問題導(dǎo)學(xué)，助力學(xué)生思維生長(zhǎng)

黃秀旺

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。”蘇聯(lián)心理學(xué)家馬丘斯金認(rèn)為，問題是思維的起點(diǎn)，問題的解決過程也就是創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生過程。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師只有用問題激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)他們進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生在獲取知識(shí)與技能的同時(shí)發(fā)展思維能力，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的日的。“基于初中生思維力生長(zhǎng)的問題導(dǎo)學(xué)式課堂”就是要通過問題驅(qū)動(dòng)，展示數(shù)學(xué)思維過程，為學(xué)生的思維力生長(zhǎng)創(chuàng)造必要條件。那么，該如何結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置有利于學(xué)生思維生長(zhǎng)的問題呢？

一、關(guān)注知識(shí)點(diǎn)，基于整體設(shè)計(jì)問題

課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”據(jù)此，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，嘗試把每一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容都置于整體知識(shí)的體系下設(shè)計(jì)問題，通過問題引導(dǎo)、問題分析、問題解決等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生建構(gòu)新知識(shí)，掌握新方法。在一系列問題的引領(lǐng)下，學(xué)生的思維的深刻性、廣闊性、靈活性可得到明顯提升。

案例1 “分式的乘方”問題設(shè)計(jì)。

“分式的乘方”為人教版數(shù)學(xué)教材八（上）第15章第2節(jié)“分式的運(yùn)算”第2課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師通常帶領(lǐng)學(xué)生先復(fù)習(xí)分式的乘除運(yùn)算法則，然后從例4導(dǎo)入第2課時(shí)的學(xué)習(xí);接下來，通過帶領(lǐng)學(xué)生思考如何探索分式的乘方，過渡到例5。這樣的教學(xué)過程不免出現(xiàn)了以訓(xùn)練為主的現(xiàn)象，學(xué)生的思維沒有得到很好的拓展。實(shí)際上，如果我們將“分式的乘方”置于“數(shù)與式的運(yùn)算”的知識(shí)體系中來思考，就會(huì)產(chǎn)生許多疑問：為什么本節(jié)課要學(xué)習(xí)這些內(nèi)容？如何研究“分式的乘方”？之前學(xué)習(xí)過類似的方法嗎？許多教師沒有思考過這些問題，只是根據(jù)教材按部就班地進(jìn)行教學(xué)。而正是因?yàn)闆]有進(jìn)行思考，才使得我們?cè)谡n堂上看不到學(xué)生的“真正學(xué)習(xí)”。學(xué)生不知道數(shù)學(xué)家是如何探究數(shù)學(xué)知識(shí)的，就不會(huì)產(chǎn)生思辨的興趣并進(jìn)行積極探索。而當(dāng)我們將“分式的乘方”置于“數(shù)與式的運(yùn)算”的知識(shí)體系中思考時(shí)，以上疑問就會(huì)迎刃而解。學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算，我們會(huì)依次經(jīng)歷有理數(shù)的加減法、乘除法、乘方與開方，代數(shù)式的運(yùn)算也是如此。以此類推，分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)也應(yīng)是從加減、乘除，再到乘方。探究“分式的乘方”，既可以從具體的例子歸納出一般性的結(jié)論，也可以進(jìn)行類比分析。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生完全可以運(yùn)用已經(jīng)積累的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行自主探究。

基于以上分析，筆者給出的“分式的乘方”的問題設(shè)計(jì)如下：

環(huán)節(jié)1：提出問題。

問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式的乘除運(yùn)算，接下來，大家認(rèn)為該學(xué)習(xí)什么運(yùn)算？

環(huán)節(jié)2：探究分式乘方的法則。

問題2：怎么研究分式的乘方運(yùn)算？

追問1：分式的乘方是一個(gè)什么樣的形式？不妨寫一寫。

追問2：寫出探究分式乘方運(yùn)算法則的過程，并說說你是如何想到的。

環(huán)節(jié)3：分式的乘除、乘方的運(yùn)用。

問題3：至此，我們學(xué)習(xí)了分式的乘除法和分式的乘方。按照運(yùn)算的級(jí)數(shù)劃分，它們有哪些情形？請(qǐng)舉例說明。

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)。

問題4：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有哪些收獲？

以上問題設(shè)計(jì)，力求將“分式的乘方”置于分式運(yùn)算，乃至“數(shù)式運(yùn)用”的整體知識(shí)體系中，以便于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的自然勾連，從而實(shí)現(xiàn)思維的延展。在許多課堂上，教師總是抱怨學(xué)生不能積極思考和主動(dòng)參與，造成課堂氣氛壓抑。其實(shí)，教師有沒有設(shè)計(jì)出精彩的問題，才是課堂氣氛活躍與否的關(guān)鍵。

