條件弱鞅的γ 型概率不等式及強大數定律

馮德成， 楊亞男， 文慧敏

（西北師范大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州730070）

本文用｛Sn，n≥1｝表示定義在概率空間（Ω，A，P）上的隨機變量序列.記

這里F是A的子σ -代數，IA表示集合A 的示性函數，log+x ＝ln（max（x，1））.

定義1［1］設｛Sn，n≥1｝是一隨機變量序列，如果對任意的j ＞i≥1，都有

E｛（Sj-Si）f（S1，S2，…，Si）｝≥0， a.s.，（1）其中f是任意分量不減函數，并且使上述期望有意義，則稱｛Sn，n≥1｝為弱鞅，如果進一步假設f是非負的，那么稱｛Sn，n≥1｝為弱下鞅.

定義2［2］設｛Sn，n≥1｝是一隨機變量序列，如果對任意的j ＞i≥1，都有

其中f是任意分量不減函數，并且使上述條件期望有意義，則稱｛Sn，n≥1｝為條件弱鞅，如果進一步假設f是非負的，那么稱｛Sn，n≥1｝為條件弱下鞅.自Hadjikyriakou［2］提出條件弱鞅和條件弱下鞅的概念以后，很多學者給出了條件弱（下）鞅的一些概率不等式及其應用結果.例如，Christofides 等［3］建立了條件弱鞅的極大值不等式以及相應的強大數定律；Wang［4］等得到了條件弱下鞅的極大值不等式以及非負條件弱鞅的極小值不等式；王星惠［5］討論了條件弱鞅及其函數的一些重要不等式，如極大（小）值不等式，Doob 型不等式，基于cY 函數的條件弱鞅的極大值不等式，以及非負條件弱鞅的最大φ不等式；馮德成等［6］給出了條件弱鞅的一類極小值不等式.

受文獻［7］的啟發，本文利用文獻［4］中的極大值和極小值不等式得到了條件弱鞅的γ 型概率不等式，同時得到了條件弱鞅的一個強大數定律.

1 主要結論及其證明

引理1［8］設X是一非負隨機變量，則有

引理2［4］設｛Sn，n≥1｝是一個條件弱鞅，且g（·）是R 上的不減凸函數，滿足EFg（Si）＜∞a.s.，i≥1，則對任意的F -可測隨機變量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理3［4］設｛Sn，n≥1｝是一個條件弱鞅，且g（·）是R上的不減凸函數，滿足EFg（Si）＜∞，a.s.，i≥1，則對任意的F -可測隨機變量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理4［9］設｛Sn，n≥1｝是一個條件弱下鞅，滿足S0＝0，｛ck，k≥1｝是一列不減的正實數.假設存在一個正常數p ＞1，使得對每個n≥1，都有