究，在丁字路口處將車輛調頭分為直接左轉和右轉加調頭兩種情況分別探討。孫立[20]對城市信號交叉口調頭選位方法進行了研究，首先分析了信號交叉口調頭需求及組織方法，之后分別對單左轉車道交叉口調頭選位和雙左轉車道交叉口調頭選位兩種情況進行了研究。Zhou等[21]對交叉口車輛右轉加調頭的轉向過程進行研究，實際是用右轉加調頭來實現車輛左轉。以上研究都沒有考慮車輛調頭對車流量的影響，也沒有用相關交通流理論模型進行模擬分析。

Adams等[22]研究了左轉車道和調頭車道在同一個車道時，調頭車道的車輛數量比例對車流量的影響。Liu等[23]研究了車道出口與下游掉頭位置之間的間隔距離對車輛行駛安全的影響，通過將車輛左轉問題轉換成右轉加調頭問題，并用最大似然估計方法對研究結果進行統計分析。Ben-Edigbe[24]用分段模型對道路從中央隔離帶開口的車輛調頭問題進行研究，通過對此段道路進行數據實際采集并加以分析，驗證了模型的準確性。

Kong等[25]對處于信號交叉口的U 形返回調頭路段進行了流量評估，通過將信號交叉口路段的U 形調頭返回分為4 種類型，建立相關的拓撲圖，對其進行模擬分析，并以左轉車道的飽和度、平均排隊長度和信號控制的平均延誤作為評估標準，得出最優的信號交叉口U 形返回的結構設計。郭宏偉等[26]則以NaSch 模型為基礎建立設置U 形轉向的路段交通流模型，并對其特性進行模擬分析，研究了車流從自由流狀態到擁擠狀態的相變，但該模型并非真實道路交叉口，沒有引入紅綠燈，以及車輛U 形轉向軌跡過于簡化。

上述從多個角度出發對車輛U 形轉向問題的研究，用于道路設計或利用已有的交通仿真軟件進行模擬仿真，對車流量密度的影響考慮的較少。部分文獻雖然采用交通流模型進行模擬仿真，考慮了車流量密度等因素，但更多是以十字路口車輛的U 形轉向和用右轉加U 形轉向代替直接左轉等相關場景為基礎，沒有考慮丁字路口車輛U 形轉向的車流量密度問題。以上研究中在交叉口沒有引入真實的紅綠燈，部分文獻的微觀仿真在轉向處的元胞劃分不符合實際，并且建立的模擬場景不真實。

因此基于上述工作，本工作以丁字路口為原型來建立車輛U 形轉向模型，引入符合實際的紅綠燈，以NaSch 模型為基礎進行模擬仿真，使轉向車道元胞劃分與直行車道元胞劃分交錯分布，研究丁字路口車輛U 形轉向車道位置的不同對車流量的影響。

1 模 型

本工作研究的是丁字路口“丁”字上邊一橫左半部分的U 形轉向車輛及各車道流量問題。丁字路口各條車道的車流流向如圖1 所示。本工作將分2 種情況研究U 形轉向車道位置的變化對流量的影響。

圖1 丁字路口U 形轉向示意圖Fig.1 Sketch of U-turn at T-crossing

圖1中的實線方框表示各個車道的車流會發生沖突，分別是路口的上方左轉車道、右方左轉車道、下方直行車道和下方U 形轉向車道，因此需要為這4 個車道引入紅綠燈。設置紅綠燈周期為45 s，將黃燈視為綠燈。路口的上方左轉車道、右方左轉車道和下方直行車道的綠燈時間都為15 s，按順時針從上往下變化。對于U 形轉向車道的綠燈時間，圖1(a)中就是右方左轉車道的紅燈時間，為30 s；圖1(b)中就是右方左轉車道和下方直行車道都是紅燈的時間，為15 s。因此在一個紅綠燈周期內，圖1(a)的U 形轉向車道的綠燈時間比圖1(b)的U 形轉向車道的綠燈時間多15 s。

1.1 道路元胞劃分

對圖1 中的虛線框部分進行道路元胞劃分（見圖2），其中D、E、F 車道分為自由行駛區、強制換道區、禁止換道區和路口轉向區，A、B、C 車道分為自由行駛區和路口轉向區。A、B、C車道在自由行駛區都是直行車道，其中圖2(a)中的D、E、F 車道分別是U 形轉向、直行和右轉車道，圖2(b)中的D、E、F 車道分別是直行、U 形轉向和右轉車道。而對于上方左轉車道，由于紅綠燈時間的間隔，其對U 形轉向車道的車輛沒有影響，同時也為簡化模擬，該車道車流不予考慮。

