Ree 群2G2（q）自同構群階分量刻畫的簡化證明

賈松芳， 陳彥恒， 姜友誼

（重慶三峽學院 數學與統計學院，重慶 萬州404100）

本文涉及的群皆為有限群，單群指的是非交換單群.

設G是一個群，π（G）表示｜G ｜的全部素因子的集合.文獻［1］定義了群G的素圖Γ（G），它是滿足下列條件的簡單圖：

1）V（Γ（G））＝π（G）；

2）2 個頂點p、q在Γ（G）中有邊相連的充要條件是群G中含有pq階元.

記Γ（G）的連通分支的個數為t（G），Γ（G）的第i 個連通分支的頂點集為πi（G），i ＝1，2，…，t（G）.規定如果2 ｜｜G ｜，2∈π1（G）.于是｜G ｜可寫為

其中π（mi）＝πi（G），i ＝1，2，…，t（G）.文獻［2］中把m1，m2，…，mt（G）稱為群G 的階分量，且把群G的階分量的集合記為OC（G），即

文獻［2］在研究Thompson 猜想［3］的過程中提出群的階分量這一概念，并提出了單群的階分量刻畫問題，即通過單群的階分量集合確定該單群.文獻［4］證明了：若單群M 能被其階分量刻畫，則Thompson猜想對M 也成立.因此單群的階分量刻畫問題是Thompson猜想的推廣.

階分量對素圖連通的單群的結構影響有限，但對素圖不連通的單群的結構有著重要影響，散在單群、Suzuki-Ree群等眾多系列單群都可以被它們自身的階分量刻畫（參見文獻［2，5 -20］）.文獻［21］證明了Suzuki-Ree 群的自同構群Aut（2F4（q）），q ＝2f和Aut（2G2（q）），q ＝3f，其中f ＝3s，s 為正整數，可由其階分量刻畫，這是階分量刻畫問題在幾乎單群中成功的嘗試.但并非所有的幾乎單群都能被其階分量刻畫，比如O7（3）、S6（2），它們有相同的階分量集合（見文獻［22］），到底還有哪些幾乎單群可以被其階分量刻畫，還是一個有待繼續研究的課題.但本文需要指出的是：上述階分量刻畫的文獻的證明過程無一例外的都根據單群分類定理，結合給定幾乎單群的階分量，對全部單群一類一類的核查排除，直至剩下目標單群.這個過程無疑是繁瑣的和機械的.如果能夠根據目標單群的自身特征先對單群分類，縮小核查范圍，那么肯定會給證明過程帶來簡化.

本文借助Sylow 2 -子群階數≤8 的單群的分類，證明了Ree群2G2（q）（q ＝33s，s≥1）的自同構群可由階分量刻畫，與文獻［21］的命題3 相比較，證明過程被簡化.

文中其他未做說明的符號和術語都是標準的，可參見文獻［23 -24］.

1 預備知識

為了方便，下面列出4 個結論作為預備引理.

引理1.1［25］設G 是一個偶數階的Frobenius群或2 -Frobenius群，則t（G）＝2.