基于數學素養理解的初中教學思考

■錢德春

《普通高中數學課程標準》（2017年版）（以下簡稱《高中課標2017年版》）將數學核心素養具體化為“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”六個方面。核心素養下的高中數學課程標準實施，必將對初中數學教學產生深遠的影響。那么，如何理解數學素養？初中學生的數學素養如何培養和提升？本文談談基于數學素養理解的初中教學的思考。

一、對初中數學素養的理解

數學素養的六大板塊不是獨立存在的，而是相互聯系的有機整體；數學素養的培養應以知識教學為基礎與載體；數學顯性的素養是六個方面，隱性的素養是數學情感、態度和精神。

1.數學素養是相互聯系的有機整體。

《高中課標2017年版》指出：“數學學科核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體”，它們之間的關系可用圖1表示。

（1）“直觀想象”的前提是認知與經驗，指向“數學建模”與“邏輯推理”。

史寧中先生說，“數學根本上是看出來的”。“看出來”是基于數學知識、方法的經驗積累。如，“某游戲規定：贏一次得4分，輸一次扣2分。小明連續玩了30次這種游戲，能否得到100分？”有人一看就知道“不能”，這是為什么呢？因為無論輸贏次數如何，玩30次的得分是3的倍數，但100不能被3整除。我們還可以建立方程模型通過計算推理進行判斷。設贏x次，則輸(30-x)次，有4x-2（30-x）=100，解得不是整數，故連續玩30次這種游戲不可能得到100分。顯然，能“看出來”是掌握簡單數論知識前提下邏輯推理的結果。“看”的過程是在大腦中迅速進行“經驗調取”“經驗選擇”“經驗（或問題）化歸”和“邏輯推理（包括運算）”的過程。

（2）“數學運算”與“邏輯推理”“數學建模”唇齒相依。

“演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。”《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出“數學運算”是根據數學公式、運算法則、運算律進行的數與式的變形，所以“數學運算”就是一種邏輯推理；數學運算所依賴的公式、法則具有獨特性、簡約性和普遍性，本質上就屬于數學模型；許多問題的解決要經歷“建立、選擇模型→驗證、調整模型→運算、推理解決”的過程。以炮彈射程最遠問題為例。飛行瞬時高度y和水平距離x的函數為為發射初始速度，θ為發射角，x為飛行時間），這里的函數就是數學模型。而模型的建立與最大射程都需要數學運算：令y=0，則x=0舍去）即為射程，顯然當sin2θ=1，即θ=45°時射程最遠。由這個模型得到“θ=45°時射程最遠”需要數學運算與邏輯推理。

（3）“數學建模”源于“數學抽象”，指向問題解決或結論判斷。

“數學模型是把某種事物的主要特征、主要關系系統地抽象出來，用數學語言概括地或近似地表述出來的一種數學結構，是對客觀事物的空間形式和數量關系的一個近似的反映。”《義務教育數學課程標準》（2011年版）把建立和求解模型的過程歸納為：“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。”可見，“數學建模”的目的是解決問題、作出判斷，建立模型的過程就是“數學抽象”。

（4）“數據分析”的載體是“數學建模”，方法是“邏輯推理”。

“數據分析”就是收集與整理數據，建立模型分析數據，從而對問題作出判斷。如運用數據的平均數、眾數和中位數了解數據的集中情況，通過數據的極差、方差、標準差等了解數據的離散情況，通過數據的頻數、頻率分布表及頻率分布直方圖了解數據的分布情況，等等。這些量的設計、圖表的形式都是人為設計的相對合理的數學模型。處理與分析數據，根據分析結果作出推斷就是邏輯推理。

2.數學素養的培養應以知識教學為載體。

筆者認為：數學素養的培養不是空中樓閣，而是以數學知識和技能、方法與經驗為基礎與載體，在數學知識的學習、數學思想方法的掌握過程中逐步形成的。什么是數學知識？狹義地說，數學知識包括數學的概念、公式、法則、定理及相互間的關系；廣義地說，數學知識還包括數學的方法、策略和思想，數學的結構、邏輯和模式。數學知識與技能、數學的方法與經驗、數學的素養之間層次的關系如圖2所示。比如，一元二次方程概念是由一元一次方程概念類比得到的，必須了解一元一次方程的定義；研究“三角形中位線”模型，必須用到“三角形全等”“平行四邊形”等相關性質和判定。