圖2 丁字路口U 形轉向道路元胞劃分示意圖Fig.2 Sketch of road cells of U-turn at T-crossing

每個車道被劃分為L 個元胞，每個元胞在每一時刻的狀態為空或被一輛車速為v 的車輛占據。為精確刻畫U 形轉向車輛的交通流特性，將每個元胞長度定為3.75 m。除了在路口轉向區部分車輛改變行駛方向會占用至少兩個元胞以上，其余車輛均占用兩個元胞。車輛的最大速度為vmax=5（無量綱數），對應實際速度為67.5 km/h。按照實際的道路交通規劃設計，每條車道的寬度為3.5 m，中央分隔帶的寬度為2 m，而路口轉向區沒有中央分隔帶。設置道路總長度為134 個元胞，對應實際長度為502.5 m。A-B-C 車道的自由行駛區長度為128 個元胞。D-E-F 車道的自由行駛區長度為88 個元胞，強制換道區長度為30 個元胞，禁止換道區長度為10 個元胞。路口轉向區長度為6 個元胞。

郭宏偉等[26]對轉向區域的轉向車輛沒有按實際的車輛轉向軌跡劃分元胞，而本工作對此加以改進，使轉向車道的元胞劃分與直行車道的元胞劃分交錯重疊，這樣更能體現U 形轉向車輛對路口交通的影響。如圖3 所示，右方左轉車道的元胞以T 表示，U 形轉向車道的元胞以U 表示，其余直行車道的元胞以所在車道字母編號表示。T 車道和U 車道的車輛占用本車道連續兩個元胞，同時也要占用直線車道相重疊的多個元胞。因此轉向車輛要前行到下一個元胞時，與之重疊交錯的直線車道元胞必須全部為空車輛才可以前行。

1.2 換道規則

車輛在自由行駛區行駛時按自由換道規則換道，在強制換道區行駛時按強制換道規則換道。以xn(t)，vn(t)表示第n 輛車在t 時間步的位置和速度，dn(t)表示第n 輛車在t 時間步同前車n+1 之間的空元胞數量，因此dn(t) = xn+1(t)-xn(t)-l，其中l 為車輛長度。以x(n+1,other)(t)和x(n-1,other)(t)表示在t 時間步第n 輛車的鄰車道上前車和后車的位置，d(n,fother)(t)和d(n,bother)(t)表示在t 時間步第n 輛車同鄰車道前車和后車之間的空元胞數量，則d(n,fother)(t)=x(n+1,other)(t)-xn(t)-l, d(n,bother)(t)=xn(t)-x(n-1,other)(t)-l。

圖3 路口轉向區元胞交錯劃分Fig.3 Staggered cells in the turning area

在自由換道區，車輛為了加速行駛而變換車道，換道需同時滿足動機條件和安全條件：

如果動機和安全條件均滿足，車輛將以概率pc換道。在D、E、F 車道的自由行駛區，當車輛所在車道與本需行駛車道不一致時，車輛向本需行駛的車道方向上換道。當車輛所在車道與本需行駛車道一致時，車輛向與前方車距最大的車道換道，以保證能夠加速行駛。而車輛在強制換道區行駛時，車輛將按照強制換道規則進行換道，即

此規則表示將要換至車道的前方至少有一輛車車長的距離，而后方車輛與本車也至少有一輛車的距離時，本車就立即換道，即“見縫就鉆”。若車輛將要進入禁止換道區時還沒有完成換道，車輛將在此等待直至換道條件滿足換至相應車道后再繼續向前行駛。

1.3 跟馳規則

本工作采用的車輛跟馳規則以NaSch 模型[27]為基礎。車輛在轉向過程中的轉向最大速度u = 1（無量綱數），轉向車輛在轉向區行駛不再進行隨機慢化步驟。其余車輛最大速度為vmax。除了禁止換道區的首車在到達路口時受紅綠燈的限制外，車輛均按NaSch 模型的演化規則進行速度和位置的更新，規則如下：

