擬非擴張映射分裂公共不動點問題的收斂性定理*

2020-05-25 09:06:52蓉何振華

廣西民族大學學報(自然科學版) 2020年2期

李蓉何振華

(廣西財經學院,a.教務處,b.信息與統計學院,廣西南寧 530003)

0 引言

假設H是實Hilbert空間,其零向量用θ表示,內積和范數分別是〈·,·〉,‖·‖.稱映射T:H→H是非擴張映射,如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,x,y∈H.稱映射T:H→H是擬非擴張映射,如果‖Tx-p‖≤‖x-p‖,x∈H,p∈F(T),F(T)≠?是T的不動點集.

設H1,H2是實Hilbert空間,A:H1→H2是有界線性算子,T1:H1→H1,T2:H2→H2是非線性映射,且F(T1)≠?,F(T2)≠?.分裂公共不動點問題通常指的是這樣的問題:找p∈H1使得T1p=p和T2Ap=Ap(當T1,T2是單值映射),或者p∈T1p和Ap∈T2Ap(當T1,T2是集值映射).

數學上不同空間下的分裂問題首先在文獻[1]中出現,而以色列學者Censor教授在文獻[2]中正式給出了分裂公共不動點問題的定義.分裂不動點問題在圖像恢復中有重要的應用,因而關于此類問題得到眾多學者的關注和研究.當然大部分學者的研究成果更主要側重于基礎研究,并非直接應用到圖像恢復問題的求解中.分裂不動點問題除了在圖像恢復問題中有用之外,對此問題本身的研究也是具有重要意義的,因為求解此類問題用到的不動點算法,可以實現一個算法求解多個問題的目的,這是通常的多項式算法所不具備的.因此,不動點算法除了在方法論上提供一種求解問題近似解的方法,還具有其他算法沒有的優點.

在分裂不動點問題的研究中,法國學者Moudafi教授發表了一系列分裂公共不動點問題的研究成果,引發了大量的后續研究.日本的Takahashi教授、韓國的Yeol Je Cho教授、中國的張石生教授等,都是研究分裂公共不動點問題的著名專家,他們也是研究這類問題的引領者.在文獻[3]中,作者建立如下的迭代算法:

其中β∈(0,1),αn∈(0,1),γ＞0,U和T分別是不同空間中的擬非擴張映射.在合適的條件下,作者證明上述序列{x n}弱收斂到分裂公共不動點p∈Ω,其中

注意到,上述給出的序列{x n}僅僅具有弱收斂性質,為了得到強收斂算法,文獻[4]建立了如下的迭代算法:

其中T1∶H→H和T2:H1→H1分別是不同空間中的擬非擴張映射,H和H1分別是Hilbert空間.在合適的條件下,作者證明上述的投影序列{x n}強收斂到分裂公共不動點p∈Ω,其中Ω={p∈H:T1p=p,T2Ap=Ap}≠?.

前面提到的分裂公共不動點問題,是關于兩個不同空間中的分裂公共不動點問題,這類問題已經得到眾多學者的研究,取得了許多研究成果.他們建立了Man迭代算法、Ishikawa迭代算法、黏性迭代算法、CQ 迭代算法等算法用于求解此類問題的近似解.這些算法中,有些是強收斂的,有些是弱收斂的.空間形式也從Hilbert空間推廣到Banach空間,例如文獻[2-8]及其參考文獻.從目前查閱到的文獻看,考慮比較多的分裂公共不動點問題都是關于兩個不同空間中的分裂公共不動點問題,關于三個或者三個以上不同空間的算子的分裂公共不動點問題,研究成果比較少.本文將考慮三個不同空間的分裂公共不動點問題:

其中,A:H1→H2,B:H2→H是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,算子T1:H1→H1、T2:H2→H2、S:H→H是擬非擴張映射,且Ω={p:T1p=p,T2Ap=Ap,SBAp=BAp}≠?.

在不動點問題的求解中,建立迭代序列使其收斂到算子的不動點是常用的方法.為求解問題(*),本文將建立迭代序列,在合適的條件下,證明其強收斂或者弱收斂到問題(*)的解.

1 預備知識

設H是實Hilbert空間,C是H的閉凸子集.P C表示H到C的投影算子,它具有如下的性質:

(1)z=P C(x)?〈x-z,z-y〉≥0,?y∈C,

(2)‖y-P C(x)‖2+‖x-P C(x)‖2≤‖x-y‖2,?x∈H,y∈C,

(3)〈x-y,P Cx-P Cy〉≥‖P Cx-P Cy‖2,特別‖P Cx-P Cy‖≤‖x-y‖,?x,y∈H,即投影算子是非擴張映射.

引理1 設H是實Hilbert空間,α∈[0,1],則下面結果是眾所周知的:

(i)‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,x+y〉,

(ii)‖x-y‖2=‖x‖2+‖y‖2-2〈x,y〉,

(iii)‖αx+(1-α)y‖2=α‖x‖2+(1-α)‖y‖2-α(1-α)‖x-y‖2.

定義1[3]設C是H的閉凸子集,T:C→C.稱映射T是半閉的,如果對于C中的點列{x n},,且{x n}弱收斂到z,則有Tz=z.

例1[8]設C=[0,1],H =R(實數集),定義T:C→C為

則T是半閉的擬非擴張映射.

例2[8]設C=[0,+∞),H =R(實數集),定義T:C→C為

則T是擬非擴張映射,但不是半閉的.

一個Banach空間(X,‖·‖)被稱為是滿足Opial條件[9]的,如果對于X中任一弱收斂到x∈X的序列{x n}滿足

特別,每一個Hilbert空間都是滿足Opial條件的.

2 主要結果

在這一節中,假設H i的內積和范數分別是的內積取為〈x,y〉3=〈x1,y1〉1+〈x2,y2〉2,其中x=〈x1,x2〉,y=〈y1,y2〉∈H3.

設A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,定義Cx=(Ax,BAx),x∈H,則顯然C也是有界線性算子.

定理1 設A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,S:H→H,T1:H1→H1,T2:H2→H2

是半閉的擬非擴張映射,且Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap,T2BAp=BAp}≠?.

設x1∈H,序列{x n}按照以下方式產生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,其中C*是C的伴隨算子,

證明:(i)先證明{‖x n-p‖}是收斂序列,其中p∈Ω.

因此,

上式說明{‖x n-p‖2}是單調遞減序列,因而極限存在,即{‖x n-p‖}是收斂序列.并且由此可得

(ii)因為{‖x n-p‖}收斂,因此{x n}是有界序列,從而{x n}有弱收斂的子列.假設{x n j}和{x mk}是{x n}的兩個弱收斂子列,分別弱收斂到x*和y*,則必有x*,y*∈Ω.事實上,顯然{u n j}、{u mk}、{Ax n j}、{Ax mk}、{BAx nj}、{BAx mk}分別弱收斂到x*、y*、Ax*、Ay*、BAx*、BAy*,因此根據S,T1,T2是半閉映射以及(5)式和(6)式可知,x*,y*∈Ω.

現在證明x*=y*.如果x*≠y*,則根據Opial條件可知