帶信息干預隨機SIRS 模型流行病的持久性及平穩分布

張園園， 亢 婷

（寧夏大學 新華學院，寧夏 銀川750021）

當流行病在一個地區開始蔓延時，相關部門通常會通過宣傳報道來使人們意識到流行病的存在，人們獲知流行病爆發的消息之后會改變自己的行為來降低感染疾病的可能性. 2013 年，Manfredi等［1］研究了人們的行為改變對流行病傳播過程的影響.2017 年，Kumar 等［2］將“易感人群行為反應項”引入到艙室模型中，于是得到了如下的具有信息干預的SIRS流行病模型：

其中，S、I、R 和Z 分別表示易感人群、感染人群、康復人群和人群中信息的密度.模型中的參數均為非負常數，Λ表示易感者的常數補充率，β 表示接觸率，μ表示自然死亡率，μ1表示人們對信息的反應強度，m 表示由于信息干預使得人們行為的改變率，γ表示感染人群的康復率，ε 表示病死率，δ 表示恢復者免疫喪失率，a表示信息的增長率，b 表示飽和常數，a0表示信息的自然消失率［2］.由于資源、經濟水平和不可避免的自然因素的存在，人們對信息干預的反應不會達到100%，所以信息干預項取為μ1mZ（t）S（t）.

在許多傳染病模型中，傳染病發生率都取為雙線性的，即βSI，表示每一次接觸中被感染的概率相同.然而有研究表明，非線性的發生率比雙線性的更加合理［3-4］.在實際情況中，當感染者人數較多時，發生率會由于對易感者采取保護措施或對感染者進行隔離而降低，而雙線性的感染率不能刻畫出這種變化，所以應當在模型中引入非線性的發生率.受文獻［3］啟發，在本文中使用飽和發生率βSI／（1+αI）.

圖2 左列表示隨機模型（2）中S（t）、I（t）和R（t）在不同噪聲強度下的路徑，右列表示當σ取不同值時I（150）的概率密度函數的直方圖Fig. 2 The left column shows the path of S（t），I（t）and R（t）for SDE model（2）under different noise intensities，the right column displays the histogram of the probability density function of I（150）with different values of σ

5 結論

流行病的爆發給人類的健康和國家的經濟產生了嚴重的影響.本文提出了一個具有信息干預和飽和發生率的隨機SIRS 模型，研究了疾病的持久性和隨機模型解平穩分布的存在性.最后通過數值例子驗證了理論結果.

（定理1 中定義的一個常數）的表達式中可以看出I（t）的下界會隨著μ1的增大而減小，所以信息干預可能會抑制流行病的爆發.

致謝 寧夏大學自然科學基金（ZR16013）給予了本文資助，謹致謝意.