快速反射鏡狀態模型構建方法及其控制系統設計

艾志偉，嵇建波，李 靜，黃書童

快速反射鏡狀態模型構建方法及其控制系統設計

艾志偉，嵇建波，李 靜，黃書童

（桂林航天工業學院，廣西 桂林 541004）

為減少快速反射鏡狀態空間建模過程中所需的結構參數數量，提出了一種基于系統辨識的狀態模型構建方法，采用該方法建立狀態模型時只需使用音圈電阻和電感兩個結構參數。基于狀態模型，設計了一套由降階觀測器、狀態反饋、內模和鎮定補償器構成的組合控制系統，利用狀態反饋完成對內模和鎮定補償器的設計，通過設計降階觀測器實現對電流和角速度的獲取，組合系統可同時實現對輸入信號的漸進跟蹤和干擾的抑制。在SIMULINK中建立仿真模型，仿真結果顯示，不考慮干擾作用時，相較于不完全微分PID（Proportion Integration Differentiation）控制系統，組合系統的調節時間下降了53.6%，超調量上升了131.2%；加入干擾信號后，不完全微分PID控制系統的動穩態性能有明顯下降，而組合系統的輸出性能基本不受影響。仿真結果驗證了理論分析的正確性。

快速反射鏡；狀態模型；漸進跟蹤；干擾抑制

0 引言

快速反射鏡是一種精密調整光束傳播方向的裝置，具有結構緊湊、調整精度高、調節速度快的優勢[1]，與大慣量的機架共同使用時，可組成粗-精跟蹤系統，達到穩定視軸和消除相移的目的，因而被廣泛地應用在激光通信[2]、天文望遠鏡[3]和自適應光學系統的波前校正[4]中。

目前，對快速反射鏡系統的研究主要集中在支承結構的設計優化[5]以及控制系統的高精度高帶寬設計、擾動抑制[6]等方面。為了提高音圈電機驅動快速反射鏡的動態響應特性，中科院長春光機所的王帥[7]提出了一種基于電流環的控制方法，通過為每個音圈電機配置一個高帶寬的電流環，實現同一運動軸上的兩個音圈電機的同步推拉作用；中科院光電所的鄧超、田竟[8-9]在分析建立音圈電機驅動的快速反射鏡傳遞函數模型基礎上，設計了基于多種多環路控制的干擾觀測器，實現對擾動的抑制；北京航空航天大學的桂瀟怡[10]通過在快速反射鏡底座中設置兩組MEMS加速度傳感器測量干擾形成的控制前饋，并采用自適應方法調節前饋環節系數，提高了振動環境下系統的穩定性能。

這些方法在進行系統設計時，使用的被控對象數學模型都是頻域傳遞函數模型，提高控制精度或者進行干擾抑制時，均使用了額外的傳感器，多傳感器的使用必然增加硬件系統的復雜性。為了在不增加控制系統物理硬件復雜性的基礎上得到期望的系統穩態性能和瞬態性能，同時實現對干擾信號的抑制，提出了一種基于系統辨識的狀態模型建立方法，該方法在建立狀態模型的過程中除辨識出的系統參數外僅用到了音圈電機的線圈電阻和電感，大大減少了建模過程中結構參數的使用，基于狀態模型，設計了由降階觀測器、狀態反饋、內模和鎮定補償器構成的組合系統，組合系統在不增加額外傳感器的基礎上實現了多環控制的目的，同時實現了漸進跟蹤和干擾抑制的目標。最后，對控制系統進行仿真驗證，驗證所設計的控制系統的跟蹤性能和擾動抑制能力。

1 快速反射鏡的狀態模型

音圈電機驅動的二自由度快速反射鏡具有良好的對稱性，為了便于分析，對其中的一個運動軸進行動力學分析，轉矩平衡方程為：

式中：為鏡片的轉動慣量；為反射鏡的輸出轉角；c為音圈電機線圈的質量；為等效的阻尼系數；為柔性支承結構的轉動剛度；為音圈電機作用點到轉動中心的距離；是音圈電機作用在運動方向上的力矩，大小為：