3.數學素養包括情感、態度和精神。

如果說《高中課標2017年版》所明確的六個方面內容是數學核心素養的顯性目標，那么，在數學學習、方法積累和能力發展過程中形成的數學情感、態度和精神則是隱性目標。數學教學不僅要關注顯性目標，更要關注隱性目標。

美國著名心理學家斯金納說：“當所學的東西都忘掉之后，剩下的就是教育。”那么，學生忘掉數學所學的東西之后剩下什么呢？是對數學熾熱的情感與濃厚的興趣，是研究問題的堅韌意志與求真品質，是思考問題的方式與習慣，是精確、嚴謹、簡潔、概括、統一的理性精神。這些應該成為數學素養的重要組成部分。數學中的想象、抽象、建模、推理、運算和數據分析需要數學知識、經驗、情感、興趣、品質做支撐，經歷數學活動過程又會反過來掌握知識，積累經驗，激發情感，錘煉品質。

《高中課標2017年版》明確指出：“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現。”可以說，數學素養是數學學習目標、數學知識與技能、數學思想與方法、數學的情感、態度與品質的總和。

二、基于數學素養的教學與評價的思考

章建躍博士說，“教好數學就是落實數學核心素養”，而落實數學素養的主要途徑是課堂教學，促進數學素養提升的重要手段是教學評價。

1.利用課堂教學主陣地提升學生數學素養。

學生數學素養需要教師在數學教學中作為有機整體漸進式培養，學生在探究學習活動中慢慢感悟。教師教學中要注意數學素養的顯性目標與隱性目標雙關注。

（1）數學素養要作為有機整體漸進式發展。

如前所述，數學素養既是教學目標，也是教學內容，它們是相互聯系的有機整體；數學素養的發展是循序漸進的。有時“一個內容往往同時隱含多個素養。因此，教師應充分領悟教材各個知識中隱含的素養、能力，并基于數學教學規律與學生認知規律，在教學設計過程中深入思考各個知識點中蘊含的數學素養的本質”，在數學課堂教學中落實。

案例1“方差”教學構思

如何考察數據的離散（或穩定）程度？教材直接指出：常采用一組數據x1，x2，…，xn與它們的平均數的差的平方的平均數表示。這是什么量？為什么用這個量？還可以用其他量嗎？可見“方差”教學的關鍵是如何進行模型建構。筆者設計了“活動體驗式”教學思路。

①問題情境：甲、乙兩射擊運動員射擊成績如下。

次數甲乙1 8 8 2 4 3 6 8 10 5 5 8 10 7 6 9 8 7 9 8 8 10 8 10 9 9 5 8平均8 8數8 8

兩名選手的平均數均為8，如何說明甲、乙兩名選手的穩定程度？

②直觀想象：從表中數據感覺乙的數據離散程度較小。

③問題提出：這種“感覺”可靠嗎？如何用確定的量表示？

④模型建構：

序號模型設計各數據的和最大值與最小值的差各數據與平均數差的和各數據與平均數差的絕對值的和各數據與平均數差的絕對值的平均數1 2 3 4 5 6 7各數據與平均數差的平方的和統計量甲80乙80 5 0 1 6 2 0 2 1.6 0.2 36 2各數據與平均數差的平方的平均數3.6 0.2存在問題無法反映只能反映個別極端數據情況無法反映若樣本容量不同，則不可比數據相對較小，差異不明顯差異明顯，但與樣本容量多少有關基本反映穩定性大小

⑤模型內化：歸納整理、語言表達、符號表示。

⑥模型運用：如果從中挑選一名選手參加比賽，你認為挑選誰合適？

乙的方差比甲的方差小，說明乙的穩定性好。如果比賽選拔成績穩定的選手參加決賽，則選乙。但乙環數最多只有9環，如果選乙參賽，得冠軍的可能性小，而甲中10環的有3次，如果比賽是以獲得滿環（10環）的次數來確定冠軍，則選甲參賽更合理。

【構思說明】“方差”是人為設計的、用來反映數據離散情況（或穩定性）的數學模型。衡量數據離散情況不一定用方差，還可以是其他的量，顯然方差比較合理，于是方差就成了人們為考察數據離散情況而合理約定的量。

