由“非負整數”概念爭議想到的

錢德春

摘要

數學教師需要通過研究，甚至爭論、爭辯，了解數學概念的內涵及其發展，體現研究與求真的學術精神，提升自己的專業素養。數學概念教學要將學術的數學轉化為教育的數學，理解教材編寫意圖，把握學生認知基礎與結構，增強學生的數學情感，讓學生感悟數學的理性精神。

關鍵詞

非負整數 數學概念 爭議 學術爭鳴 數學教學

一、問題的由來

筆者發現：一些初中數學輔導書和測試卷中頻頻出現“非負整數”這個名詞。如某測試卷中有這樣的題：

把下列各數：+5，-7.25，-3/4，0，0.32，-3，-12/5填入相應的大括號內。

非負整數集合：（

…）。

教材中本無“非負整數”概念，教師為了應對諸如此類教輔練習和各種測試，只能在教學中補充“非負整數”這個概念，但效果適得其反。如不少學生將除“-3”外的所有數都填入了集合，這顯然有違試題本意。此時教師還需要花大力氣糾正：“非負整數，非負——整數，即不是負數的整數”，這給教與學帶來了額外的負擔。前不久，某QQ群針對“非負整數”概念進行了激烈的爭論。

本文擬通過學生認知錯誤和教師爭議原因分析，對“非負整數”概念考證，談談對數學概念研究及教學的思考。

二、學生認知錯誤的原因探討

研究發現，學生對“非負整數”理解產生錯誤的原因主要有兩個：一是生活化語言的影響。“非負整數”的本意是“非負的整數”，強調“非負”;而生活化語言的側重點在“非”字上，將“非負整數”理解為“非——負整數”。二是教學負遷移的影響。有理數中有“非負數”概念，“非負數”即“不是負數的數”，進而機械類比得出“非負整數”即“不是負整數的數”，出現錯誤就不足為奇了。

用集合論來解釋，問題就是將“非負整數”作為子集時，它的全集是什么。教師心中約定為“整數集”，故在整數“+5，0，-3”中去掉負整數“-3”;而學生所理解的全集是“題目所給的所有數（即有理數）”，故在所給的數中去掉負整數“-3”。可見，“‘非負整數的全集是什么”是引起歧義的根源。

三、教師對“非負整數”的爭論

不少教師糾結于“非負整數”概念“要不要補充”“如何向學生解釋清楚”“規范的試卷會不會出現”等問題。筆者在某影響力較大的QQ教研群拋出了這樣的話題：請問對“非負整數”如何理解？立即引起了眾多數學教師、教研人員的關注和討論。主要觀點如下：

一種觀點認為，“非負整數”只在教輔中出現，教材上沒有這個概念，甚至連“非負”都未提及。一是該名稱容易引起歧義。“非負整數”表示不是負整數？非負的整數？不是負整數的整數？“非負——整數”還是“非——負整數”？是不是靠語氣停頓來區分？如此有爭議的問題盡可能回避。二是學生認知未到火候。正如對江蘇2017年高考應用題中“沒入水中”的理解，命題者意圖為“浸入水中”，但不少考生則理解為“沒有進入水中”。三是數學概念一般不用否定性語言來定義。

另一種觀點認為，“非負整數”沒有歧義。一些版本教材有“非負數”與“非零數”的說法，如湘教版七年級上冊第3頁在第一章“有理數”的“相反意義的量”中，引入了“正數和負數”之后有這樣一段文字：“我們也把正數和0統稱為非負數”，說明引入“非負整數”也無不妥，學生能夠接受。誠然學生水平有差異，教育水準也存有區域差異，要根據區域實際辯證地看待各版本教材，以“對”與“錯”來評判會走向極端。

還有一種觀點認為，“非負整數”屬于約定俗成，如左宗明教授認為“這是一個約定，指正整數與0”。作為教育任務的數學，從學術上說有一種局限性。教學中要淡化形式、淡化概念，許多概念有時不必嚴格定義或不做定義。