加速，

減速，

隨機慢化（以概率p），

位置更新，

2 數值模擬

數值模擬采用開放邊界條件：以xhead(t)和xlast(t)表示道路上第t 時間步的首車和尾車位置。對于駛向路口三車道(D-E-F 車道)，當xlast(t) ＞vmax時，若U 形轉向車輛進車概率pu滿足，則一輛U 形轉向車輛進入，若pu不滿足，則直行或右轉車輛以概率pin進入，且此車是直行還是右轉車輛的概率都是50%。車輛以速度vmax進入元胞min(vmax,xlast(t)-vmax)并成為新的尾車。對于駛離路口三車道(即A-B-C 車道，在路口轉向區為A-B-T 車道)，三條車道的進車概率依次為pin,pin/2,pin?？紤]到上方直行車道和右方左轉車道的部分車輛會換至中車道行駛，因此中車道的車輛以概率pin/2 進入。當xlast(t)＞2 時, 即在駛離路口的三車道各自的車輛入口處（見圖2）只要有一個車輛空位存在，且右方左轉車道綠燈亮時，此時駛離路口三車道對應的有車輛空位的入口將有一輛u = 1 的車輛以對應的概率進入元胞2。當xhead(t)＞L 時，首車以概率pout駛出系統。

對圖2 所示的兩種場景分別模擬，模擬時每個時間步長為1 s。為消除暫態影響，每次模擬將前10 000 個時間步的結果舍棄，對之后的50 000 個時間步的各車道流量進行統計。在每條車道設置n 個監視截面，統計每個截面在t 時間步的流量, 則車道i 在統計時段內的流量為。在自由行駛區和路口轉向區分別進行流量統計。在模擬時設置車輛駛出車道的概率為pout= 1，車輛換道概率為pc= 0.7，車輛隨機慢化概率為p = 0.3。每次模擬時的進車概率pin和pu都有變化，且進車概率大小與相應的車輛密度正相關，即隨著進車概率的增大，相應的車輛密度也增大。

2.1 U 形轉向車道位置變化對路口轉向區車流量的影響

圖4 表示路口轉向區U 形轉向車道流量隨概率pin和pu的變化。在pin較小時，轉向車道流量qu隨著pu的增大而快速增加，之后隨著pu的增大流量達到穩定，說明qu達到飽和流量。隨著pin的增加，qu達到穩定時的概率pu也增加，因為此時直行和右轉車輛增多，轉向車流qu受直行和右轉車輛換道的影響, 就需要更大的進車概率pu，流量qu才能達到飽和。對于場景一，隨著pin的增加，轉向車道的飽和流量逐步減小。而場景二中隨著pin的增加，飽和流量變化很小，且在pin接近1 時，場景一的飽和流量低于場景二。因為在場景一中路口轉向區U 形轉向車道車輛受右方左轉和中車道車輛影響大于場景二中只受右方左轉車輛影響。而在pin較小時，場景一的流量qu高于場景二，則是由于在一個紅綠燈周期內場景一的U 形轉向綠燈時間比場景二多15 s。

圖5 為路口轉向區駛離路口方向的右方左轉車道(T 車道)流量變化圖。從圖中看出：隨著概率pu的增加, 流量qT最終穩定變化, 是由于U 形轉向車道隨pu的增加而流量qu趨于穩定, 從而使得路口轉向區右方左轉車道的流量穩定。在pin一定時, 場景一的流量qT高于場景二, 以及在場景一中pin較大pu較小時流量qT隨pu的增大而減小, 在場景二中pu較小時流量qT隨pu的增大而增大, 都是由于場景一和場景二U 形轉向車道的位置和綠燈時間的不同的影響。總之, 在路口轉向區駛離路口方向的右方左轉車道和U 形轉向車道的車輛之間相互影響。

圖4 路口轉向區U 形轉向車道流量Fig.4 Flow in the U-turn lane in the turning area

圖5 路口轉向區T 車道流量Fig.5 Flow in the T lane in the turning area

截取第14 500 s 到15 000 s 的車輛位置數據，繪制相圖，結果如圖6 所示。兩個場景的車輛進入概率pu和pin都為30%。車輛所在位置（橫坐標）1 至134 表示駛向路口三車道的車輛隨時間移動過程，135 至268 表示駛離路口三車道的車輛隨時間移動的過程。圖中出現多個車輛重疊在一起是因為它們所在位置元胞編號相同，但它們位于不同的車道。從圖6 中可以明顯看出，駛向路口三車道車輛由于在強制換道區未及時換道而停留于此引起了車輛堵塞，使此三車道的車輛只能緩慢前行。對于駛離路口三車道車輛不需要強制換道也沒有紅綠燈限制，因此車輛一直保持暢行。車輛位置130 附近部分元胞為空，是由于車輛在強制換道區沒有及時換道而長時間停留以至于禁止換道區沒有了車輛，以及車輛駛出路口所致。另外，從圖6 可看出，場景一駛向路口方向的車流量低于場景二。

