多自由度高靜低動剛度隔振系統的反饋控制研究*

劉樹勇 蘇 攀 位秀雷 刁愛民

(海軍工程大學動力工程學院1) 武漢 430033) (中國人民解放軍91404部隊2) 秦皇島 066000)

0 引 言

如何有效的進行低頻隔振一直以來是振動領域的熱點問題.為了提高隔振器的隔振范圍，可減小隔振器的固有頻率，這將意味著降低系統剛度，從而使得系統的承載能力下降.為了克服這一缺點，諸多學者提出了具有高靜低動剛度性能的隔振器.高靜低動剛度隔振器由正剛度機構和負剛度機構并聯組成，其中正剛度機構用于承受主要載荷，負剛度機構用于抵消正剛度彈性元件的剛度，使得系統在靜態平衡位置處的剛度趨于零.Ivana等[1-6]將傾斜彈簧作為負剛度機構與垂直彈簧并聯組成高靜低動剛度隔振器，并詳細研究了其幅頻特性及傳遞特性.Xu等[7-9]使用電磁彈簧作為負剛度機構，設計了準零剛度隔振器，并進行了理論與實驗分析.Meng等[10]提出來一種具有等厚和變厚度蝶形彈簧準零剛度隔振器的設計，并利用平均法研究了系統參數對隔振器傳遞率的影響.Huang等[11]利用歐拉屈曲梁作為負剛度機構，分析了該高靜低動剛度隔振器的靜力與動力學特性并進行了試驗研究，驗證了高靜低動剛度隔振器比線性隔振器具有更寬的隔振頻帶.

目前對含反饋的多自由度高靜低動剛度隔振系統動力學特征的控制規律研究較為鮮見.本文應用平均法研究反饋控制對高靜低動剛度振動系統動力學特性的影響，得到系統響應幅值和控制參數之間的關系式，并對系統在Van der Pol平面上的解進行分析.

1 高靜低動剛度系統力學特性分析

高靜低動剛度系統原理見圖1.兩個負剛度傾斜彈簧與一個正剛度垂直彈簧在O點連接，正剛度彈簧元件剛度為kv，兩負剛度彈簧元件的長度相同，且另一端安裝點的高度相同，安裝點距離系統中心點的距離為a，左側彈簧剛度為kl，右側彈簧剛度為kr，系統處于靜平衡位置時，正剛度彈簧元件的壓縮量為h0.

坐標x定義為點O從初始位置開始在豎直方向上的位移，向下為正，則系統的力與位移的關系為

(1)

進行無量綱化，可得：

(2)

圖1 高靜低動系統原理圖

根據剛度定義，將式(2)對位移求導得準零系統的無量綱剛度為

(3)

(4)

當α=1時，無量綱力-位移及剛度-位移曲線見圖2.由圖2可知，當h=hQZS時，系統在靜平衡位置時由兩側彈簧產生的負剛度與垂直彈簧產生的正剛度相互抵消，可獲得準零剛度特性；當hhQZS時，系統在靜平衡位置時剛度為負值.

圖2 量綱一的量力-位移和剛度-位移曲線圖

(5)

則剛度為

(6)

圖3 力和剛度的近似表達式與精確表達式對比曲線(α=1,h=hQZS)

高靜低動剛度隔振器無量綱力及剛度精確表達式與近似表達式對比曲線見圖3.由圖3可知，無量綱力及剛度近似表達式與精確表達式的誤差隨著位移量的增大而增大.當系統在平衡位置附近處位移量較小時，近似表達式與精確表達式的誤差很小，三階泰勒級數展開式能很好地模擬精確表達式.

2 高靜低動剛度系統反饋控制模型

兩自由度高靜低動剛度振動系統反饋控制模型見圖4，其中系統的激振力幅值為F，頻率為Ω；上層質量塊為M1，振動位移為X1，阻尼系數為C1； 下層質量塊為M2，振動位移為X2，下層彈簧元件剛度為K2，阻尼系數為C2.反饋控制回路中，傳感器采集上層質量塊速度信號，作動器安裝于上下質量塊之間，根據反饋信號控制上層質量塊的振動，因此作動器的力可表示為：P=K1Z1.

圖4 兩自由度高靜低動剛度系統反饋控制模型

系統的微分方程為

Fcos(ΩT)+M1g-P

(7)

系統的量綱一的量運動微分方程為

fcos(ωt)-kz1

(8)

3 平均法分析系統響應

對式(8)而言，其精確解難以得到，為便于研究，采用平均法研究方程的近似解以及反饋增益對解的影響.

假設在線性條件下，式(8)基本解為

(9)

對式(9)求導，可得

(10)

在非線性條件下，由于振動的復雜性，假設可以得到與式(9)在形式上相同，但系數具有時變特征的基本解，其表達式為

(11)

同時假設系統的振動速度具有式(10)相同的形式：

(12)

由于方程(10)求導后可得到

(13)

聯立式(12)～(13)，得到

(14)

對式(12)求導，得到二階導數形式

(15)

將式(12)～(14)代入式(2)中，可得

(1+k-ω2)a1(t)cos(ωt-φ1(t))-ωξ1a1(t)sin(ωt-φ1(t))-fcos(ωt)+

(16)

χ+(v1+μ-ω2)a2(t)cos(ωt-φ2(t))-(ωξ2+μωξ1)a2(t)sin(ωt-φ2(t))+

3rμ(a1(t)cos(ωt-φ1(t))-a2(t)cos(ωt-φ2(t)))a2(t)a1(t)cos(ωt-φ1(t))cos(ωt-φ2(t))+

(17)

利用式(14)、式(15)和式(17)直接求出式(9)中幅值和相位參數的一階導數解析表達式.