那么教學過程中如何發展學生數據分析的素養呢？一是直觀猜想。讓學生根據甲、乙兩位選手的射擊數據，對他們射擊成績的穩定性作出直觀判斷。二是數學建模。直觀判斷的結論正確嗎？用什么方法判斷？需要建立一種數學模型。哪種模型最合理？這需要選擇、調整和優化。三是數學抽象。將情境中具體數據的運算過程一般化為公式，這個過程是數學抽象。四是邏輯推理。對數據的處理過程是一種推理，對具體數據用方差公式運算并進行判斷，這是“從一般到特殊”的演繹推理。五是數學運算。無論是建立和選擇模型，還是利用方差公式進行判斷，都離不開數學運算。這個過程體現了數學素養相互聯系、相互交融的特點。模型的建立、選擇與優化能讓學生感受數學的理性精神，也能培養學生良好的意志品質。同時，對結果的判斷離不開生活現實。如挑選誰參賽，事實上不能將穩定性作為唯一標準，這也體現了數學與現實的聯系。

（2）數學素養力求顯性與隱性目標雙關注。

教學中，我們不僅要關注數學素養六個方面的顯性目標，更要關注數學情感、態度、品質和精神等隱性目標。

案例2“勾股定理”教學構思

勾股定理源于生活現實，應用廣泛，文化內涵豐富。學生的認知具有多樣性，有的學生早已熟悉，能證明并運用結論；有的學生閱讀了相關課外書籍，了解了定理背后的文化；也有的學生可能一無所知。教學中要因材施教、順勢而為。為此，筆者設計了基于學生差異性的“問題鏈導學式”教學構思。

①提出問題，直觀猜想。

對于基礎中等的學生——

問題1（基于小學認知）：看到直角三角形（如圖3），你想到了什么？（生1：勾三股四弦五；生2：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。）

問題2：你怎么知道的？（聽說的、書上看到的、自學過……）

問題3（對生1）：勾、股、弦是什么意思？

問題4：對于直角三角形，一定是勾3股4嗎？在紙上用刻度尺畫圖，△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，量一量，c=？你得到了什么？

問題5：a、b換成其他值，上述結論還成立嗎？（回應生2）能不能用語言再敘述一遍？

問題6：用數學符號如何表示？

對于基礎較好的學生——

問題1（從一般化角度提出數學問題）：已知△ABC中，AC=3，BC=4，能求出AB嗎？

問題2：能確定第三邊的范圍嗎？

問題3：為何只能確定范圍而不能確定第三邊長度？（因為兩邊的夾角不確定。）

問題4：如果這個角確定了，第三邊長確定嗎？

問題5：你想研究什么角？為何要研究夾角90°？（如一正一負兩個有理數相加，這么多結果，為何要研究正好等于零？兩直線相交，這么多情況，為什么研究兩直線垂直呢？從特殊情況入手。）

問題6：最特殊的角有0°、90°、180°，哪個有研究的價值？

②操作推理，驗證猜想。

問題7：如圖4①，在網格中用面積法驗證當∠C=90°，a=3，b=4的情形。如何表示a2、b2？同樣，c2為多少？你有何想法？

問題8：將a、b換成其他數，在網格中畫圖并用面積法驗證試試。

問題9：對于任意直角三角形，結論是否存在？去掉網格（如圖4②），結論是否存在？

③定理表征，深化理解。

指導學生用圖形語言、文字語言和符號語言來表達定理內容，有時還需要對變式的圖形進行表征，以強化定理的理解。

④簡單應用，內化定理。（略）

⑤知識拓展，滲透文化。

問題10：你知道勾股定理的來源嗎？

問題11（出示“趙爽弦圖”）：你見過圖5嗎？這個圖表示了什么？你還了解與“勾股定理”有關的名人和故事嗎？與大家分享。（分享故事和證明方法）

問題12：課后閱讀課本、相關書籍，上網查閱，并繼續與大家分享。

【構思說明】“勾股定理”是反映直角三角形三邊關系的數學模型，學生需要去探索、發現和運用。教材安排了兩個課時，這里用一個課時解決探索發現和一種證明，并進行簡單應用。這個教學構思中，有通過問題串呈現發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，有從一般到特殊、再從特殊到一般的探索方法引導，有數形結合、變中不變等數學思想的滲透，有數學建模、數學抽象、數學推理、數學運算等數學素養顯性目標的達成。

更為重要的是“再創造”式教學構思關注了數學精神、品質和情感等隱性目標。一是數學精神的熏陶（如勾股定理的探索發現、圖形構造過程培養創造精神；對猜想的結論質疑和一般化證明，數學語言的精確、嚴謹、簡潔、概括性表征體現了數學的理性精神）；二是從一般三角形問題再特殊化（直角三角形）研究，并進行多樣化證明，錘煉了學生思維的發散性、有序性、深刻性、嚴謹性和批判性等品質；三是通過對勾股定理相關文化的滲透，學生在增長知識的同時也激發了數學情感和興趣；四是與“方差”學習過程比較知道，“方差”是人為設計的量，是一種數學發明，“勾股定理”是人們對客觀規律的發現，由此說明，數學發展過程中既有發明創造，也有探索發現，滲透了數學的哲學思想。

