一些正弦函數級數的斂散性

杜先云，任秋道

(1.成都信息工程大學應用數學學院，四川成都 610225；2.綿陽師范學院數學與物理學院，四川綿陽 621000)

1 引入

目前《高等數學》[1]與《數學分析》[2]教材中，對任意項級數收斂的內容涉及少，而大量級數的斂散需要確定.我們通過數列收斂方法來判定級數收斂.從新的角度去認識收斂數列的漸進性：當n無限增大時，可以認為收斂數列{yn}相鄰兩項的差所構成的數列{yn-yn-1}(n>2)，無限接近一個公差為0的等差數列，從而給出了利用yn-yn-1趨于0來判斷數列收斂的方法[3].這說明了收斂數列各項變化的微小性.本文給出了任意項級數收斂的一個判定理，討論了一些正弦級數的斂散性.

2 任意項級數收斂的判定

引理[1]設{yn}為一個有界數列.?ε>0，?N∈Z+，當n>N時，不等式

|yn-yn-1|<ε

恒成立，則數列{yn}收斂.

一個收斂級數任意加括號后所成級數仍然收斂，其逆命題不成立[2，3].但是有下面的定理：

(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank)+…,

M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,…}<.

|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|

|t|+2.

從而該級數有界.利用引理的推論可得結論.證畢.

注該定理推廣了交錯級數收斂的萊布尼茲定理.

3 正弦函數級數的斂散性

在[1]中，可獲得：

(1)如果0<α1，a≠2kπ，k∈Z，則級數和收斂.

(2) 設有界函數f(n)滿足f(n)≥0(f(n)0).如果0<α1，則級數收斂，當(a-2kπ)2+(b-2lπ)2>0,k,l∈Z時，也收斂.

證明當s=0時，結論顯然成立.當s>0時，設m∈N.根據二項式定理可得，

(4m±1)2s=(4m)2s±C12s(4m)2s-1+C22s(4m)2s-2±…±4mC2s-12s+1.

從而設(4m+1)2s?4tm+1，(4m-1)2s?4tm′+1，其中tm,tm′∈N.由此可得，該級數部分和

由此可得，Sn→(n→).根據級數發散的定義，該級數發散.證畢.

推論2設ki∈N,i=0,1,…,t，C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,t},D={aj|aj=2rj+1∈C,rj∈Z}.

證明設m∈N.可知，設(4m+1)2s+1?4tm+1，(4m-1)2s+1?4tm′-1，其中tm,tm′∈N.由此可得，

定理4設C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z}，

E={a2j+1|a2j+1=2r2j+1+1∈C,r2j+1∈Z}.如果|D|=2p+1，|E|=2q,p,q∈Z,則級數

證明根據定理3、4的證明知道，當m∈N時，有

(4m+1)i=4um(i)+1,其中um(i)∈N,i=1,2,…,k；對于k=2s,s∈N時，

(4m-1)2j-1=4vm(2j-1)-1,(4m-1)2j=4vm(2j)+1,其中vm(2j-1),vm(2j)∈N,j=1,2,…,s.為了方便，設f(n)=a0n2s+a1n2s-1+…+a2s，A=a0+a2+…+a2s，B=a1+a3+…+a2s-1.因此，

f(4m+1)=[(a2s+a2s-2n2+…+a0n2s)+(a2s-1n+a2s-3n3+…+a1n2s-1)]|4m+1

=4[a2sum(0)+a2s-2um(2)+…+a0um(2s)+a2s-1u(1)+a2s-3u(3)+…

+a1u(2s-1)]+(a0+a2+…+a2s)+(a1+a3+…+a2s-1)?4r+A+B.

根據已知條件，(i)A=4p′+1,，B=4q′,p′,q′∈Z，可得f(4m+1)=4w+1,w∈Z.

同理f(4m+3)=4r′+A-B=4w′+1,w′∈Z.可得該級數部分和

由此可得，Sn→(n→).該級數發散.對于(ii)A=4p′+1，B=4q′+2,p′,q′∈Z；(iii)A=4p′+3，

B=4q′,p′,q′∈Z；(iv)A=4p′+3，B=4q′+2,p′,q′∈Z.該級數均發散.對其它情況，類似方法可得該級數收斂.對于k=2s+1,s∈N時，類似可得結論.證畢.

推論設C={ai|ai∈Z,i=0,1,…,k},D={a2j|a2j=2r2j+1∈C,r2j∈Z}，