＝2f(2)

式中：為通過音圈電機的電流；f是音圈電機力矩系數。

音圈電機為反射鏡運動機構提供驅動力矩，根據基爾霍夫電壓定律有

式中：是音圈電機的工作電壓；是音圈電機線圈的電感；e是音圈電機的反電動勢系數；為音圈電機運動的位移。快速反射鏡的運動范圍較小，近似有：

≈(4)

聯立以上各式，采用古典控制理論的建模方法可知快速反射鏡系統數學模型為一個振蕩環節和慣性環節組成的三階線性定常系統，其傳遞函數可表示為：

式中：1、2、3、4是待辨識的快速反射鏡參數；0、1、2、0是常系數。

根據式(1)、式(2)、式(3)和式(4)，選取負載反射鏡的轉動角度、角速度、通過音圈電機的電流為系統狀態變量，可以得到快速反射鏡的狀態空間方程：

聯立式(5)、式(6)有：

建立快速反射鏡的狀態空間模型，方法之一是獲取到快速反射鏡的各個參數，這樣狀態模型自然可以隨之得到，但是由于影響快速反射鏡結構參數的量有20個之多，其中很多參數是很難甚至是無法得到，因此采用這種方法建立快速反射鏡的狀態模型也變得很困難。

通過對式(7)進行分析可知，如果可以通過系統辨識得到快速反射鏡傳遞函數的參數0,1,2,0，那么確定狀態模型時只需要得到音圈電機的電阻和電感，使用這6個參量即可完成狀態空間模型的搭建。

2 控制系統設計

在經典控制理論中，提高快速反射鏡系統的控制精度的普遍的做法是將負載反射鏡的位置、速度和加速度或者位置、速度和電流等信號同時進行檢測并組成多環控制系統，再為每個環路設計合適的控制器達到提高系統輸出精度的目的。工程上，速度、加速度以及電流這些物理量雖然是可以測量的，但是檢測裝置價格也都比較昂貴，這必然會增加控制系統的成本與增加系統的復雜性。基于快速反射鏡的狀態模型，可以有效地解決上述問題，通過設計內模、補償器以及進行狀態反饋，同樣可以實現多環控制的效果，達到提高控制精度的目的。針對狀態反饋過程中難以獲取的物理量，可以設計降階觀測器，對狀態變量進行估計，然后再將其應用到狀態反饋環節中。基于狀態模型的組合系統控制框圖如圖1所示，下面分別對各環節進行參數設計。

圖1 快速反射鏡組合控制系統

先將快速反射鏡系統方程寫成如下形式：

假定系統能控能觀，、、分別是對應式(6)的矩陣，()是干擾信號且滿足狀態方程：

輸入信號()由下列方程產生：

假定上述干擾信號和輸入信號均可測量，()和()分別是干擾信號()和輸入信號()的特征多項式，即：

令()為()和()在右半閉平面零點的最小公倍式，則其展開式可以表示如下：

根據內模原理，內模－1()的狀態空間模型可實現為：

在不考慮干擾信號時，誤差信號＝－，可得內模狀態方程為：

快速反射鏡系統與內模串聯組成的系統狀態方程為：

假設組合系統能控，引入狀態反饋控制c和鎮定補償器，控制輸出為：

引入狀態反饋后的組合系統的狀態方程為：

下面繼續對受控快速反射鏡系統進行研究。系統輸出是反射鏡的轉角，將這個狀態變量用1表示。組合系統需要使用的是轉角，角速度和電流3個狀態變量，因為轉角已知，要得到全部3個狀態變量，只需要構造一個低階的觀測器估計剩余的2個狀態即可，這2個狀態變量用2表示，據此，可將受控快速反射鏡系統的狀態空間模型寫成如下形式：

