動能定理在物理問題教學中的應用
——以空氣阻力上拋運動為例

劉萬海，王 翔

(1.綿陽師范學院數理學院，四川綿陽 621006；2 .蘭州城市學院，甘肅蘭州 741000)

0 引言

學生在物理課程的學習中，對物理規律的理解、掌握和應用是非常重要的教學內容和任務.空氣阻力[1-6]的上拋運動問題在中學物理中主要作為中學教師的自我提升，對中學生沒有作過多要求，而且初入大學的學生由于在高中階段幾乎沒有深入學習微積分知識，因此大學生對物理規律進行深入的理解、掌握和應用有一定的困難.本文響應目前教育部倡導的高校“金課”建設的要求，并且針對大學生的以上學習困難，利用大學生掌握的基本微積分知識，在大學物理教學中積極引導學生討論與實際生活緊密相關的物理問題，以培養學生對物理規律更好地理解、掌握和應用.

1 問題描述

在考慮空氣阻力的情況下，物體從拋出點上升到最高點時所用時間(上升時間)t上和該物體從最高點落回到原位時所用時間(落回時間)t下的大小關系，以及上升(落回)距離H上(H下=H上)與上拋(落回)速率v上(v下)之間的關系.

我們知道，不考慮空氣阻力時的上拋運動是中學物理教學過程中的教學重點內容之一.在不考慮空氣阻力的情況下，做豎直上拋運動的物體到達最高點之后開始下落直到拋出點為止.關于其上升和下降階段所用時間之間的關系等問題，可以從不同的角度進行討論.從運動學知識可知，上拋階段可視為勻減速直線運動，而下落階段視為勻加速直線運動.兩個階段物體的加速度方向均為向下，大小相等，即重力加速度. 因此，上升階段物體運動的距離以及所用時間和下落階段物體運動的距離及所用時間分別相同.在相同加速度的情況下，進而可以得知拋出速度的大小和落回原處時的速度大小也相同.從機械能的角度來說，只在重力作用下的運動物體而言，其機械能守恒.也就是說，運動物體經過上拋運動之后又回到原處時，其重力勢能沒有變化.因此，其動能一定保持不變，從而得出落回原處時速度大小和拋出時的速度大小相同.從動量定理來看，上升階段和下降階段物體動量的變化量大小相同，從而重力的沖量大小也相同.因此，兩階段物體所用時間相同.總之，對于不考慮空氣阻力時的拋體運動，我們可以運用的研究途徑很多.

然而，現實生活中的運動物體難免要受到空氣阻力的作用.空氣阻力的存在，給我們研究拋體運動帶來了不小的挑戰.空氣阻力不像重力那樣總保持豎直向下，而總是和物體運動方向相反.同時，空氣對運動物體阻力的大小也不像重力那樣只與物體的質量有關，而是跟運動物體的形狀、體積大小和運動快慢有關.其中，物體的形狀因其外形的不同而千變萬化，目前為止還無法對物體的形狀給予定量描述.為此，空氣阻力和運動物體之間的定量關系很難確定.空氣阻力，指空氣對運動物體的阻礙力，是運動物體受到空氣的彈力而產生的.物體在運行時，由于前面的空氣被壓縮，兩側表面與空氣的摩擦，以及尾部后面的空間成為部分真空，這些作用共同所引起的阻礙作用.在逆風運行時，還要把風力附加在內.在現實生活中，自由落體也受空氣阻力的影響，其速度、接觸面積和空氣密度等都會影響空氣阻力的大小.通常，我們通過實驗的方法，對特定形狀的運動物體在一定情況下所受的空氣阻力的大小進行研究.在理論研究中，我們通常采用一定的物理模型來處理空氣阻力的存在.

已有文獻[7]對考慮空氣阻力的上拋運動，運用牛頓第二定律和泰勒公式展開法進行了詳細討論，給出了上升時間小于落回時間的結論.本文從動能定理出發，對該問題進行了較為深入的討論，本著通過一題多解、舉一反三和觸類旁通的方式對動能定理更加深入地理解，使學生達到熟練掌握和應用的目的.

2 動能定理應用分析

以下對該問題首先進行定性分析，然后進行定量計算與討論.

