幾類新的集值壓縮映射的FG-耦合不動點

楊紅珍

(西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009)

0 引言

設X是任一非空集合，本文考慮(q1,q2)-擬度量空間(X,dX)，(q1,q2)-廣義三角不等式為

dX(x,z)q1dX(x,y)+q2dX(y,z),q1,q2>0,?x,y,z∈X.

(1)

在[1-3]等文獻中有(q1,q2)-擬度量空間的概念及性質介紹.當q1=q2=1時，(q1,q2)-廣義三角不等式轉化為普通三角不等式，若dX還滿足恒等性和對稱性，則稱(X,dX)為度量空間.2010年，Ioffe[4]研究了度量空間中耦合不動點的存在性，即存在點(ξ,η)∈X×Y，集值映射F:X→Y，G:Y→X，若η∈F(ξ)，ξ∈G(η)，則稱點(ξ,η)是F和G的耦合不動點.之后，Ioffe[5,6]繼續研究了度量空間中集值映射耦合不動點的存在性.2015年，Arutyunov，Avakov和Zhukovskiy[7]給出了度量空間中兩個集值映射耦合不動點存在的充分條件.注意到，若ξ是F°G的不動點，η是G°F的不動點，則(ξ,η)是F和G的耦合不動點.定義F-1:Y→X是集值映射F:X→Y的逆映射，其中F-1(y):={x∈X:y∈F(x)}.當映射F(或G)的逆存在時，若G=F-1(或F=G-1)，則耦合不動點可以轉化為不動點.由耦合不動點的定義知，當映射F(或G)的逆存在時，若η∈F(ξ)，ξ∈G(η)，則ξ∈F-1(η)∩G(η)(或η∈F(ξ)∩G-1(ξ))，即耦合不動點轉化為重合點.2017年，劉麗亞和谷峰[8]研究了耦合重合點和耦合公共不動點，其中單值映射滿足平方型壓縮條件.最近，在錐度量空間和偏序度量空間中[9-11]，單值映射滿足適當的壓縮條件，存在唯一的FG-耦合不動點.鑒于以上結果，本文對文獻[8-11]的壓縮條件進行了推廣，在(q1,q2)-擬度量空間中，集值映射滿足幾類新的壓縮條件，證明了FG-耦合不動點的存在性.

1 預備知識

本文所需的符號說明及定義：設Ν是正實數集，R+是非負實數集，R++是正實數集，X是任一非空集合.稱函數dX:X×X→R+是X上的度量，若對任意x,y,z∈X下列條件成立：

(i)dX(x,y)=0?x=y，(恒等性)；

(ii)dX(x,y)=dX(y,x)，(對稱性)；

(iii)dX(x,z)dX(x,y)+dX(y,z)，(三角不等式)，

稱dX為X上的度量，(X,dX)為度量空間.

定義1[3]設X是任一非空集合且q1,q2∈R++.若(1)式成立且函數dX:X×X→R+滿足恒等性條件，則稱dX是(q1,q2)-擬度量，(X,dX)是(q1,q2)-擬度量空間.

注1當q1=q2≥1時，稱(X,dX)是擬度量空間.當q1=q2=1時，稱(X,dX)是度量空間.在文獻[12,13]中，f-三角不等式為dX(x,z)f(dX(x,y),dX(y,z)), ?x,y,z∈X，其中f:R+×R+→R+滿足當(r1,r2)→(0,0)時，有f(r1,r2)→0.當f(r1,r2)=q1r1+q2r2時，f-擬度量空間是(q1,q2)-擬度量空間.

定義2[3]設(X,dX)是(q1,q2)-擬度量空間，{xn}n∈Ν是X的序列，若對任意的ε∈R++，存在Ν=Νε，使得對任意的m>n>Νε有dX(xn,xm)<ε，則稱{xn}n∈Ν是柯西列(或基本列).若(q1,q2)-擬度量空間的每一個柯西列都收斂于X中點，則稱(X,dX)是完備的(q1,q2)-擬度量空間.

給定任意集合A,B?X，定義H(A,B):=max{ed(A,B),ed(B,A)}，ed(A,B):=sup{Dd(a,B),a∈A}，Dd(a,B):=inf{dX(a,b),b∈B}.稱H是由(q1,q2)-擬度量dX誘導的Hausdorff度量.特別地，對任意點x∈X和集合B?X，定義ed(Φ,B):=0和Dd(x,Φ):=+.

定義3設(X,dX)是度量空間，F:X×X→X是集值映射，若存在(x,y)∈X×X， 使得x∈F(x,y)，

y∈F(y,x)，則稱(x,y)為F的耦合不動點.

定義4設(X,dX)和(Y,dY)是兩個度量空間，F:X×Y→X和G:Y×X→Y是兩個集值映射，若存在(x,y)∈X×Y，使得x∈F(x,y)，y∈G(y,x)，則稱(x,y)為FG-耦合不動點.

