基于非穩態傳熱模型的高溫作業專用服裝設計概述

胡璠樊 郭靜潔

摘 要 本文基于一維條件下，利用非穩態導熱模型解決在一定熱約束要求的條件下，高溫作業專業服裝未知層的最優厚度。利用非穩態導熱模型，首先通過計算畢渥數得到模型的邊界條件，由顯式差分法導出偏微分方程的解析式，利用超越函數將解析式中的無窮級數化為常數，最后將邊界條件和初值條件代入偏微分方程得出溫度和距離的表達式。

關鍵詞 一維非穩態非周期導熱;偏微分方程;最優厚度

1問題重述

在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由三層織物材料構成，記為I、II、III層，其中I層與外界環境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。為設計專用服裝，將體內溫度控制在37?C的假人放置在實驗室的高溫環境中，測量并記錄假人皮膚外側的溫度[1]。

試解決：當環境溫度為65℃、IV層的厚度為5.5 mm時，確定II層的最優厚度，確保工作60分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47?C，且超過44?C的時間不超過5分鐘。

2模型的建立與求解

2.1 模型的建立

（1）分析與模型的引入

①分析：要求在環境溫度為65℃、IV層的厚度為5.5 mm的條件下，工作60分鐘，假人皮膚外側溫度不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘，求Ⅱ層的最優厚度。分析得出時間、厚度與溫度的關系，我們查閱相關的傳熱理論，引入非穩態導熱公式，建立非穩態導熱模型。用MATLAB畫出超越函數的圖像并求其根來解偏微分方程，進而得出時間、厚度與溫度的不等式解集，在降低研發成本、縮短研發周期的目的下，取不等式解集的最小值即為Ⅱ層的最優厚度。

②模型的引入：通過分析可知，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層的溫度隨時間的推移不斷地升高，且導熱過程中在熱量傳遞方向上不同位置處的導熱量是處處不同的。在經過一定的時間后，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層的溫度之間趨于穩定，最終達到熱平衡，為非周期性非穩態導熱，即瞬態導熱，從而整個高溫作業服裝材料的傳熱模型被簡化為一個一維非穩態四層結構的傳熱模型。

在此，引入畢渥數的概念，它表征固體內部單位導熱面積上導熱熱阻與單位面積上換熱熱阻之比：

（）。其中，為表面傳熱系數，λ為固體導熱系數，為特征長度，即厚度。由于本題設計服裝的目的是在高溫環境下實現隔熱，故表面對流換熱熱阻幾乎可以忽略，即，故。

物體內部溫度變化比較大，而環境與物體邊界幾乎無溫差，此時可認為。那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度[2]。

（2）模型公式的推導

由于，故該非穩態導熱模型可看作無限大平壁，進而建立一維無限大平壁非穩態導熱模型。一維非穩態熱傳導的方程為：

式中，為材料密度，為材料比熱容，為材料熱傳導率，為材料溫度，為防護服內部初始溫度，為時間，初始條件為。

引入變量過余溫度，令，利用顯式差分計算方法，對偏微分方程分離變量并簡化式子得：

此導熱模型溫度隨時間的變化而上升，經分析可得溫度超過44℃在最后五分鐘內，即，且假人皮膚外側溫度不超過47℃，即。

利用以上所列式子，且已知Ⅳ的厚度與假人半徑，故可求得的溫度解集，同理推得的溫度解集。令的溫度解集為，第II層厚度未知為第I層厚度已知為，且第I層的溫度也已知，可解得的取值范圍為，且，且題目要求降低研發成本、縮短研發周期，故取兩個不等式并集的最小值即為最優解。

2.2 模型的求解

首先我們利用MATLAB畫出超越方程所對應的函數的圖像

圖像只給出了的部分，但由兩函數的特點可知它們有無數個交點，但對于傳熱平板而言，當時，累加系數趨于0。故定若，只取第一項。將每一層進行計算，得出其的數值均大于0.2，所以各層只取第一項進行計算[3]。

根據圖可知各層的第一項即為兩函數圖像在第一象限中的第一個交點;與的值介于1與2之間;的值大于6;的值介于3與4之間。經過計算，得出

3模型的優缺點與改進

3.1 模型的優點

（1）利用MATLAB求解溫度分布的數值，使計算簡便快捷。

（2）引入非穩態傳熱模型，并有效利用偏微分方程解決問題。

（3）以多層筒壁熱傳導模型垂直截面作為目標，避免隨時間推移傳熱面積改變造成復雜情況。

（4）引入了過余溫度的概念，將四個不同層的偏微分方程聯系在一起。

3.2 模型的缺點

（1）IV層為空氣層，建立多層筒壁模型時未考慮該層的熱對流，而用熱傳導代替，會使結果有一定誤差。

（2）未考慮各層界面上熱量的損失。

3.3 模型的改進

建立了防熱材料的一維非穩態傳熱模型，提出了一體化多層熱防護材料服裝設計的優化方法，為多層熱防護材料服裝的優化設計提供了有效工具[4]。

參考文獻

[1] 陳立明，戴政，谷宇，等.輕質多層熱防護結構的一體化優化設計研究[J].力學學報，2011，（2）：43-49.

[2] 徐建良，湯炳書.一維熱傳導方程的數值解[J].淮陰師范學院報，2004，（3）：40-44.

[3] 李昂，王岳，陶然.傅里葉熱傳導和牛頓冷卻定律在流體熱血研究中的數學模型應用[J].工業技術創新，2016，（3）：498-502.

[4] 盧琳珍.多層熱防護服裝的熱傳遞模型及參數最優決定[D].杭州：浙江理工大學，2018.