由此可見：教師對“非負整數”名詞的認識并不統一，存在一定的爭議。

四、“非負整數”概念考證

目前，各種版本中小學數學教材及中考數學試卷均未涉及“非負整數”概念。談到“非負整數”必然要聯系“自然數”。

事實上，從教學大綱、課程標準再到數學教材，“自然數”概念內涵發生了變化。1998年版《中華萬有文庫教育卷·中學代數詞典》對“整數”的一種分類方式為：

正整數（自然數）

整數 零

負整數這說明自然數就是正整數，而不包括0。2002年版《數學辭海》中的定義是“非負整數（ nonnega-tive integer）即‘自然數”，“自然數（natural num-ber）亦稱非負整數。”具體解釋是：“數系中最基本的一種數。即0，1，2，3--表示的數，它是從數數過程中產生的。”“自然數集（set of naturalnumbers） -種特定的集合，指全體自然數的集合。”“在數學理論的發展中自然數集的定義并不包括0。”這種定義與“自然數”的產生有關。在遠古時代，人類在狩獵、捕魚、采集果實時是用藤條打結計數。比如捕獲1個獵物就打1個結，捕獲2個獵物就打2個結……這樣逐漸形成的數就是原始的“自然數”。顯然，自然數由若干個“1”組成。在他們看來，如果沒有收獲就“不打結”，也就“沒有數”，因此自然數就不包括“0”。用群里網友的話說：《數學辭海》的定義說明“名可名，非常名”，“非負整數”定義有一定的依據，但并非常用的名稱。

1986年版《全日制小學數學教學大綱》明確要求“理解自然數和整數的意義”。1983年第一版、1987年再版的人教版小學數學教材第八冊對“自然數”定義如下：“我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3，4，5，6……叫做自然數”，并補充：“一個物體也沒有，就用0表示。0不是自然數。自然數和0都是整數。”教材還明確：“在講‘數的整除時，我們所說的數，一般只指自然數，不包括0。”這里，“非負整數”與“自然數”有本質的區別。

“1993年開始的新國家標準定義自然數集Ⅳ含0。這樣做一方面是為了推行國際標準化組織（ISO）制定的國際標準，以便與之早日相銜接;另一方面，o還是十進位數字{o，1，2，…，9）中最小的數，有了0，減法運算a-a仍屬于Ⅳ，其中a∈N”。

2001年制定的《義務教育數學課程標準》（實驗稿）在第二學段（4～6年級）具體目標中只有“知道整數、奇數、偶數、質數、合數”，沒有自然數的概念。

《義務教育數學課程標準（201 1年版）》除了上述要求外，明確要求“了解自然數、整數、奇數、偶數、質（素）數和合數”。現行數學教材均將“0”看作自然數。2018年人教版小學數學四年級上冊教材明確規定：“表示物體個數的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然數，一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數。最小的自然數是0。”這樣，0和正整數統稱“自然數”，“非負整數”與“自然數”指向相同。

然而，無論是“教學大綱”、課程標準，還是中小學數學教材均沒有“非負整數”的概念。如蘇科版教材七年級上冊第2章“有理數”的正文和教材練習的“將數填入相應集合”的問題，供填寫的集合只有“正數集合”“負數集合”“有理數集合”“無理數集合”等，沒有出現“非……”的文字表述。至于湘教版教材七年級上冊引入“非負數”這一概念，其教學參考書第5頁明確說明這“是為今后學習如何去掉∣a∣中的絕對值做準備”，并非要求在“非負數”的概念上做文章。

由此可見，課程標準的制定和數學教材的編寫遵循了數學發展規律和學生認知規律而導致學生對“非負整數”的“模糊認識”，則完全是人為改變教學內容、拔高教學要求所致。

五、幾點思考

思考對“非負整數”的爭議問題，本質上是數學學術、教師素養與數學教育之間關系的問題。一些問題教師可以爭鳴，但教學要適度。數學教師必須具有一定的研究能力，提升自身專業素養，這是做好數學教學工作的前提;而數學教學要理解教材編寫意圖、把握學生認知基礎與結構，將學術的數學轉化為教育的數學;數學教學不能只關注知識，更要增強學生的數學情感，讓學生感悟數學的理性精神。