2 主要部分

定理1設(X,dX)和(Y,dY)分別是完備的(q1,q2)-擬度量空間和(ρ1,ρ2)-擬度量空間，其中

q1,q2,ρ1,ρ2≥1.F:X×Y→X和G:Y×X→Y是兩個集值映射，對任意(x,y),(u,v)∈X×Y，滿足下列壓縮條件：

edX(F(x,y),F(u,v))kdX(x,u)+l1DdX(x,F(x,y))+l2DdX(u,F(u,v))+l3DdX(x,F(u,v))+l4DdX(u,F(x,y))，(2)

edY(G(y,x),G(v,u))

證明任取(x0,y0)∈X×Y，滿足存在xn+1∈F(xn,yn)，yn+1∈G(yn,xn)，n∈Ν使得

dX(xn,xn+1)=DdX(xn,F(xn,yn)) ,dY(yn,yn+1)=DdY(yn,G(yn,xn)).

(3)

由xn∈F(xn-1,yn-1)，xn+1∈F(xn,yn)和壓縮條件(2)可得，

將(3)代入上式，化簡得到，

dX(xn,xn+1)kdX(xn-1,xn)+l1dX(xn-1,xn)+l2dX(xn,xn+1)+l3dX(xn-1,xn+1).

(4)

由1-l2q2-l3q2>0知1-l2>0.由(1)和(4)可得，dX(xn,xn+1)MdX(xn-1,xn)…MndX(x0,x1)，其中

dX(x,s)q1dX(x,xn)+q2dX(xn,s),?s∈F(x,y).

(5)

上式兩邊同時取下確界，再由xn∈F(xn-1,yn-1)和壓縮條件(2)得，

對上式取極限可得，(1-l1q2-l3q2)·DdX(x,F(x,y))0.因為1-l1q2-l3q2>0，所以DdX(x,F(x,y))=0，即x∈F(x,y).同理可得y∈G(y,x).

注2若(q1,q2)-擬度量空間是錐度量空間，F、G是單值映射，k=0,l1=l2,l3=l4，定理1退化為文獻[11]中的定理1；若(q1,q2)-擬度量空間是錐度量空間，F、G是單值映射，l1=l2,l3=l4，定理1退化為文獻[11]中的定理2.

定理2設(X,dX)和(Y,dY)分別是完備的(q1,q2)-擬度量空間和(ρ1,ρ2)-擬度量空間，其中

q1,q2,ρ1,ρ2≥1.令pi=max{qi,ρi},i=1,2.F:X×Y→X和G:Y×X→Y是兩個集值映射，對任意

(x,y),(u,v)∈X×Y，滿足下列壓縮條件：

edX(F(x,y),F(u,v))k1dX(x,u)+k2dY(y,v)+l1DdX(x,F(x,y))+l2DdX(u,F(u,v))+l3DdX(x,F(u,v))+l4DdX(u,F(x,y))，

(6)

p2M∈[0,1)，其中

證明任取(x0,y0)∈X×Y，滿足存在xn+1∈F(xn,yn)，yn+1∈G(yn,xn)，n∈Ν使得(3)成立.由定理1和壓縮條件(6)可得，

同定理1, 可得

dX(xn,xn+1)M1dX(xn-1,xn)+T1dY(yn-1,yn)，

(7)

dY(yn,yn+1)M2dY(yn-1,yn)+T2dX(xn-1,xn).

(8)

將(7)和(8)相加可得

dX(xn,xn+1)+dY(yn,yn+1)(M1+T2)dX(xn-1,xn)+(M2+T1)dY(yn-1,yn)Mn(dX(x0,x1)+dY(y0,y1)).

因為p2M∈[0,1)，所以M∈[0,1).任意n∈Ν，當m>n>Ν時，由(1)知

對上式取極限得DdX(x,F(x,y))=0，即x∈F(x,y).同理，y∈G(y,x).

注3當k2=k3=0時，定理2退化為定理1.

定理3設(X,dX)和(Y,dY)分別是完備的(q1,q2)-擬度量空間和(ρ1,ρ2)-擬度量空間，其中

q1,q2,ρ1,ρ2≥1.F:X×Y→X和G:Y×X→Y是兩個集值映射，對任意(x,y),(u,v)∈X×Y，滿足下列壓縮條件：

證明任取(x0,y0)∈X×Y，滿足存在xn+1∈F(xn,yn)，yn+1∈G(yn,xn)，n∈Ν使得(3)成立.因為

(11)

將(3)代入(11)式后移項化簡得，dX2(xn,xn+1)MdX2(xn-1,xn)…MndX2(x0,x1)，其中任意n∈Ν，當m>n>Ν時，

當n→時，上式右邊極限為0，即DdX(x,F(x,y))=0，故x∈F(x,y).同理可得y∈G(y,x).

注4若(q1,q2)-擬度量空間是2-距離空間，F、G是單值映射且F=G，X=Y，(9)和(10)相加的結果與[8]中壓縮類型類似.

3 結語

不動點理論是非線性泛函分析的重要組成部分.本文在完備的(q1,q2)-擬度量空間中，首先，對文獻[11]中的壓縮條件進行了擴展，介紹了兩類新的集值壓縮映射，這兩類映射存在FG-耦合不動點定理.接著，對文獻[8]中的壓縮條件進行了推廣，得到一類新的平方型壓縮映射，并存在FG-耦合不動點定理.