二、前后一致，基于過程設(shè)計(jì)問題

章建躍老師認(rèn)為：“教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考?！币虼?，在進(jìn)行問題設(shè)計(jì)時(shí)，我們也要注意堅(jiān)持前后一致、邏輯連貫的理念。

案例2 “立方根”問題設(shè)計(jì)。

“立方根”為人教版數(shù)學(xué)教材七（下）第6章“實(shí)數(shù)”第2節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在第1節(jié)課學(xué)習(xí)了“平方根”，經(jīng)歷了提出問題、研究問題、獲得結(jié)論的全過程。如果教師在教學(xué)“立方根”時(shí)，不考慮讓學(xué)生進(jìn)一步鞏同、提升前面掌握的學(xué)習(xí)方法，那就喪失了一次讓學(xué)生的思維生長(zhǎng)的好機(jī)會(huì)。因此，要想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)“立方根”時(shí)，體驗(yàn)前后一致、一以貫之的學(xué)習(xí)過程，教師不妨思考以下問題：（1）研究“平方根”時(shí)，我們是如何提出問題的？研究“立方根”時(shí)，也可以這樣提問題嗎？（2）“平方根”的教學(xué)方式屬于哪種類型？“立方根”的教學(xué)方式可以和“平方根”的一樣嗎？（3）給“平方根”下定義后，“平方根”的符號(hào)表示是何時(shí)提出的？對(duì)于許多數(shù)學(xué)概念，我們下定義后就可以給出符號(hào)表示，而“平方根”卻不是這樣，為什么？“立方根”相應(yīng)的情況又是怎樣的？（4）我是如何讓學(xué)生掌握“平方根”的特征及性質(zhì)的？“立方根”的特征及性質(zhì)的教學(xué)，我是不是也可以這樣處理呢？解答了以上問題，其實(shí)就解答了“平方根”這一數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程，以及學(xué)生理解“平方根”的心理過程。而教師在教學(xué)“立方根”時(shí)，也可以參照以上問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)：

環(huán)節(jié)1：?jiǎn)栴}情境。

問題1：要制作一個(gè)容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，包裝箱的棱長(zhǎng)應(yīng)該是多少？

追問1：你打算怎樣解決這個(gè)實(shí)際問題？請(qǐng)簡(jiǎn)要說出過程。

追問2：你是怎么想出來的？

追問3：有沒有其他解法？

環(huán)節(jié)2：探究活動(dòng)。

問題2：請(qǐng)回顧學(xué)習(xí)平方根的過程，思考以下問題：（1）平方根的學(xué)習(xí)是基于一個(gè)什么現(xiàn)實(shí)問題而提出的？它又引出了哪一個(gè)數(shù)學(xué)問題？（2）平方根的學(xué)習(xí)包含哪些內(nèi)容？建議畫圖表示。（3）剛剛提出的問題，實(shí)際上就是研究當(dāng)x3=a時(shí)，x是什么數(shù)。你打算如何展開研究？

請(qǐng)結(jié)合下圖，畫出研究路線圖。

問題3：（1）什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？（2）什么叫開立方？它與立方有何關(guān)系？請(qǐng)舉例說明。

追問1：定義a的立方根的合理性。

追問2：a的立方根為什么不像a的平方根（當(dāng)a為正數(shù)時(shí)）一樣，在根號(hào)前面加上±號(hào)（表示為±3√a）呢？

問題4：你能求出下列各數(shù)的立方根嗎？8，27，0.125，0.08，0，-1，-125，-8，-8/27。

追問1：你發(fā)現(xiàn)了什么？

追問2：你能說出數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同嗎？

問題5：

追問1：你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一個(gè)式子來表示其中的規(guī)律嗎？

