考慮廣義時間價值的串行退化生產系統維護更新策略

杜 煜，李雨青，張秀芳，潘爾順

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

隨著現代制造類企業生產規模的不斷擴大，對生產系統的穩定性和可靠性的要求越來越高，因此，良好的維護和更新策略對于生產系統的健康運行有著至關重要的作用.串行系統是一類常見的生產加工系統(如汽車發動機5C件生產線)，對于多工序流水生產線，機會維護策略可以有效節省因設備維護產生的停產損失，提高生產的連續性，故采用機會維護策略進行維護，并在維護策略的基礎上制定系統的更新策略.關于多設備系統的維護策略，許多學者進行了研究.余佳迪等[1]以帶緩存的兩設備串行系統為研究對象，考慮上下游設備同時故障的情況，構建了系統總成本最小的設備預防性維護模型.Lu等[2]針對具有中間緩沖的多設備串行系統進行了建模優化.以上研究均考慮緩存空間，但沒有考慮設備退化時引起的次品率上升的問題.陶紅玉等[3]用Gamma分布描述設備的退化過程，構建了隨機退化串行系統的機會維護模型，并確定了最優檢測周期，但其結果是在設備退化量被定周期連續監測的條件下求得，且設備服從同一退化分布，很難與實際相符.候文瑞等[4]以串行生產系統為研究對象，采用機會維護策略，利用費效比決策系統內設備的維護更新行為，但在計算成本時僅考慮了系統維護時的成本，未考慮生產引發的成本，也未對維護閾值進行優化決策，且其系統可能存在可用度過低的風險.Zhou等[5]通過最小化系統成本，對串行系統提出了基于機會維護下的預防性維護算法.Xia等[6-8]提出了多特征值模型，在同時考慮成本及可用度兩個目標函數前提下，決策設備最優的預防性維護周期.通過設定維護時間窗，動態地利用混聯系統中的維護機會，從而實現縮減系統成本的目的，并且提出聯合生產計劃以及預防性維護的調度問題，通過機會維護方式，降低了系統維護成本.以上研究的不足之處在于，均未考慮廣義時間價值的作用.

在制定設備的更新策略時，大多數生產企業仍然采用以固定的工作年齡、故障次數或維護次數為依據的傳統策略，主要采用更新過程定理和平均成本率最低的方法.賈積身等[9]針對修理工單重休假的可修系統，比較了以工作時間和故障次數為依據的更新策略，但現實中修理工往往會輪班，不存在休假，故實際應用意義不大.Gao等[10]利用更新過程理論，研究了具有兩類故障模式(可修和不可修)的單機系統，求出了長期運行單位成本最低的維護次數,但未考慮系統可用度的變化.Song等[11]研究了受限于δ隨機沖擊的退化系統最優更新策略，將系統維護時間和失效機制分別假設成幾何過程和δ沖擊過程，以長期運行單位成本最低為目標求解最優維護次數,但仍未考慮系統可用度的變化.Wang等[12]研究了具有定周期檢測和隨機故障的可修-替換系統，結合更新過程決策使系統成本率最小的檢測時間和故障次數,但假設維護行為是對設備年齡的影響，而不是對退化狀態的影響.Zhao等[13]針對某施工企業混凝土攪拌車基于網絡模型，將設備更新問題轉化為圖論的最短路徑問題，解決了設備更新方案的選擇問題，但是該方法并沒有考慮不同維護策略下的改變.Chang[14]提出了工作時間-故障類型的二元更新策略，并且對該模型進行了二次延展，進而給出了延展模型的最優預防性維護排程.類似地，以上文獻提出的更新策略均未考慮廣義時間價值的作用.

設備的廣義時間價值(generalized time value, GTV)指的是隨著技術進步，市面上出現了性能更優、效率更高以及經濟性更好的設備并被廣泛采用，導致企業當前設備的重置成本降低，使用費用相對變高，所生產商品的競爭性下降，最終致使設備在因老化失效無法完成規定功能之前，用新設備代替舊設備成為必然，因此縮短了設備的服務壽命.目前，針對設備具有廣義時間價值的問題，對相關維護更新策略進行數學分析的研究尚屬空白.

鑒于此，本文提出了一種全新的考慮廣義時間價值的串行退化生產系統維護更新策略.首先建立設備層維護模型，將設備的維護時間看作關于設備退化度和維護次數的函數，提出退化度恢復因子；隨后根據考慮廣義時間價值的設備維護成本、維護效果以及設備可用度決策設備的維護更新行為，建立系統層維護更新模型.算例仿真對設備維護閾值進行了優化決策，并給出了系統的維護排程以及各組成設備的更新時間，證實了廣義時間價值對串行退化系統內設備更新時間的影響.

