基于Guass偽譜法的多無人機無沖突路徑優化*

趙 帥 沈志遠 魏文斌

(南京航空航天大學民航學院 南京 210016)

0 引 言

通過路徑優化可以提高無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)飛行品質，以滿足日益嚴苛的任務要求[1].在無人機設計狀態確定的情況下，如何對飛行軌跡優化，提高飛行效率，是未來對無人機要求更加精準化的方向之一.無人機的路徑優化問題中因其含有很多的非線性約束條件，從本質上可以看成是一個非線性最優控制問題[2].因此,對最優控制問題的研究也即是對路徑優化問題的研究.

隨著計算機性能的不斷提高，采用數值方法來解決最優控制問題，目前主流的數值方法包括間接法和直接法[3-4].直接法相比間接法在求解路徑優化問題時不需要很多初始值，也不需要推導一階最優性條件，程序簡便,容易實現等優點，被廣泛應用到解決路徑優化問題中.由于偽譜法對初始值的要求較低，同時可以將復雜的約束轉換成數學表達式，可用于實時最優控制中，成為近年來學者偏愛的方法之一.高斯偽譜法(Gauss pseudospectral method,GPM)是目前研究最多的一種采用Legendre-Guass配置點的偽譜法[5].

Jorris等[6]在使用高斯偽譜法時加入航路點和禁飛區約束，使其生成的三維軌跡得到了優化.彭祺擘等[7]采用將直接打靶法和高斯偽譜法相結合為一種新的融合方法，解決了在探測器在月球表面定點軟著陸時的軌道優化問題.水尊師等[8]利用高斯偽譜法計算了再入段的最優軌跡并采用預測校正制導方法對離線軌跡進行跟蹤，但是整個過程中迎角變化范圍太大，現實中很難實現.Zhang等[9]通過設置不同的目標函數，用Guass偽譜法解決了帶有姿態約束的翼傘歸航路徑優化問題，用計算機進行了仿真驗證.郭泉成[10]通過添加限制約束，保證最優控制問題中各個階段之間的連續性，并用實驗驗證了三個階段中智能車的路徑優化問題.

綜上所述，目前的研究主要集中在運用Guass偽譜法解決單一飛行器或者交通運輸工具的軌跡優化問題，大多數學者通過對目標函數或者約束條件進行分類精細討論.本文在路徑優化算法的基礎上，考慮實際飛行情況，建立低空空域模擬規劃空間，討論三維空間下多無人機在低空空域有沖突風險時的路徑優化.通過對無人機建立各自的安全保護區，結合無人機自身性能及其他約束，基于Gauss偽譜法對存在沖突風險的無人機進行調配，給出在線調整高度的路徑優化策略.

1 多無人機路徑優化模型

1.1 動力學模型

無人機在飛行過程中會涉及到很多因素，包括空氣動力學、流體力學、升力、空氣阻力、姿態角度的變化等，是一個綜合復雜的非線性系統.本文考慮一定情況下的過程簡化，采用三自由度點質量模型用于描述無人機的動態特性，無人機在三維空間里的飛行狀態為

(1)

式中：x,y,z分別為無人機在飛行環境中的經度，緯度，高度坐標；γ為航跡角；φ為偏轉角；θ為傾斜角；T為無人機的推力；L和D分別為無人機的升力和阻力；m為總質量；g為重力加速度；V為無人機的速度；n為負載系數,n=L/g.

1.2 確定分類變量

對于低空空域下無人機路徑優化問題，考慮其在三維空間環境下飛行姿態一直隨著過程的進行而變化，根據無人機動力學方程組(1)，六個狀態變量分別為經度x、緯度y、高度z、航跡角γ、偏轉角φ、速度V，故狀態變量為

x=[x,y,z,γ,φ,V]

(2)

無人機在飛行過程中，通過調節推力T和通過控制舵面的變化來改變傾斜角θ，同時升力L與負載系數有關，因此，三個控制變量為

u=[T,θ,L]

(3)

1.3 構建約束條件

1.3.1邊界約束

邊界約束包括無人機狀態變量的初始條件和終端條件，在某一確定的飛行任務中，無人機從初始狀態經過一系列調整控制，最后到達終端狀態.假設無人機的飛行時間t∈[t0,tf].其中,t0為初始時刻;tf為終端時刻.