(18a)

(18b)

(-(v1+μ-ω2)cos(ωt-φ2(t))+(μξ1+ξ2)ωsin(ωt-φ2(t)))a2(t)-

(18c)

(-(v1+μ-ω2)cos(ωt-φ2(t))+(μξ1+ξ2)ωsin(ωt-φ2(t)))a2(t)-

(18d)

為方便進行分析，將非自治系統轉換為自治系統，進行如下變換：

φ1(t)=ωt-θ1(t)，φ2(t)=ωt-θ2(t)，ωt=θ1(t)+φ1(t)

則變換后，式18a)～d)變為

(19a)

(19b)

(19c)

(19d)

假設參數a1(t)，a2(t)，φ1(t)，φ2(t)具有慢變特性，對式19a)～d)等式右邊在一個周期T( 0～2π) 范圍內積分，并計算該區間的平均值，可得：

(20a)

[πfcosφ1(t)/ωa1(t)]-

(20b)

(20c)

(20d)

由式20b)可得，反饋參數k的存在對相位產生了影響，同時由于20b)中含有a1(t)和a2(t)，它們和式20a)和式20c)是非線性耦合的，因此還造成響應幅值的改變.由于相位變化與控制過程中延遲有重要關聯，因此，這一結果表明多自由度高靜低動剛度振動控制中增益對延遲具有影響.在施加控制的過程中，相位的補償不僅需要考慮系統本身的延遲，而且考慮控制增益參數的影響.此外，如果響應的幅值ai(t)i=1，2在t趨向于無窮大為常數時，則系統的解曲線收斂于一個極限環，而當ai(t)i=1,2不為常數時，則系統的解將非常復雜，可能出現擬周期甚至混沌狀態.

4 系統動態特性分析

當系統無反饋時，式(8)中參數的取值為ξ1=0.2、ξ2=0.2、μ=1、f=10、ω=3、r=1、v1=1、χ=2.通過式20a)～d)可預測系統的長期行為，見圖5a).此時系統振動幅值a1(t)隨時間無限增大，趨向于常數3.758.說明系統處于周期運動，系統的運動最終將收斂到極限環上.當對系統進行反饋控制時，反饋增益取為k=5，其余參數不變，結果見圖5b).此時系統振動幅值a1(t)隨時間增大，趨向于常數2.926.表明系統的運動仍處于周期運動.對比可發現：通過反饋控制后，極限環變小.為了觀察二維平面上的收斂行為，給出了Van der pol 平面上的收斂軌線，見圖5c～d).因此，通過對解析表達式的計算分析可以了解非線性系統的長期特性，以及反饋控制后的響應趨向.顯然，通過反饋控制后，能夠降低振動幅值.

圖5 應用近似解析方法得到響應的特征

當反饋增益進一步增大為k=10，其余參數保持不變，見圖6.由圖 6可知，此時響應的幅值收斂到1.996 ，即隨著控制強度的增加極限環大小進一步降低，振動得到進一步抑制.

圖6 反饋增益增大時的響應幅值收斂行為

改變系統的參數，如阻尼減少，激勵頻率增大，觀察結果的變化.當參數的取值為ξ1=0.05，ξ2=0.01，μ=1，f=10，ω=3.8，r=1，v1=1，χ=2時進行計算，見圖7.系統振動幅值a1(t)，a2(t)隨時間增大始終在一定范圍內波動，表明在不同初始條件下，系統的解并不是在單一的極限環上，而是在“極限環帶”上運動，此時系統可能處于多周期運動或混沌運動.

圖7 系統響應形成的極限環帶

為了說明圖7的預測結果，改變反饋控制增益大小，得到系統Lyapunov指數譜曲線隨反饋增益變化的規律，見圖8. 由圖8可知，反饋增益在0.02～2范圍呈現混沌運動，最大Lyapunov指數大于零；在2～10范圍內，混沌運動和周期運動區域相互交錯.該結果與圖7理論預測結果相吻合.

圖8 隨反饋增益變化的Lyapunov指數譜

5 結 束 語

本文建立了含反饋控制的多自由度高靜低動剛度隔振系統的數學模型，應用平均法推導了多自由度高靜低動剛度隔振系統的響應幅值隨反饋增益變化的解析表達式，并預測了系統響應的久期變化趨勢，得到了Van der Pol二平面上的極限環.當存在“純凈的”極限環時，系統的呈現簡單的周期振動；當極限環轉化為“環帶”時，系統的運動變得復雜，存在擬周期和混沌運動狀態.多自由度高靜低動剛度系統中引入反饋控制后，既可以將系統的混沌響應控制到周期狀態，抑制其有害的混沌振動；也可以通過反控制進入小幅值混沌狀態.