2.1 定性分析

(1)

(2)

考慮關系式(1)，容易得出

t上

(3)

說明在空氣阻力作用下，上升時間t上小于落回時間t下.

2.1.2 用動能定理討論上拋速率和落回速率之間的大小關系 根據動能定理：

(4)

將初、末位置選在拋出點、落回點(兩點重合)，上式(4)變為

(5)

v上>v下，

(6)

說明在空氣阻力作用下，上拋速率v上大于落回速率v下.

2.2 定量計算

在空氣阻力作用下，物體在上升階段所受合力為mg+f上，與運動方向相反做減速運動，下降階段所受合力為mg-f下，與運動方向相同做加速運動.為了研究方便，將上升階段等價為從最高點到拋出點之間的加速運動.這樣，我們只需要研究從最高點到下落距離H的兩種加速運動.這兩種運動中物體所受合力為F=mg+bf，其中b=1和-1分別對應上升和下降過程.因此，對于初速度為0，下落H時速率為V的運動過程，依據動能定理，有

(7)

其中重力mg為常量，對其積分后得到

(8)

(9)

這樣，當空氣阻力的表達形式已知時，關于拋出點速率的關系式就得到了.為了討論方便，我們取空氣阻力的表達式為f=βvα，其中α可取0和1.當α=0時，β=f0，空氣阻力為恒力的情況；當α=1時，β=k(常系數)，空氣阻力與速度成正比的情況.下面分別進行討論.

2.3 討論

(1)α=0時，上式(9)積分后得到

(10)

從而得到

(11)

(12)

(2)α=1時，將其帶入積分式(9)后，得到

(13)

δ=bξ-ln(1+bξ).

(14)

因此，我們可以得到上升(取參數b=1)和下降(b=-1)階段距離隨速度的變化關系分別為

δ上=ξ上-ln(1+ξ上),

(15)

δ下=-ξ下-ln(1-ξ下).

(16)

我們將無量綱距離隨無量綱速率的變化關系作圖1.

圖1 無量綱距離隨無量綱速率的變化關系Fig.1 The Relationship between Dimensionless Distance and Dimensionless Rate

圖1中虛線表示加速下降階段落回距離隨落回速率之間的變化關系，實線也表示加速運動過程中距離和速率之間的關系，但其對應的是減速上升階段，即該曲線表示的是上升距離和上拋速率之間的關系.從圖1中曲線可以看出：在考慮正比于運動速率的空氣阻力時，無論在上拋階段，還是在下降階段，上拋速率或落回速率越大，物體的上升距離或落回距離越大.如取相同的上拋或落回速率ξ=0.4時，上升距離不超過0.075，而下降距離超過了0.10，其差別較大.在上升距離(落回距離)一定時，我們看到上拋速率大于落回原位時的速率：如δ≈0.11時，上拋速率超過了0.5，而落回速率僅為0.4，其差別較大.

通過上述討論可知，在考慮空氣阻力的情況下，利用勻變速直線運動規律定性得出了上升時間小于落回時間的結論。利用動能定理定性判定了上拋速率大于落回速率，進而通過定量計算，證明了定性分析所得結果的正確性，同時給出了上升距離(落回距離)和上拋速率(落回速率)之間的定量關系式.總之，空氣阻力對上拋運動有很大的影響.當然，當物體的運動速度較大時，空氣阻力和速率的關系較為復雜，這里不做介紹.

3 結語

本文在考慮空氣阻力的情況下，應用勻變速直線運動的相關規律和動能定理對上拋運動進行了定性和定理分析，很好地體現了物理規律在實際物理問題教學中的應用.其實，由于空氣阻力的存在，我們日常生活中遇到的很多物理現象，如平拋運動、斜拋運動、上拋運動、彈簧諧振運動和單擺的擺動等，都可以借助相應的物理規律進行深入研究.而且，目前的很多軟件，如數學軟件Mathematica、Maple、Matlab，繪圖軟件Tecplot、Origin等，能為我們進行科學研究提供很好的輔助作用，起到事半功倍的效果.討論這類實際問題，可以加深我們對物理規律的理解和掌握，同時，也可以更好地研究實際生活中的物理現象，解決真實情景下的物理問題.因此，在大學物理教學中，物理教師要多提出類似的物理問題，鼓勵學生積極參與討論和研究，從而提高學生分析問題和解決問題的能力.