圖6 進車概率pu 和pin 都為30%時第14 500 到15 000 s 的車輛位置相圖Fig.6 Phase diagram of vehicles’ locations between 14 500 and 15 000 s when pu and pin are both 30

2.2 U 形轉向車道位置變化對自由行駛區車流量的影響

圖7為駛離路口方向自由行駛區三車道(A、B、C 車道)的流量變化圖?？梢钥闯觯涸趐in一定時，流量隨pu的增大而快速達到飽和；在pin低于0.5 時，場景一的流量qABC高于場景二（見圖4）是由于此時場景一的U 形轉向流量qu高于場景二，之后轉向車輛進入此三車道使流量qABC增加；在pin高于0.5 時，場景一中此三車道飽和流量qABC低于場景二，是由于在場景一中路口轉向區U 形轉向車道和此三車道中的中車道和右方左轉車道相互影響使流量減小，以及此時場景一的U 形轉向流量qu低于場景二所致。但總體上U 形轉向車道位置的不同對A-B-C 車道的流量影響不大。

圖7 駛離路口方向自由行駛區A、B、C 車道流量Fig.7 Flows in lanes A, B and C when driving out crossing

圖8為駛向路口方向自由行駛區三車道(D、E、F 車道)的流量變化。從圖中看出，場景一和場景二的流量變化有顯著差異。場景一中流量qDEF先隨著pu從0 處開始增大而增大，之后趨于平緩，在pu＞0.8 時減小。隨著pin的增大，在pu＜0.8 時流量qDEF趨于平緩，并且流量飽和值逐步減小。場景二中流量qDEF先隨著pu從0 處開始增大而增大，達到峰值后就逐步減小，幾乎沒有平緩過渡期。這是由于場景一中U 形轉向車道在一個紅綠燈周期內綠燈時間大于場景二所致。隨著pu的增大流量qDEF減小是由于車輛增多部分車輛無法及時換道最終造成交通堵塞癱瘓。隨著pin的增大場景二流量qDEF的峰值高于場景一（見圖8），這是因為場景一中路口轉向區U 形轉向車輛受中車道和右方左轉兩條車道車輛的影響, 相應的在場景二中只受右方左轉車道一條車道的影響從而流量更大。即便是場景一的U 形轉向車道綠燈時間大于場景二，但此三車道流量還是主要受U 形轉向車道位置的影響。

圖8 駛向路口方向自由行駛區D、E、F 車道流量Fig.8 Flows in lanes D, E and F when driving into crossing

3 結束語

本工作建立了丁字路口雙向六車道的模型，采用交錯元胞網格劃分，引入紅綠燈，以元胞自動機NaSch 模型為基礎，研究了U 形轉向車道位置和進車概率即車輛密度的變化對各車道流量的影響。結果表明，U 形轉向車道位于左邊車道和中車道時的差異對路口轉向區的U 形轉向車道和右方左轉車道的流量影響顯著。在各車道車輛進入概率較低時，U 形轉向車道位于左邊車道時U 形轉向車流量更高，但概率較高時，兩種情況下的U 形轉向車流量差異不大。而對于路口轉向區的右方左轉車道，U 形轉向車道位于中車道的流量都要優于其位于左邊車道時的流量。對于右邊三個車道，隨著U 形轉向車輛進入的概率增大，U 形轉向車道位于中車道的流量減小較快，而位于左邊車道時流量減小較緩慢。對于左邊三個車道，在進車概率較低時，U 形轉向車道位于左邊車道時的流量高于其位于中車道，但進車概率較高時，前者流量又略低于后者。

因此在實際丁字路口設計時，若日常中U 形轉向車流較高時可將U 形轉向車道放在左邊車道，這時也可提高右邊三車道的流量。若日常中右方左轉車流較高時可將U 形轉向車道放在中車道，此時在U 形轉向車流不高時，其對右邊三車道的流量影響不大。本工作用NaSch模擬了丁字路口的一個方向的車輛流動，在未來的工作中可以用其他的交通流模型進行模擬仿真，對路口的紅綠燈設置進一步優化。在實際的城市路網中，十字路口數量遠比丁字路口多，十字路口的U 形轉向問題將更加豐富和復雜。本工作從簡單的丁字路口U 形轉向問題著手建立研究方法并積累經驗，得到初步結論，以后會推廣至十字路口做進一步研究。