鞅極大算子的一類四權(quán)弱型不等式

任顏波 張二鑫 王靜

(河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，洛陽，471023)

1 引言

Muckenhoupt[1]證明了Hardy-Littlewood極大函數(shù)的兩權(quán)弱(p,p)型不等式成立當且僅當權(quán)滿足Αp條件(1

在鞅論中, 與Hardy-Littlewood極大函數(shù)對應(yīng)的是鞅Doob極大算子, 它們之間存在諸多類似的性質(zhì). 鞅極大算子的加權(quán)理論伴隨著Hardy-Littlewood極大函數(shù)加權(quán)理論的發(fā)展而發(fā)展, 如今已成為鞅論的重要組成部分. 這里僅介紹與本文相關(guān)的部分工作. 1986年，龍瑞麟和彭立中研究了關(guān)于鞅極大算子的兩權(quán)弱(p,q)型不等式, 得到其成立的充分必要條件[13]. 2003年, Kikuchi研究了鞅極大算子的兩權(quán)弱(Φ,Φ)型不等式[9], 鞅極大算子的兩權(quán)弱(Φ1,Φ2)型不等式分別在[10]和[11]中被研究. 最近, 任顏波研究了鞅極大算子的四權(quán)弱(Φ1,Φ2)型不等式, 得到其成立的一些充分必要條件[16].

本文進一步研究加權(quán)不等式

(1.1)

在本文中, 我們充分利用條件期望的性質(zhì)和Young不等式, 給出加權(quán)不等式(1.1)成立的一些新的充要條件. 特別地，我們得到它對偶形式的加權(quán)不等式, 從而推廣已有的相關(guān)結(jié)果.

全文由三部分組成. 在下一節(jié)中將給出本文所需要的一些基本知識. 在第三節(jié)中將給出主要結(jié)果以及它們的證明.

2 預備知識

(ii) 0

φ的右連續(xù)逆定義為ψ(t)=inf{s∈(0,∞):φ(s)≥t},t∈(0,∞). 稱

為函數(shù)Φ的補函數(shù). Ψ為N-函數(shù)當且僅當Φ為N-函數(shù)，它們滿足Young不等式

st≤Φ(s)+Ψ(t).

若(Φ,Ψ)為一對互補的N-函數(shù), 則有

(2.1)

有關(guān)鞅理論和Orlicz空間理論的更多詳細知識, 讀者可參考[16,17,20].

在本文中, 權(quán)意指幾乎處處為正的可積隨機變量. 我們分別用和表示非負整數(shù)的集合和整數(shù)的集合. 用C和C1等來表示正的常數(shù), 允許在不同的地方取不同的值.

3 主要結(jié)果及證明

引理1設(shè)(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對互補的N-函數(shù),ωi(i=1,2,3,4)為權(quán), 則以下三條等價:

(i)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C1>0, 使得

(3.1)

(ii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C2>0, 使得

(iii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C3>0, 使得

證明下面證明(i)?(ii)?(iii)?(i).

(i)?(ii). 設(shè)(fn)n≥0∈M. 對于任意的A∈Fn和λ∈(0,∞), 由(3.1)式有

其中上式中的χ(A)表示集合A的特征函數(shù), 從而有

對于任意的k∈, 令Bk={2k<|fn|≤2k+1}?{2k<|fn|}, 則對于任意的B∈Fn, 有

從而有

(ii)?(iii). 顯然.

(iii)?(i). 對λ∈(0,∞), 定義τ=inf{n∈:|fn|>λ}∈T, inf?=∞. 則{τ<∞}={f*>λ}， 且在{τ<∞}上有|fτ|>λ. 由(iii)可以得到

≤C3

引理證畢.

引理2設(shè)A為F的一個子σ-代數(shù), (Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對互補的N-函數(shù),ωi(i=1,2,3,4)為權(quán), 則以下兩條等價:

(i)存在常數(shù)C>0, 對任意正的隨機變量x, 有

(3.2)

(ii)存在常數(shù)C1>0, 對任意正的隨機變量x, 有

(3.3)

證明(i)?(ii). 對任意k∈， 令由Young不等式, (3.2)式和(2.1)式, 得

再令k→∞， 便可得到(3.3).

(ii)?(i)與(i)?(ii)類似, 這里不再贅述.

引理證畢.

引理3[16]設(shè)(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對互補的N-函數(shù),ωi(i=1,2,3,4)為權(quán), 則以下諸條等價:

(i)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C1>0, 使得

(ii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C2>0, 使得

(Φ1(|fn|ω1)ω2|Fn)≤C2(Φ2(C2|f∞|ω3)ω4|Fn)a.e. ?n∈；

(iii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C3>0, 使得

(Φ1(|fτ|ω1)ω2|Fτ)≤C3(Φ2(C3|f∞|ω3)ω4|Fτ)a.e. ?τ∈T；

(iv)存在常數(shù)C4>0和ε>0, 使得對任意正的Fn-可測的隨機變量λ, 有

(v)存在常數(shù)C5>0和ε1>0, 使得對任意正的Fn-可測的隨機變量λ, 有

?n∈.

由引理1-3, 我們可得到如下定理:

定理1設(shè)(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對互補的N-函數(shù),ωi(i=1,2,3,4)為權(quán), 則以下諸條等價:

(i)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C1>0, 使得

(ii) 存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C2>0, 使得

(iii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C3>0, 使得

(iv)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C4>0, 使得

(v)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C5>0, 使得

(Φ1(|fn|ω1)ω2|Fn)≤C5(Φ2(C5|f∞|ω3)ω4|Fn)a.e. ?n∈；

(vi)存在與f=(fn)n≥0∈無關(guān)的常數(shù)C6>0, 使得

(Φ1(|fτ|ω1)ω2|Fτ)≤C6(Φ2(C6|f∞|ω3)ω4|Fτ)a.e. ?τ∈T；

(vii)存在常數(shù)C7>0和ε>0, 使得對任意正的Fn-可測的隨機變量λ, 有

(viii)存在常數(shù)C8>0和ε1>0, 使得對任意正的Fn-可測的隨機變量λ, 有

?n∈.