1) 初始條件 初始條件是指無人機在起始點時，狀態變量在t0時刻需要滿足初始位置約束、姿態約束、速度約束，本文中所有變量下標含“0”均表示在初始條件下的狀態，那么無人機受到的初始條件約束為

(4)

2) 終端條件 終端條件是指無人機到達目標點時，狀態變量tf在時刻所需要滿足的約束，包括終端位置約束、姿態約束、速度約束，本文中所有變量下標含“f”均表示在終端條件下的狀態，那么無人機受到的終端條件約束為

(5)

1.3.2性能約束

無人機的機動性能反映了其改變姿態和速度的能力，要確保滿足該條件，生成的路徑才可行.考慮姿態和速度的影響，形成在某一范圍內的機動性能約束：

(6)

式(6)表明姿態角和速度均在一定的范圍內，在各個時刻各個狀態量和控制量都遵循自身約束.

1.3.3路徑約束

1) 誤差約束 在飛行過程中，可能要經過特定位置點，需要在該位置點完成轉彎或者改變高度等機動性動作，無人機在該位置點的約束一般需要其滿足橫坐標、縱坐標、高度的約束，為

|xGIV-xt|≤ε1

|yGIV-yt|≤ε2

|zGIV-zt|≤ε3

(7)

式中：xGIV,yGIV,zGIV為無人機需要經過GIV特定點的位置量；xt,yt,zt為在時刻t無人機的坐標；ε1,ε2,ε3為在不同約束下的可容忍誤差.

2) 空間障礙物約束 本文建立的有空域限制、基礎山峰、電磁干擾三種空間障礙物約束，無人機在可行區域內飛行時要躲避此三種外界障礙物.設B,C,D為障礙物的類型，則障礙物的邊界點集合為

H={(x,y,z)|mn(x,y,z)=0}

(8)

式中：n=B,C,D，如果在坐標系中存在mn(x,y,z)>0的點，則表示在障礙物邊界的外面；相反，如果有mn(x,y,z)≤0，則表示在障礙物邊界內部，假設有空間點在此范圍內，則一定與障礙物發生碰撞.

假設無人機所在的整個規劃空間為A，無人機機身邊界點集合為E={(xc,yc,zc)|e(xc,yc,zc)=0}，則對機身的任意一點E(xc,yc,zc)而言，它需要滿足的條件為

E(xc,yc,zc)?CA(B1∪…∪Bi∪

C1∪…∪Cj∪D1∪…∪Dk)

(9)

式中：i,j,k分別為三種空間障礙物的個數，同時

3) 多無人機避撞約束 上述空間障礙物全為靜態障礙物，無人機要滿足在規劃空間內除去靜態障礙物以外的空間范圍內活動.但是假如同時存在多架無人機，則有存在碰撞風險，此時存在動態障礙物約束.常見的解決方法一般有兩種：①給不同的無人機分配不同的高度層，則從根本上解決了動態障礙物約束的問題，但可能會浪費空域；②空間無限制，但要保持不同的無人機在同一時刻不會出現在同一位置，即在任意時刻多架無人機互相之間要有空間上的安全距離，為

‖xi(t)-xj(t),yi(t)-yj(t),

zi(t)-zj(t)‖2≥dmin

(11)

式中：i,j為規劃空間中任意兩架無人機；dmin為無人機之間的最小安全距離.

1.4 優化目標函數

無人機的時效性是很重要的一個指標，也就是執行任務時間短，需要盡可能快的穿過飛行區域；同時需要消耗的能量最少，則目標函數為綜合代價函數值最小.本文假設p架無人機同時存在一片規劃空間內，綜合考慮執行任務時間最短和綜合代價函數值最小，對兩種指標進行加權形成最終的目標函數：

(12)

式中：σ1,σ2為對應目標的權重，根據具體任務的要求，權衡不同目標的重要程度，對其取不同的值.

1.5 最優控制模型

建立的最優控制模型包括目標函數式(12)為最小性能指標，式(1)為無人機狀態方程約束，式(4)為邊界初始條件，式(5)為邊界終端條件，式(6)為狀態變量和控制變量的條件約束，式(7)～(11)為路徑約束，同時還有無人機機身邊界的避障約束，為

(13)

2 基于Guass偽譜法求解路徑優化

2.1 最優控制問題描述

本文用Guass偽譜法解決無人機路徑優化問題，并將其歸納為以最小化任務時間和綜合代價函數值為優化目標的最優控制問題：

minJ=ψ(x(t0),t0,x(tf),tf)+

(14)

滿足動力學狀態約束

(15)

