Bell多項式法構造二維kortewegdevries方程的雙線性變換和Backlund變換

翟文研

摘 ?要：在本文中，基于雙線性交換公式，我們提出了一種在孤子系統中構造Backlund的方法，用Bell多項式方法，通過符號計算，構造了非線性 kortewegde vries（kdv）方程的雙線性方程以及Backlund變換. 該模型是基于Lax對，推導出了帶有一個輔助變量的Bell多項式，并將其轉化為了雙線性形式. 根據主域和副域之間的耦合雙場條件，構造了Bell多項式型的Backlund變換，并將其轉化為雙線性形式. 通過求解雙線性方程和Backlund變化方程，可得出孤子解. 對進一步研究其他二維非線性系統以及高維系統有一定的參考價值。

關鍵詞：Bell多項式;Backlund變換;雙線性方程;

引言

在處理數學物理的非線性模型當中，會用到數值和解析方法. Bell多項式方法是一種直接的系統方法，其求解過程主要包括以下步驟：（1）利用原始的非線性模型在比例變換下的不變性，推導出其Bell多項式的表達式;（2）在主域和副域之間分解齊次約束，來構造合適的Bell多項式型Backlund變換. 通常用Bell多項式及其導數的線性組合表示;（3）通過HopfCole變換將多項式線性化，以確定相應的lax對. Bell多項式與Hirota雙線性方法之間有著密切的聯系. 一般來說，Bell多項式可以推廣到原來的雙線性方程和雙線性Backlund變換. 目前應用此方法，已經得到了一批廣義雙線性算子，并且探討了線性疊加原理何時可以應用于重構廣義雙線性微分方程. 由此得到的雙線性微分方程具有特殊的多項式和線性疊加原理，并可應用于它們的線性子空間解的結構中。此外，通過引入三線性微分算子并將其應用于三線性微分方程的構造，將疊加原理應用于構造指數波的共振解，而由此得到的三線性微分算子和方程是Bell多項式的特有屬性. ?在Bell多項式操作的框架內，已經討論了一些非線性模型，如 burgershopf模型、潛在的 kortewegde vries（kdv）模型、modied kdv 模型、潛在的 sawadakotera 模型、sinegordon 模型、boussinesq 模型和 ablowitzkaupnewellsegur模型. 注意對于其他一些非線性模型，在Bell多項式處理中可引入一個或多個輔助自變量，如淺水波動方程，二維kdvequation，（2 +1）-和（3 + 1）-維破裂孤子方程，sinegordonton 方程，以及 boussinesq方程. 本文利用Bell多項式和雙線性方法研究了二維 kdv 模型的雙線性表示、Backlund變換：

3.小結

本文主要給出了Bell多項式法求解非線性KDV方程的雙線性以及對應的Backlund變換. 將帶有輔助自變量的Bell多項式推廣到其他類型的偏微分方程中，如變系數微分方程，高維方程以及耦合方程.可以有效得到不同方程的雙線性形式和Backlund變換，對于進一步求解有一定的參考價值.

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