1 問題描述與假設

串行生產系統如圖1所示.系統由n臺設備串聯而成，分別負責n道不同的工序.工序之間不設置緩沖站，且負責不同工序的設備不同.設Ex為負責系統第x道工序的設備，當設備Ex停機時，整個系統停機.采用機會維護策略對系統進行維護，維護行為主要包括：預防性維護，機會預防性維護(簡稱機會維護)，設備更新以及設備機會更新.其中預防性維護和機會維護均為不完美維護(如除塵、潤滑、更換部分零配件等)，只能使設備的退化狀態在一定程度上得到恢復，不能使設備恢復如初.更新和機會更新均為完美維護，即用新設備替換舊設備或用新部件替換舊部件，使其恢復如新.當系統運行至某一時刻t，設備Ex的退化度Fx第i次到達預防性維護閾值DPM，系統須停機對設備Ex進行預防性維護或者更新.與此同時，對退化度達到機會維護閾值DOM的其他設備進行機會維護或者機會更新.DPM和DOM可以通過分析歷史運行數據得到，也可以通過設定目標函數優化求得.研究串行生產系統在該機會維護策略下的維護排程，各組成設備的更新時間以及廣義時間價值對設備更新時間的影響是本文的主要研究目標.

圖1 串行生產系統模型Fig.1 Model of series system

假設：

(1) 串行系統中的所有組成設備在正常工作中的突發性故障用小修恢復，小修不改變設備的退化狀態，僅恢復設備功能，且時間和費用很小，可忽略不計.

(2) 串行系統各工序在任意時刻的生產能力均保持平衡，除設備維修維護和更新外，系統無停機.

(3) 設串行系統所有組成設備的生產能力保持不變，設備生產的在制品中出現次品的概率與該設備的退化度成正比.

則有：

式中：rx(t)和Fx(t)分別表示設備Ex在t時刻的次品率和退化度.

2 設備層維護策略建模

2.1 設備層退化模型

Gamma過程為隨機退化過程提供了有效工具，本文采用Gamma過程對設備的退化進行建模.Gamma過程具有以下特性：

(1)X(0)=0；

(2) {X(t),t≥0}具有獨立穩定的增量；

(3)對于任意的t>0,Δt>0，

ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t)～Ga(αΔt,β)

其中：X(t)為退化量；α為形狀參數，β為尺度參數，滿足α>0，β>0；G(αΔt,β)為Gamma分布密度函數，

G(x|αΔt,β)=

Δt為時間差；Γ為Gamma函數，且有

為指示函數，當x∈(0,∞)時，I(0,∞)(x)=1，其他情況為0.

對于一臺設備而言，當其退化量達到某一事先預設的閾值后就會失效.設設備Ex的退化量閾值為dx，在t時刻的退化量為Xx(t)，將設備Ex在t時刻的退化度Fx(t)定義為Xx(t)>dx的概率，具體可用下式表示：

(3)

式中：fXx(t)(x)=G(x|αt,β)表示t時刻設備Ex退化量的概率分布密度函數.

2.2 設備層維護模型

2.2.1維護效果 如圖2所示，設備每次維護后的退化度應不低于設備前一次維護后的退化度，引入退化度恢復因子ε，第i次預防性維護對設備Ex的維護效果可表示為

(4)

圖2 設備退化度演化模型Fig.2 Evolution model of degradation degree

2.2.2維護時間 預防性維護時間的長度通常依賴于F(t)，并與設備已經歷的維護次數i有關.一般而言，相較于一臺年輕設備，維護一臺嚴重老化的設備需要消耗更多的時間.因此，設設備Ex第i次預防性維護的時長mx i可表示為

(5)

式中：h,b為維護時間參數，且滿足01.h,b可以假定，也可以通過已有數據進行函數擬合求出.

3 系統層維護更新策略建模

3.1 維護策略

假設串行系統在ti時刻有設備的退化度達到DPM，系統進入第i次停機維護，引入維護因子axi判別設備Ex在第i次系統維護時是否需要維護或者更新：

(6)

式中：ax i=1表示設備Ex需要進行維護或者更新；ax i=0表示設備Ex不需要維護或者更新.再引入狀態因子ωx i判斷設備Ex采取的維護方式：

(7)

式中：ωx i=-1表示設備Ex停機，ax i=0時必然有ωx i=-1；ωx i=0表示設備Ex進行更新或機會更新；ωx i=1表示設備Ex進行預防性維護或機會維護.ωx i具體如何決策將在3.3節中詳述.結合ax i和ωx i可得設備Ex在系統第i次停機維護過程中需要占用的維護時長mx i為

(8)

式中：px為設備Ex所需的更新時長：φx i表示系統第i次停機前，設備Ex已進行的預防性維護次數.經推導φx i滿足關于i的遞推數列：

(9)

系統第i次停機維護的時間Mi取決于所有待維護或更新的設備中所需耗時最長的設備.將所有設備的維護時間mx i寫成矩陣的形式Ai，則Mi為矩陣Ai中的最大值：

對設備Ex在系統第i次停機維護前后的退化度Fx(t)變化進行推導.

(1)axi=0，ωxi=-1，設備Ex停機，則Fx(t)變化如下：

(12)

(2)ax i=1，ωx i=0，設備Ex更新或者機會更新，則Fx(t)變化如下：

(13)

(3)axi=1，ωxi=1，設備Ex進行預防性維護或者機會維護，則Fx(t)變化如下：

(14)

經推導，Txi滿足關于i的遞推數列：

(15)

Fx(t)=

(16)

(17)

式(17)中的其他參數可以從系統的維護記錄中獲得，則設備Ex在任意時刻的退化度均可求出.