對上式進行展開，有：

下面對不能測量得到的電流和角速度兩個狀態變量設計觀測器進行觀測，令：

則上式可以變成：

如果將視為系統輸入量，視為輸出量，22和12分別視作系統矩陣和輸出矩陣，則上式可以看成是受控快速反射鏡系統的一個子系統，2個狀態變量均不能直接量測得到，為此可以通過構建一個2維的狀態觀測器，實現對這2個狀態的重構，狀態不可量測子系統的狀態觀測器為：

為了在原系統中可以實現該狀態觀測器，需要消去中間變量，，將式(20)帶入式(22)，可得：

工程中的信號通常包含有大量的噪聲，在系統中直接對輸出信號進行微分會在控制系統引入噪聲干擾，為避免微分運算，引入中間變量，令：

對變量進行求導，經整理可得：

降階觀測器得到系統狀態變量為：

根據快速反射鏡控制系統的性能指標要求，確定出控制系統閉環主導極點的位置，保證另一極點的實部比主導極點的實部大3～6倍以上時可忽略該極點對控制系統輸出性能的影響。降階觀測器的特征根應該有比狀態反饋系統特征根更大的實部模。

由閉環系統主導極點確定的特征方程式和組合系統的特征方程式相等，即可確定反饋環節和鎮定補償器的參數。

3 仿真實驗與結果分析

對一款工程中使用的快速反射鏡進行了系統辨識，通過擬合得到的快速反射鏡開環模型為：

音圈電機的標稱電感和電阻分別為1.9mH和3.6W，得到快速反射鏡的狀態方程為：

采用掃頻法辨識出的快速反射鏡開環系統模型、擬合得到的系統模型以及狀態模型幅頻特性曲線對比圖如圖2所示，從圖中可以看到狀態模型與辨識出的系統曲線基本重合。

圖2 幅頻特性曲線對比圖

對于系統來說，階躍信號是最具挑戰性的，故選擇單位階躍信號()＝1()作為系統測試輸入，擾動信號選為正弦信號()＝sin()，可得()＝3＋，內模可實現為：

給定快速反射鏡閉環控制系統的設計指標是：超調量小于10%，調節時間小于10ms。通過配置狀態反饋環節的參數將系統的極點配置在復平面希望位置上，結合主導極點的定義，可將系統的預期的主導極點取為1,2＝－440±j448，其他極點為：

3,4＝－2000±j1000，4,5＝－3000±j1500

計算并對參數修正后得狀態反饋環節和鎮定補償器分別為：

＝[1057.9, 0.4552, 16.9829]

c＝[2.2303, 7.3806×106, 1.2892×106]

由于采用改進根軌跡的方法設計不完全微分PID控制系統的參數時，也是以時域性能指標要求為設計出發點，因此選擇以同樣性能指標要求時采用該種方法確定的控制系統作為對照實驗系統。不考慮擾動信號作用時，兩種方法的系統輸出曲線如圖3所示。從圖中可以得到，不完全微分PID控制系統的峰值時間為0.0070s，調節時間為0.0049s，超調量為4.0195%，而組合系統的峰值時間為0.0019s，調節時間為0.0023s，超調量為9.2950%，相較于不完全微分PID控制系統，組合系統的峰值時間下降了72.85%，調節時間下降了53.06%，超調量則上升了131.2%，組合系統的超調量雖有所上升，但仍然滿足性能指標的要求。

圖3 不考慮干擾時兩種控制方法輸出曲線

在系統中施加幅值為1，圓頻率為100rad/s的正弦干擾信號前后不完全微分PID控制系統的輸出曲線如圖4所示。從圖中可以看到，施加擾動作用后系統輸出會在平衡點上下震蕩，影響了控制系統的穩態精度。