2.教學評價是促進數學素養提升的助推劑。

教學評價導向決定了教師的教學行為，合理的評價能夠有效地引導教師從課堂教學、課外活動、數學命題等方面重視學生的數學素養發展，進而成為促進學生數學素養提升的助推劑。基于學生數學素養的評價主要有課堂評價、活動評價和考試評價。

（1）課堂評價。

著眼于數學素養的教學評價應該體現在教師備課、上課、聽課、評課等各個環節。可以設計基于數學素養的《課堂教學量化評分表》，除教學常規、教學技術外，著重關注以下方面：①教學目標是否多元化；②教學活動是否具有主體性、過程性、探究性、開放性、生成性；③教學是否注意揭示數學內涵，滲透思想方法，引導學生感悟數學本質和理性精神；④課堂數學問題是否具有層次性、思辨性，并引導學生主動質疑；⑤是否關注學生思維的深刻性、批判性、反思性、條理性，提高學生思維品質；⑥是否關注學生個體差異，挖掘學生潛能，發揮學生特長；⑦是否鼓勵學生獨立思考，并用多種方式和語言交流、表達；⑧是否善于激發學生的數學情感與興趣，樹立學生自信心，引導學生逐步形成積極的價值觀。

（2）活動評價。

這里的活動特指學生課外數學活動，如數學綜合與實踐活動、數學課外閱讀沙龍、數學寫作與交流會、數學文化節、數學興趣小組（或社團）等。要把開展豐富多彩的數學課外活動作為對學生數學素養評價的重要內容。

（3）考試評價。

檢測與考試是重要的評價手段，我們要發揮考試對數學素養發展的促進作用。泰州市2019年12月就組織了一次針對七年級學生的數學素養測試活動，對隨機抽取的600名學生進行了數學素養測試。測試內容以教材和課堂教學內容為主，適當向課外延伸。

按照《高中課標2017年版》對數學素養的分類，試題涉及了除“數據統計”外的五方面素養。素養類型、題號及分值見下表：

素養類型數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算題 號4、6、7、9、12（1）、12（2）、13、14 2、3、5、10、12（2）、14（3）、15 1、2、3、4、5、7、8、9、12（2）、13、14（3）、15 3、5、10、12（1）、14（2）1、6、8、9、11、12、13、14、15分值52分42分70分20分76分

從統計表發現，試題重點考查了數學運算（9題，76分）、數學建模（12題，70分）和數學抽象（8題，52分），充分體現了測試數學素養的命題意圖。

試卷在數學思想方法和數學觀念上也重點考查（見下表），如數形結合、集合、整體、分類、變中不變、方程、建模、特殊到一般等基本數學思想，而數形結合、整體思想成為高頻考點。

題號3、10、12、14 4 5思想方法數形結合空間觀念符號觀念變與不變集合思想5、12 6、12

思想方法整體思想特殊到一般方程思想分類思想建模思想題號8、11、12、15 9、15 12、14 13、14 13、15

以試卷第14題為例。對于有理數x、y，定義一種新運算“*”，規定x*y＝|x+y|+|x-y|。

①若x*y＝2，x＝0，求y值；

②若x、y在數軸上對應的點的位置如圖6所示，化簡x*y；

③問x*2的值能否為3？若能，求出x的值；若不能，請說明理由。

本題是新定義運算，其符號和運算方式是學生陌生的，但絕對值是學生熟悉的，因此解決策略就是利用數軸將陌生抽象的“x*y=|x+y|+|xy|”轉化為熟悉具體的絕對值運算。解決數學問題的基本策略是“化歸”，即化未知為已知，化復雜為簡單，化抽象為具體。

這種考查體現了明顯的導向，即教學要摒棄功利意識，處理好“知識”與“素養”的關系。一是引導學生學好常規內容，要依標據本，立足基礎，夯實數學基礎知識基本技能；二是注意對學生的閱讀理解能力、數學建模能力、知識遷移能力、數學推理能力、反思調控能力、數學思維能力的培養；三是指導學生認真研究教材中的數學活動、數學閱讀、數學實驗等內容，并將這些資源同課外資源鏈接，拓展他們的思維；四是引導學生閱讀課外書籍，了解數學史、數學名人、數學故事、經典問題，激發數學興趣，播下數學思維的種子。