3.2 維護成本

維護成本一直是生產系統維護更新策略中用來衡量策略表現的重要指標，從不同的角度考慮，其所包含的項目不同.如果不考慮廣義時間價值，本文中設備Ex的維護成本包括預防性維護成本、更新成本、停產損失成本以及次品成本.如果考慮廣義時間價值，維護成本除了以上提到的項目還包含：① 因設備重置成本持續降低導致單位時間折舊費用增加的成本；② 因技術落后導致的單位時間生產費用上升的成本；③ 因技術落后導致系統生產的商品缺乏競爭力，致使單位商品利潤率下降的成本.

(18)

(19)

(20)

(3) 設備Ex在t時刻次品率的表達式為rx(t)=rFFx(t).故系統生產出次品在設備Ex分攤額為

(21)

(4) 設備的折舊時間不僅包含工作時間，還包含維護時間和停機時間，故設備Ex因廣義時間價值增加的折舊費用為

(22)

(5) 設備Ex由于廣義時間價值增加的生產費用為

(23)

(6) 由于次品不能用于銷售，在計算產成品利潤時需要減去.故系統所生產商品的利潤下降額在設備Ex上的分攤額為

(24)

綜上，考慮廣義時間價值，系統第i-1次停機維護結束至第i次停機維護結束期間，設備Ex的總維護成本Cxi可表示為

(25)

3.3 更新策略

(26)

(27)

通過對比設備Ex進行預防性維護和更新時Kxi的大小，即可對ωxi的取值進行決策，同時還要考慮設備Ex可用度的變化.設備可用度表示設備在一段時間內工作時間與總時間的比值，由于在本文中，設備的停機是由于其他設備需要進行維護，系統無法進行生產造成的，并非出自自身原因，故這里沒有將設備的停機時間計入總時間，設備Ex在ti時刻的可用度Axi可表示為

(28)

(29)

則依次可得到該串行生產系統各設備在系統每次維護時的維護行為，進而得到各設備的更新時間.

4 算例分析

4.1 算例建模與求解

圖3 串行生產系統示意圖Fig.3 Structure of series system

本文以某發動機零部件串行生產系統為例，對以上維護更新策略進行數值分析.該生產系統有負責5道不同工序的5種不用類型的設備，分別為磨床、車床、銑床、輥壓機床和拋光機，該串行生產系統模型及設備編號如圖3所示.各設備的退化過程服從參數不同的Gamma分布，根據生產實際以及部分參考文獻[3-4]，設置：

ε=0.85，rF=50%

h=5，b=0.95

px=5 d (x=1,2,…,5)

A0=0.6，Ld=10 000

d=100件，cpro=100元

其他維護與成本參數見表1.

首先對設備的DPM和DOM進行優化決策，以串行生產系統500天內的所有設備的維護成本和Csys為優化判據，Csys可表示為

(30)

表1 維護與成本參數Tab.1 Parameters of maintenance and cost

表2 預防性維護計劃Tab.2 PM schedule

表3 設備更新時間與維護次數Tab.3 Replacement time and PM times

圖4 設備退化度與可用度變化過程Fig.4 Evolution of degradation degree and availability

取使得Csys最小的閾值組合(DPM,DOM)作為該串行系統維護閾值.采用MATLAB編程計算，通過遍歷DPM∈[0.1,0.9]，DPM∈[0.1,DPM]內的所有組合得到使Csys最小的閾值組合為DPM=0.85，DOM=0.7，所得的最小成本Csys=347.69萬元.

令DPM=0.85，DOM=0.7，采用MATLAB編程計算得到該串行生產系統在所有設備均完成一次更新前的維護工作排程如表2所示(由于篇幅有限，只列舉了系統前4次停機和有設備更新時的維護排程).表中：1代表預防性維護和機會維護；0代表更新；空白代表停機；…代表省略的維護排程.各工序設備的首次更新時間以及更新前經歷的維護次數如表3所示.各設備的退化度隨時間的演變過程以及可用度隨維護次數的演變過程如圖4所示.

4.2 結果分析

由圖4可知：所有設備的更新原因在于Km>Kp，設備可用度均未超出限值.分析表3可知：負責不同工序的設備，其更新時間均相差較大，說明針對串行生產系統的更新策略應該針對單臺設備具體實施，此操作比系統整體更新的策略更加準確.

由表3可知：不考慮廣義時間價值下，各設備的更新時間均大于考慮廣義時間價值下的值.進一步說明，廣義時間價值會加速設備的老化，縮短設備的使用壽命.

5 結語

考慮廣義時間價值，針對串行退化生產系統進行了維護更新策略的研究.提出了設備層維護模型以及系統層的維護更新模型，算例仿真優化了設備維護閾值，證實了廣義時間價值會加速設備的老化，縮短設備使用壽命的作用，為企業制定串行系統維護更新策略提供了新的嘗試.然而，本文在建立生產系統模型時未考慮緩存空間的作用，故還有待進一步深入研究.