加入同樣的擾動后，組合系統的輸出曲線如圖5所示，從圖中可以看出，加入干擾信號作用后組合系統的峰值時間為0.0019s，調節時間為0.0023s，超調量為9.2950%，加入干擾信號前后，組合系統的輸出曲線基本重合，峰值時間、調節時間和超調量等時域性能指標也完全一樣。仿真結果證明了基于狀態反饋的組合系統可以同時實現對輸入的漸進跟蹤和對干擾信號的抑制。

圖4 幅值為1頻率為100rad/s的干擾作用前后不完全微分系統輸出曲線對比

圖5 幅值為1頻率為100rad/s的干擾作用前后組合系統輸出曲線對比

加大干擾信號作用，在系統中施加幅值為10，圓頻率為1000rad/s的正弦干擾信號，加入干擾信號前后，不完全微分PID控制系統的輸出曲線和組合系統的輸出曲線分別如圖6和圖7所示。從圖6中可以看到，加大干擾信號作用后，不完全微分PID控制系統的輸出完全失真；從圖7中可以看到，加大干擾信號作用后，組合系統的峰值時間為0.0019s，調節時間為0.0023s，超調量為9.4326%，可以發現組合系統受干擾信號的影響很小。通過對比圖5和圖7還可以發現組合系統對擾動信號的頻率也具有較低的靈敏度，這是由于在進行組合系統設計過程中用內模抵消了干擾信號的作用，實現了組合系統對擾動的全頻段抑制，與理論期待相符。

圖6 幅值為10頻率為1000rad/s的干擾作用前后不完全微分系統輸出曲線對比

圖7 幅值為10頻率為1000rad/s的干擾作用前后組合系統輸出曲線對比

4 結論

為使得設計的控制系統可以同時實現對輸入信號的漸進跟蹤和對可測干擾信號的抑制，亦不增加控制系統硬件復雜程度，本文從狀態模型的快速建立為出發點，提出一種基于系統辨識的狀態模型建立方法，該方法只需要使用6個參量即可完成狀態模型的建立，大大減少了建模過程中結構參數的使用。基于快速反射鏡的狀態模型，設計了一套組合控制系統，并著重分析了組合系統中內模、狀態反饋和鎮定補償器的設計方法，給出了組合系統中降階觀測器實現方法，分析計算出組合系統狀態方程。對工程上使用的一款快速反射鏡應用了上述組合控制系統，給出了控制系統的具體參數，并進行了仿真驗證，仿真結果表明理論分析的正確性。

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State Model Construction Method for Fast Steering Mirror and Its Control System Design

AI Zhiwei，JI Jianbo，LI Jing，HUANG Shutong

(Guilin University of Aerospace Technology, Guilin 541004, China)

To reduce structural parameters needed in the process of the state space modeling of a fast steering mirror (FSM), a modeling method based on system identification is proposed. Only two structural parameters, namely, coil resistance and inductance, are needed when using this modeling method. Based on the state model, a set of combined control systems consisting of a reduced-order observer, state feedback, an internal model, and a stabilization compensator were designed; the internal model and stabilization compensator were designed by using state feedback. Furthermore, current and angular velocity can be obtained using a reduced-order observer. The combined system can progressively track of input signals and suppress disturbances; the simulation model was built using SIMULINK. The simulation results show that, compared with the incomplete differential proportional integral derivative (PID) control system, the setting time decreases by 53.6% and the overshoot increases by 131.2% without considering the disturbance in the composite system. The dynamic and steady-state performance of the incomplete differential PID control system decreases significantly after adding the disturbance signal, while the composite system is maintained. The simulation results verify the correctness of the theoretical analysis.

fast steering mirror, state model, progressive tracking, disturbance suppression

TP273

A

1001-8891(2020)01-0040-06

2019-07-09；

2019-12-31.

艾志偉（1992-），男，碩士，助教，主要研究方向為光電跟蹤控制。E-mail：aizhiwei752@163.com。

廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2019KY0793）。