“分數（百分數）”問題與“比（比例）”問題的對比

彭盛梅

“分數（百分數）”問題和“比（比例）”問題，是小學階段“數與代數”領域解決問題的最后兩座高峰，也是部分學生望而卻步的難題之一。其實，這兩類問題外部形態雖然不同，但其本質卻同根同源。把“分數（百分數）”問題和“比（比例）”問題聯系起來學習，會對這兩類問題的理解更加深刻，提高學習效率。

一、問題的本質

要把分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題進行有聯系的學習，首先要弄清楚它們的數學本質。

1.它們都是從“量”的刻畫到“率”的刻畫的演進。在客觀世界中，用“量”刻畫事物的結果，是具體的、一定的，它描述的是事物的絕對狀況;而用“率”刻畫事物的結果，是模糊的、變化的，它描述的是事物的相對狀況。既然用“量”可以反映事物的絕對狀況，何必再用“率”來描述一個相對狀況呢？舉個簡單的例子就明白了：一次動物園的意外火災中，小浣熊和大象都被燒傷了，小浣熊的皮膚燒傷面積為3.6平方分米，大象的皮膚燒傷面積為9平方分米。兩周以后，大象康復了，小浣熊卻因為嚴重燒傷而死亡。如果單從“量”的角度來考慮，就會給人大象的燒傷狀況更嚴重的錯覺;而從“率”的角度來考慮，就非常容易理解——大象皮膚的燒傷面積占皮膚總面積不足1%，而小浣熊皮膚的燒傷面積卻占到了皮膚總面積的20%以上。所以，小浣熊的燒傷程度更嚴重。因此，“分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題安排在小學六年級，就是幫助學生實現從“量”的刻畫到“率”的刻畫的思維發展。

2.它們都是基于“標準數量”的“倍比”應用。在“分數（百分數）”問題中，“分率”的本質是兩個數量之間基于某個共同的標準數量而互相比較的對比結果。如，蘋果有6千克，梨有4千克，把每2千克看作一份，蘋果有這樣的3份，梨有這樣的2份，我們就可以表述為：梨是蘋果的，或者蘋果是梨的。可見，在有關“分率”的兩個量的比較中，是以它們的最大公因數作為一份來進行重新計數，然后按照份數來進行比較從而得到“分率”的。“比（比例）”問題也同樣如此，它也是表示兩個數量之間的倍比關系，但是它更加簡潔，它是直接以自然數“1”作為計數標準，并且份數允許存在小數。由此看來，“分率”和“比”的本質根源是相同的。

3.“比”更兼具“量”“率”同存的雙重身份。如，在配置一種藥水的過程中，藥與水的比是1∶90，這里的“1”和“90”，既可以看作具體的量，也可以看作一個抽象的份數。從某種程度上可以說，“比”是“率”的升級版表現形式，表達更為簡潔。

二、二者的區別

縱如上文所言，“率”與“比”同根同源、本質相同，但也不能完全把它們混為一談。它們之間還是有顯著的差別：

1.“率”更側重于“數”的概念應用。在“分數（百分數）”問題中，“分率”始終是作為一個“數”而存在的，它的具體含義非常類似于整數的“倍”。于是，學生在學習這類問題的時候，才有了“求一個數的幾分之幾是多少？”與“求一個數的幾倍是多少？”相類似的自我構建思維過程。它需要先確定誰是單位“1”的量，相當于“倍數”問題中，需要先確定誰是“一倍數”。

2.“比”更側重于數量之間的關系應用。它不需要確定以誰為“標準”，只要兩種量在不同具體情況中的比較具有相似性，就可以利用這種關系來解決實際問題。如，用3千克甘蔗可以榨出1.8千克糖，照這樣計算，4.5噸甘蔗可以榨出多少噸糖？我們不需要確定以誰為“標準”——也就是甘蔗的量和糖的量中，不存在主從關系，甚至不需要統一單位就能解決問題。解：設可以榨出噸（千克）糖1.8∶3=x∶4.5、3∶1.8=4.5∶x、1.8∶3=x∶4500（4.5噸=4500千克）都可以解決實際問題。

三、二者的相通之處

“分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題盡管外在形態各異，本質卻相同。因此，在實際運用中把這兩類問題聯系起來學習，就能收到事半功倍之效。

1.兩類問題的互相轉換。既然“分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題本質相同，就可以在解決實際問題當中互相轉換，一題多解。

如，清河鄉今年植樹400棵，比去年多植。去年植樹多少棵？

分數解法：400÷（1+）=320（棵）。

比例解法：由題目可知，今年與去年植樹的棵數比為5∶4。

解：設去年植樹x棵。

400∶x=5∶4，解得x=320。

或x∶400=4∶5，解得x=320。

受到比例解法中不需要確定誰為“標準”的啟發，其實分數解法中也可以任意切換單位“1”。如果把今年的植樹棵數看作單位“1”，題目也可以轉換為“去年比今年少植”。

解為：400×（1-）=320（棵）。

2.兩種解法的恰當選擇。從上面的例子可以看出，“分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題的解法是相通的，可以互相轉換。所以，在遇到具體問題的時候，教師可以隨機應變，恰當選擇解題的方法，提高解題效率。如，山羊和綿羊共有210只，其中山羊的只數是綿羊的，山羊和綿羊各有多少只？

分數解法一：把綿羊只數看作單位“1”。

解：設綿羊有x只。x+x=210，解得x=120，210-120=90（只）。

分數解法二：把山羊只數看作單位“1”。

解：設山羊有x只。x+x=210，解得x=90，210-90=120（只）。

分數解法三：把總只數看作單位“1”。

4+3=7，山羊：210×=90（只），綿羊：210×=120（只）。

比例解法：由題意可知山羊與綿羊的數量比為3∶4。

比例解法一：

解：設綿羊有x只。3∶4=（210-x）∶x，解得：x=120，210-120 =90（只）。

比例解法二：

解：設山羊有x只。3∶4=x∶（210-x），解得：x=90，210-90 =120（只）。

比例解法三：

解：設綿羊有x只。4∶（3+4）=x∶210，解得：x=120，210-120 =90（只）。

比例解法四：

解：設山羊有x只。3∶（3+4）=x∶210，解得：x=90，210-90 =120（只）。

綜上所述，“分數（百分數）”和“比（比例）”這兩類問題形態各異，但本質相通。在解答具體問題的時候，可以進行互相轉換。把兩類問題聯系起來一起學習，不但能提高效率，而且能幫助學生加深對這兩類問題的理解、溝通，提高學生的思維品質。