換熱管流體激振的動力學特性及穩定性分析

冀 航

（蘭州理工大學石油化工學院）

換熱管是換熱器中的重要部件，通常采取增加流速、 減薄換熱管壁厚等手段提高換熱效率。但在進行換熱強化的同時，高流速意味著管路不穩定性的增加，可能會引起流體誘導振動［1］等多種形式的破壞，因此，為保證設備高效且安全運行，有必要對換熱管流致振動的動力學特性和穩定性進行研究。

對于換熱管流致振動，一部分是管程流體縱向流動產生的振動，另一部分則是由殼程流體橫向沖刷引起的［2］。 由于折流板與換熱管之間留有安裝空隙，因此振動使換熱管的相對位置發生變化，改變了流場形態，此時激振力會持續作用于換熱管并使之振動，長此以往會對換熱器造成嚴重的破壞，需要在設計時避免［3］。

針對換熱管因流體誘導振動產生的不穩定性，Chen S S總結了兩種基本的不穩定性機理，即速度機理和位移機理。 速度機理認為流體力與圓柱體流體的速度成正比，而位移機理認為流體力與圓柱體的位移成正比［3］。 當流體誘導振動的能量無法被自身完全消耗時， 系統產生不穩定性。然而在工程實際中，這兩種不穩定性機理并不能很好地統一起來，并且對于振動的能量衰減與不穩定性之間的關系尚未存在明確的解釋。

此外，國內外對于管程流體誘發振動的研究主要集中在對管路臨界流速和對換熱管自振頻率的求解［4，5］，對換熱管振動特性和流動穩定性并無明確的研究。

筆者將針對換熱管的結構特點建立動力學模型并分析其振動特性，找出影響振動的因素和條件，并對其穩定性判據進行分析，可為換熱器的設計與使用提供依據與指導。

1 換熱管動力學模型的建立

與縱向流體的誘導振動相比，管外橫向流產生的激振力更大，其振動也更為劇烈。 因此在工程實踐中主要考慮流體的橫向振動［6］。

可將換熱管視為兩端由管板固定，中間多個折流板簡支的細長梁，取其中固支到簡支的一段進行分析，考慮到換熱管柔度較大，因此忽略軸向力和截面繞中性軸轉動慣量的影響，其受力分析如圖1所示。

圖1 換熱管受力分析

取換熱管上任意一微元體，其剪力與彎矩如圖2所示。

圖2 微元體受力圖

微元體的豎向平衡條件為：

由此可得：

微元體右截面與x軸交點取矩：

忽略二階無窮小量，可得：

材料力學中梁的彎矩與變形的關系為：

聯立式（2）、（4）、（5），得到換熱管的橫向振動微分方程：

對于均質等截面的換熱管，其橫向振動微分方程可簡化為：

在換熱管實際振動過程中，還必須考慮阻尼的影響， 換熱管所受到的阻尼力來自于兩部分，一部分是外界介質對換熱管運動的阻抗，為外阻尼力； 另一部分則是由于振動導致的反復變形，沿換熱管截面產生的分布阻尼應力， 為內阻尼力，二者阻尼形式均可視為粘性阻尼，其中外阻尼力是振速的函數，設其阻尼系數為c，即外阻尼力fn（x）可表示為：

內阻尼力與材料應變速度成正比，設其阻尼系數為cs，則內阻尼力σi（x）可表示為：

將式（8）、（9）代入式（7），則可得到換熱管有阻尼振動的偏微分方程：

2 換熱管動力學特性分析

對于式（10）而言，方程的左側由慣性力、彈性力和阻尼力3個部分構成，右側為激振力項，當P（x，t）=0時，即換熱管不受外力作用時，其方程形式與彈簧-質量系統高度相似， 則可按照該模型進一步分析，換熱管自由振動模型如圖3所示。

圖3 換熱管自由振動模型

對應的運動方程可以簡寫為：

該方程的解形為：

考慮特征方程為復根的情況， 即λ1，2=-h±jω，其中：

故方程通解為：

其中，A、B由初始條件決定，設t=0時，x=x0，則得到位移和速度的表達式為：

進一步改寫為如下形式：

其中：

該形式的振動屬于衰減振動過程，并且其振幅按照指數規律衰減。 系統相繼兩次通過平衡位置之間的時間間隔T=2π/ω。

對于圖3所示的模型而言， 振動規律具有衰減振動特征，其表達式如式（17），此外，由于假設了阻力正比于速度，因此振動的最大值才會按指數規律衰減，故對數衰減僅適用于線性系統中。

3 換熱管穩定性分析

得知微分方程（12）的解，便可求出所在的相軌線簇的方程， 在相平面x、y上的參數方程可寫為：

對x、y進行坐標變換，令u=ωx，v=y＋hx，記ωK=C1，則：

利用極坐標，可以使相軌線擁有更加簡單的形式ρ=C1e-ht，φ=-（ωt＋α），消去時間，可得ρ=。這樣， 可見相軌線在u、v平面上是一個以坐標原點為漸近點的對數螺線簇，具體如圖4所示。

圖4 u-v平面相軌線

可得相軌線的坐標方程為：

由于相軌線在做逆變換時不會改變定性性質，因此，x、y面上的相軌線簇也是以坐標原點為漸近點的螺線簇。

滿足變換前的性質，因此，相鄰的相徑之間按指數規律衰減，其對數衰減率d=hT，做出表示全部可能運動的圖像，如圖5所示。

圖5 x-y平面相軌線簇

由圖4、5可見， 所有相軌線都對應于趨向于平衡位置的衰減振動，并且奇點滿足李雅普諾夫穩定性條件，在相平面則表述為運動的穩定性與積分曲線的卷攏和展開有關，由于坐標的選擇單值地決定了相點的運動方向，因此便可以單值確定奇點的穩定，反之，若螺線處于展開的形式，那么奇點就是不穩定的。 對應的穩定性條件則表示在方程（22）中，積分曲線卷攏的條件為h＞0，因為只有在這個情況下，沿順時針方向運動時，其相徑才會減小，系統最終才會趨于穩定。

進一步返回到方程（11）所表示的關系式中，則該穩定條件對應的物理意義為：系統的阻尼為正，且該過程中阻尼不斷消耗系統能量，這種阻止運動且消耗功的正阻力不會引起不穩定，并且，若在無阻尼系統的平衡位置是穩定時，則存在阻尼時，該系統仍然是穩定的。

4 結束語

筆者采用理論分析方法研究了換熱管受流體激振的動力學穩定性問題，首先建立了換熱管流體誘導振動的動力學方程，并進一步對其振動特性進行分析，結果表明指數衰減振動僅存在于線性系統當中；其次，結合李雅普諾夫穩定性判據，推導出換熱管受流體激振的穩定性對應于換熱管動力學方程在相平面內積分曲線的卷攏狀態，結果表明當相徑減小時，系統最終趨于穩定。此外，分析了系統阻尼對穩定性的影響，結果表明正阻尼不會引起系統不穩定現象，對于初始平衡狀態的無阻尼系統， 當存在正阻尼作用時，系統最終會保持穩定。