問題6：請(qǐng)你結(jié)合立方根的學(xué)習(xí)路線圖，回顧整個(gè)探索過程及每一個(gè)探索環(huán)節(jié)，說出成功與不足之處。

問題7：說出探索平方根與立方根的過程中的異同點(diǎn)。

以上問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念學(xué)習(xí)的基本過程：舉例子（給情境）一建規(guī)則一下定義一再運(yùn)用。實(shí)際教學(xué)效果反映，體現(xiàn)前后一致、一以貫之的學(xué)習(xí)過程的問題設(shè)計(jì)，可以提升學(xué)生的思維探究能力及學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、尋求聯(lián)系，基于類比設(shè)計(jì)問題

數(shù)學(xué)課程的總?cè)諛?biāo)是讓學(xué)生能“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，在進(jìn)行問題導(dǎo)學(xué)時(shí)，我們也要注意尋求知識(shí)點(diǎn)之問的聯(lián)系，基于類比思維來設(shè)計(jì)問題。

案例3“一元一次不等式組”問題設(shè)計(jì)。

“一元一次不等式組”為蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）第11章“一元一次不等式”第6節(jié)的教學(xué)內(nèi)容?！胺匠探M”與“不等式組”是不同的知識(shí)，但是上升到“數(shù)量關(guān)系”層面后，它們會(huì)有許多相似之處。比如，“一元一次方程”和“一元一次不等式”的定義、解，“二元一次方程組”和“二元一次不等式組”的解，都有類似之處。因此，本節(jié)課就可以通過尋求“方程（絹）”與“不等式（組）”之問的聯(lián)系來設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)想、類比、對(duì)比等數(shù)學(xué)思維方式，自主建構(gòu)新知。具體設(shè)計(jì)如下：

環(huán)節(jié)1：?jiǎn)栴}導(dǎo)學(xué)。

問題1：一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，長(zhǎng)比寬多2cm。設(shè)長(zhǎng)、寬分別為xcm、ycm，試列出二元一次方程組表示這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間的數(shù)量關(guān)系。

追問1：基于以上信息，你將提出哪些問題，又將如何解決？

追問2：你建立方程或方程組的根據(jù)是什么？

問題2：二元一次方程x-y=2的解有多少個(gè)？二元一次方程2x+2y=16的解有多少個(gè)？二元一次方程組x-y=2，2x+2y=16的解有多少個(gè)？是如何確定的？

環(huán)節(jié)2：探索活動(dòng)。

活動(dòng)1：構(gòu)建一元一次不等式組的概念。

問題：小麗早晨7時(shí)30分騎自行車上學(xué)，要在7時(shí)50分至7時(shí)55分之間到達(dá)離家3400m的學(xué)校。小麗騎自行車的速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

追問1：?jiǎn)栴}中包含的數(shù)量關(guān)系是什么？

追問2：如果設(shè)小麗騎自行車的速度為xm/min，那么，如何表示以上數(shù)量關(guān)系呢？

追問3：?jiǎn)栴}中的未知數(shù)x應(yīng)該滿足什么條件？

活動(dòng)2：解不等式組。

問題：類比二元一次方程組的求解過程，請(qǐng)你思考，如何確定使一元一次不等式組20x≤3400，25x≥3400中兩個(gè)一次不等式都成立的未知數(shù)x的值。

問題1是“從問題到方程（組）”的問題設(shè)計(jì)，問題2是“確定二元一次方程組的解”的問題設(shè)計(jì)。案例3告訴我們，學(xué)習(xí)不等式，可以尋求它與方程的聯(lián)系。以此類推，學(xué)習(xí)任何知識(shí)點(diǎn)，教師都可以引導(dǎo)學(xué)生尋求相應(yīng)的聯(lián)系，從而培養(yǎng)前后貫通、舉一反三的思維方式。

總之，“基于初中生思維力生長(zhǎng)的問題導(dǎo)學(xué)式課堂”的核心是問題。在教師精心設(shè)計(jì)的問題的引導(dǎo)下，在解決問題的過程中，學(xué)生獲得了知識(shí)與技能，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力，提高了學(xué)科核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）