邊界約束

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(16)

性能約束和路徑約束

C[x(t),u(t),t]≤0

(17)

狀態變量x(t)=[xyzrφV]T，控制變量u(t)=[θTL]T.在優化目標即性能指標表達式中，由終端性能指標和過程動態指標兩部分構成，ψ是Mayer項，g是Lagrange項.再加上無人機路徑規劃問題的動力學方程函數、邊界約束函數和路徑約束函數，其定義域和值域的范圍為

ψ:Rn×R×Rn×R→R

g:Rn×Rn×R→R

f:Rn×Rn×R→R

φ:Rn×R×Rn×R→R

C:Rn×Rn×R→R

(18)

1) 區間變化 Gauss偽譜法離散化后都為[-1,1]區間的LG配點.因此，需要將最優控制問題的時間區間t∈[t0,tf]轉換成τ∈[-1,1]，對時間變量t作變換：

(19)

則式(14)～(17)可轉換為

minJ=ψ(x(-1),t0,x(1),tf)+

(20)

(21)

φ(x(-1),t0,x(1),tf)=0

(22)

(23)

2) 全局插值多項式近似狀態變量和控制變量 Gauss偽譜法選取N個LG點和一個初始點τ0=-1為節點，即N+1個離散點τi(τ0,τ1,τ2,…,τN)，并在此節點上N+1構造個Lagrange插值多項式Li(τ)(i=0,…,N)，并以此為基函數近似狀態變量：

(24)

插值多項式表達式為

(25)

使用Lagrange插值多項式可使變量在節點上近似狀態等于實際狀態，即x(τi)=X(τi)，(i=0,1，…,N).

(26)

(27)

(28)

(29)

經過上述分析得到了變量的離散形式，下面繼續討論將無人機狀態方程的導數進行離散化.

3) 狀態方程約束轉換為代數約束 對式(24)求導得狀態變量在離散點上的導數值，從而將無人機動力學微分方程約束轉換為代數約束：

(30)

式中：τk(k=1,2,…,N)表示位于集合κ中的點，τi(i=0,1,…,N)是集合κ0={τ0,τ1,…,τN}的元素.式(31)得到了狀態變量導數的代數表達式，這樣，就將最優控制問題的動力學微分方程狀態約束轉化成代數約束：

k=1,2,…,N

(32)

經過上述變化就將無人機微分方程狀態約束轉換為代數約束，同時微分矩陣Dki∈RN×(N+1)與選取的離散點有關，而與狀態變量無關.

4) 離散條件下的終端狀態約束 Gauss偽譜法中配點個數包括N個配點(τ1,…,τN)和初始點τ0=-1，但很多最優問題需要考慮終端約束，也就是在終點τf=1的終端狀態Xf，終端狀態也應滿足相應的狀態約束：

將終端約束條件使用插值多項式近似離散化，而Gauss積分公式具有精度高的特點，因此用Gauss積分近似積分項，可得：

X(τf)=X(τ0)+

(34)

2.2 將最優控制問題轉為非線性規劃問題

經過2.1的離散化處理，Gauss偽譜法已將連續型的最優控制問題轉變成離散型的非線性規劃問題：

minJ=Ψ(X0,t0,Xf,tf)+

(35)

(36)

X(τf)=X(τ0)+

(37)

φ(X(τ0),t0,X(τf),tf)=0

(38)

C[X(τk),U(τk),τk;t0,tf]≤0

(39)

通過Guass偽譜法在高斯點上離散最優控制問題的控制變量和狀態變量，同時確保在所有配點處都滿足約束.經過上述變化由無人機路徑規劃問題轉變為最優控制問題，又進一步轉化成非線性規劃問題.目前在解決含有多重不等式約束的非線性規劃問題中，序列二次規劃算法以其良好的收斂性，被認為是最有效的方法之一.

非線性規劃問題的簡化數學模型為

minf(x)

(40)

式中：f(x)為目標函數；h(x)，g(x)分別為等式約束和不等式約束，本文采用序列二次規劃方法求解該問題.

3 仿真驗證

3.1 參數設置

采用Matlab2014a和gpops工具通過編程搭建仿真環境，在配置為Intel(R)Xeon(R) 2.4 GHz,2 GB，64 G操作系統內存的Windows10系統下的計算機上進行，建立規劃空間障礙物分布圖，其參數設置見表1，規劃空間模擬圖見圖1.

