隱形的圓

康葉紅

圓是平面幾何中的基本圖形之一。它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學習其他數學知識的重要基礎。有些數學問題看似與圓無關，但如果我們根據題目中的已知條件，巧妙地構造輔助圓，再利用圓的有關性質建立起已知條件與結論之間的聯系，往往能起到化隱為顯、化難為易、化繁為簡的解題效果。現選取中考試題中一些“隱圓”問題加以剖析，與同學們一同感受圓的魅力。

例1 （2018·江蘇南京節選）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=2∠BAD。O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD。求證：∠BOD=∠C。

【總結】當題目中出現有相同公共端點的三條相等線段，可根據圓的定義，構造輔助圓。

例2 （2016·江蘇淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點。將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是。

【解析】本題考查與三角形有關的折疊的計算，掌握折疊的性質，找到點P到邊AB距離最小的位置是解題的關鍵。如圖3，當點E在邊BC上運動時，PF的長固定不變，即PF=CF=2。所以，點P在以點F為圓心，以2為半徑的⊙F上運動。過點F作FH⊥AB交⊙F于點P，垂足是點H。此時PH最小，則△AFH∽△ABC，所以[FHBC]=[FAAB]。由已知得AF=4，AB=[AC2+BC2]=10。所以[FH8]=[410]，FH=[165]。所以，點P到邊AB距離的最小值是PH=FH-FP=[165]-2=[65]。

【總結】當題目中出現一條定線段和定角時，如圖6（定線段AB和定角∠APB），可以定線段為弦，定角為圓周角構造輔助圓。特殊地，當定角∠P=90°時，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，則定線段就是圓的直徑。

（作者單位：江蘇省南京市致遠初級中學）