淺談變式與建模思想在方程解決實際問題中的應用

戰艷芝

摘 ?要：初中數學課堂都是以學生熟悉的問題為背景設計問題，同時引導學生積極思考、認真探究。基于初中數學的學科素養，鍛煉以及培養學生的自主學習能力。形成一個以學生為主體的課堂。教師通過用變式課堂讓學生對用方程解決實際問題產生興趣，激活學生的思維，創造性的解決問題，發現解決問題的方法，建立數學模型，提高學習效率。

關鍵詞：變式;方程;建模;實際問題

在日常教學中，我們需要解決地實際問題有很多，需要借助數學知識來解決。方程是分析和解決問題的一種很有用的數學工具。作為教師應該充分發揮聰明才智，發現課本以及練習冊習題的豐富內涵，對教材中的習題從題設，結論等多方面挖掘，變式為新的問題，引導學生進行探究、發現學習，讓學生感受知識的生成和發展過程，對每一類問題形成一個解題的模型。本文結合數學教學中用方程解決實際問題的教學實例[1]，探討初中數學教學中變式教學以及建立數學模型的重要性。

一、用方程解決實際問題的變式

配套問題是人們生產和生活過程中最常見的問題，我們要借助方程思想來解決實際問題。“正好配套”的含義是：兩種總量存在著倍數關系，這個關系是列方程所用到的等量關系。

1.教材例題分析

〖例〗某車間有22名工人，每人每天可以生產1200個螺釘或2000個螺母。1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產螺釘和螺母的工人各多少名？

此題的關鍵是“1個螺釘配2個螺母”，根據1：2的比例列出方程。

通過分析得出關系式：

（1）生產螺釘的工人人數+生產螺母的工人人數=22名

（2）螺釘的總個數：螺母的總個數=1：2（螺釘的總個數×2=螺母的總個數×1）

①用一元一次方程解題：用第一個關系式設未知數（設一個未知數），第二個關系式列方程。

解：設應安排生產螺釘的工人 名，安排生產螺母的工人 名。

根據關系式列出方程

②用二元一次方程組解題：設兩個未知數，把兩個關系式用未知數表示出來。

解：設應安排生產螺釘的工人 名，安排生產螺母的工人 名。

根據關系式列出方程組

2.在實際應用問題中的變式

〖變式1〗某工地需要派48人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土5方或運土3方，那么怎樣安排人員正好能使挖的土及時運走？

該題沒有明確說出配比關系，需要自己分析。該題的關鍵在于“正好能使挖的土及時運走”，實際隱含條件配套比例是1：1。

通過分析得出關系式：

（1）挖土的人數+運土的人數=48人

（2）挖土的量：運土的量=1：1（挖土的量=運土的量）

①用一元一次方程解題：

解：設安排挖土的的人員為 人，安排運土的人員為 人。

根據關系式列出方程

②用二元一次方程組解題：

解：設安排挖土的的人員為 人，安排運土的人員為 人。

根據關系式列出方程組

〖變式2〗某服裝廠要生產某種型號的學生校服，已知3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，庫內存這種布料600m，應如何分配布料做上衣和褲子才能恰好配套？

該題的比例明確是1：1，但題目中的“3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條”和基礎的配套題有差別，需要學生自己分析。基礎的配套題都是一人一天做多少工作或者是1m能做多少。我們可以分析出“1m長的某種布料可做上衣 件或褲子1條”

通過分析得出關系式：

（1）做上衣的布料+做褲子的布料=600m

（2）上衣的件數：褲子的件數=1：1（上衣的件數=褲子的件數）

①用一元一次方程解題：

解：設分配 m布料做上衣， m布料做褲子。

根據關系式列出方程

②用二元一次方程組解題：

解：設分配 m布料做上衣， m布料做褲子。

根據關系式列出方程組

〖變式3〗某糕點廠中秋節前要制作一批盒裝月餅，每盒中裝2塊大月餅和4塊小月餅，制作1塊大月餅要用0.05kg面粉，1塊小月餅要用0.02kg面粉，現共有面粉4500kg，制作兩種月餅應各用多少面粉，才能生產最多的盒裝月餅？

該題的關鍵在于“每盒中裝2塊大月餅和4塊小月餅”，分析得出配套比例為2：4。在題目中我們需要得出1kg面粉可以做多少塊大月餅或者小月餅，所以在分析和列方程的過程中需要用制作大月餅的面粉量÷0.05得出大月餅的總塊數，用制作小月餅的面粉量÷0.02得出小月餅的總塊數。

通過分析得出關系式：

（1）制作大月餅所需面粉+制作小月餅所需面粉=4500kg

（2）大月餅的塊數：小月餅的塊數=2：4（大月餅的塊數×4=小月餅的塊數×2）

①用一元一次方程解題：

解：設制作大月餅應用 kg面粉，制作小月餅應用 kg面粉。

根據關系式列出方程

②用二元一次方程組解題：

根據關系式列出方程組

二、建模思想

通過以上例題及變式題的分析，配套問題首先要在題目中找出配套的比例關系以及人數或者材料的總數關系。然后設未知數或者列方程組。

配套問題中的人數或材料總量分為兩部分，在這里即為①和②。

1.用一元一次方程解決配套問題的模型（設一個未知數）

最后列出方程等式：

×①每單位完成的工作量×②的比例=（總數- ）×②每單位完成的工作量×①的比例

2.用二元一次方程組解決配套問題的模型（設兩個未知數）

設分配給①的數量設為 ，分配給②的數量設為 。

根據兩個關系式列出方程組：

三、結語

我們可以得知在數學教學過程中，我們的練習題可以一題多解，同時一類題型可以總結出一種解題方法，即多題一解，也就是對同一類題可以建立數學模型。總之，教師應該立足課堂，精心設計練習，多做變式練習。讓學生能自己抓住問題的特點，分析其數量關系，建立該類題型的數學模型，從而提高數學課堂的教學效率，培養學生解決實際問題的能力。

參考文獻

[1] ?林大鵬.基于建模思想的“列方程解決實際問題”的教學與思考[J].小學教學參考，2013（26）：40.