表1 規劃空間障礙物類型 m

圖1 規劃空間模擬圖

本文選用兩架類型完全相同的無人機UAV1和UAV2，部分性能參數見表2.

表2 UAV參數設置

無人機在起始點的初始條件和在目標點的終端條件設置的參數或者范圍分別見表3～4.

表3 初始條件

表4 終端條件

3.2 仿真實驗

本文設計兩組仿真實驗進行對比，討論無人機在加上保護區后的路徑優化.

1) 仿真實驗1 兩架無人機在不考慮沖突風險時的路徑規劃 通過Gauss偽譜法將最優控制問題在高斯配點處對無人機路徑規劃問題進行離散化，轉換為非線性規劃問題，然后對其求解得到兩架無人機的最終生成路徑見圖2.

圖2 多無人機飛行路徑俯視圖和三維圖

由圖2可知，首先兩架無人機都成功避開了空間所有的障礙物.對UAV1，遇到空域限制區時，上升下降軌跡較為平滑；遇到電磁干擾威脅區時，產生一定幅度的合理迂回，最終到達目的地.對UAV2，從起始點出發后，始終在1～100 m高度平穩飛行，波動不大，然后由于空域限制區的影響，只能持續上升，但可以看出在(2 850，3 500，430)點附近有沖突碰撞風險，然后到500 m左右高度，貼近空域限制區表面飛行，并隨后翻越山峰，到達目的地.

經過對數據提取分析，得UAV1飛行時間為202 s，UAV2飛行時間為208 s，UAV1和UAV2部分變量隨時間變化曲線見圖3.

圖3 部分變量變化圖

由圖3可知，軌跡較為平滑，滿足邊界約束、性能約束和路徑約束的要求，變化范圍在可接受的程度之內.

2) 仿真實驗2 兩架無人機考慮沖突風險時的路徑優化 假設每個無人機周圍都有一定的保護區范圍，當另一架無人機進入該區域時就認為會發生碰撞.本節以移動的UAV1為中心點，建立半徑為100 m的球形保護區.考慮UAV1執行任務重要，路徑不變的情況下，UAV2做路徑規劃時，不僅要考慮規劃空間靜態障礙物的躲避，還要考慮對UAV1動態障礙物進行規避，加上該約束兩架無人機形成的最終路徑見圖4.

圖4 多無人機飛行路徑俯視圖和三維圖

由圖4可知，兩架無人機的飛行路徑都成功避開了空間所有的障礙物.對UAV1，飛行路徑不變.對UAV2，從起始點出發后，剛開始貼地飛行，隨后上升高度，經過一段時間平飛，繼續上升，接著在遇到UAV1時，為了避免風險沖突，通過上升高度來規避風險，然后下降到500 m左右，貼近空域限制區表面飛行，并隨后翻越山峰，到達目的地.

經過對數據提取分析，得UAV1飛行時間為202 s，UAV2路徑優化后飛行時間為237 s，雖然飛行時間增加，但是為了規避沖突風險.原始UAV1、原始UAV2和改進UAV2的部分變量隨時間變化曲線見圖5.

圖5 部分變量變化圖

由圖5可知，軌跡較為平滑，滿足邊界約束、性能約束和路徑約束的要求，變化范圍在可接受的程度之內.

3.3 結果分析

為了更直觀說明基于Guass偽譜法的無人機路徑優化，將兩架無人機有沖突風險時的路經和加上保護區改進后的路徑局部放大，見圖6.UAV2通過調整高度來規避UAV1保護區，雖然飛行時間增加，但更具有適用性和安全性.

圖6 局部放大圖

以上計算機仿真實驗表明，經過優化后的路徑繞過了與動態障礙物有沖突風險時的空間，同時驗證了兩架無人機在加上保護區后會有在線路徑調配的優化策略.

4 結 束 語

本文研究了多無人機在三維空間中有沖突風險時，基于Gauss偽譜法的路徑優化方法.首先將無人機路徑優化問題轉化為在滿足無人機各種約束條件下，以最小化任務時間和綜合代價函數值為目標函數的最優控制問題.接著詳述了Gauss偽譜法把該最優控制問題逐步離散化成非線性規劃問題的過程，通過對非線性規劃問題求解，即可得兩架無人機的生成路徑.最后通過對每一架無人機增加保護區，那么在遇到沖突風險時會采取調整高度的優化策略來避免相撞，并用仿真實驗驗證了Guass偽譜法解決無人機路徑優化問題的有效性.