1.學術的數學：要研究爭鳴，追本溯源。

從學術的角度來看，教師要潛心研究、相互探討甚至爭鳴。數學就是伴隨著爭論、爭議而發展的。如“無理數”之所以稱為“無理數”，是因為希帕索斯發現了這樣的數不能表示為兩個整數的比，挑戰了數學家們“任意兩個量都可以公度”的理論，認為這是“毫無道理”的數，達·芬奇稱之為“無理的數”。但事實上像這樣的數是看得見、摸得著的數，最終得到了人們的承認，從而使數學度過了第一次危機，并讓數學有了新的發展。就“自然數”而言，傳統教學大綱和教材指正整數。因此，為了便于表示“正整數和0”集合而給出“非負整數”概念在情理之中。但當將0納入了自然數后，數的概念得到了發展，“非負整數”概念的存在價值就不大了。

作為數學教師，有必要了解數學概念的內涵及其發展，研究概念形成與變化的原因及其背后的數學文化。有時可通過爭論、爭辯和研討，弄清事物的本來面貌，直達問題的源頭和本質，真正體現研究與求真的學術精神，提升自己的專業素養，讓自己的數學理解更加深刻，只有這樣教學才能高屋建瓴、居高臨下。

2.教育的數學：要尊重教材，基于認知。

教學要將學術的數學轉化為教育的數學，要尊重教材，基于學生認知，在存在爭議的問題處理上要慎重。

一方面，數學教學要理解教材、尊重教材。我們提倡“用教材教而不是教教材”，教學不拘泥于教材，但前提是守住教學底線，不突破教學的邊界。另一方面，數學教學要遵循學生的認知規律，把握學生的認知能力，而不是灌輸機械的知識、晦澀難懂的概念甚至是已經被取代的內容，更不能人為拔高教學要求、設置理解的障礙。

以“非負整數”為例。重新定義“自然數”之后，“非負整數”就是“自然數”，這也是教材為什么不出現“非負整數”概念的原因所在。因此教學中不宜隨意補充，在數學命題中盡可能回避。還有些數學概念在不同階段有不同的表述與定義方式。如函數概念在初中階段是基于運動變化的描述性定義，側重變化與變量，旨在以形象、直觀的方式讓初中學生理解;而高中階段則是基于映射與對應的定義，側重對應和符號化，更加抽象、嚴謹，這適應了高中學生更為抽象的思維能力。教學中要根據學生認知，把握好教學要求，選擇適合的教學方法，讓學生認知從“不嚴格”到“嚴格”，從“認識”到“理解”，進而達到深度理解。

3.文化的數學：要激發情感，體現價值。

現實中，許多學生學習了十幾年的數學，刷題之后，剩下的只有對數學的厭倦。他們感覺到數學只是枯燥的定義、法則、公式、定理的堆砌。事實上，數學的價值不只是知識，還有文化和精神，漫長的數學發展史及這個過程中的思想方法和精神就是數學的文化。數學教學應該引導學生了解數學知識背后的文化。

特級教師孫維剛在聽“有理數”一節課時，有學生問：“‘有理是有道理的意思，我不明白，整數和分數這兩種數有什么道理呢？”老師回答：“這是數學上的規定，沒有為什么。”如此，學生對數學除了機械記憶還有何興趣可言？孫維剛說：“科學上的任何規定都有‘為什么，數學尤其如此，一個數學符號為什么這么寫都有它的理由。世界上沒有‘沒有為什么的事。”“將整數和分數統稱為有理數”是翻譯上的一個差錯。日本人將“rational number”錯譯為“有理數”，我們又進行了簡單移植。“rational number”本意是指“可以表示為兩個整數比的數”。分數是整數之比，如4/7是4：7，整數3是3：1，所以整數和分數總稱為“rational mumber”（有理數）。

如“數”的教學，可引導學生了解各種數如何產生，為何這樣定義，背后有何故事，有些數的概念為何變化，有理數為何稱為“有理數”，“無理數”真的“沒有道理”嗎，不同的數系之間有何關系，數的發展對數學的發展有何影響等。通過數學文化的熏陶，學生數學的情感必然會得到激發，對數學探究的興趣自然會增強，對數學規律的認識、對數學本質的感悟能力也會大大增強，只有這樣，才能真正體現數學在教育中應有的價值。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）

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