Schwarz Christoffel 變換在曲流河地質(zhì)建模中的應(yīng)用

王玉風(fēng)，陳昭衡

（1.隴東學(xué)院能源工程學(xué)院，甘肅慶陽(yáng) 745100；2.中國(guó)石油天然氣股份有限公司長(zhǎng)慶油田分公司第八采油廠，陜西西安 710021）

曲流河致密砂巖儲(chǔ)層物性非均質(zhì)強(qiáng)，物性分布復(fù)雜，如何精確模擬曲流河沉積相致密砂巖儲(chǔ)層是油藏開(kāi)發(fā)階段研究的一個(gè)核心內(nèi)容，但模擬要基于地質(zhì)靜態(tài)的地質(zhì)模型，地質(zhì)模型是對(duì)油氣藏的類型、幾何形態(tài)、規(guī)模大小、油藏內(nèi)部結(jié)構(gòu)、儲(chǔ)層參數(shù)及流體分布的高度概括，同時(shí)也是油藏綜合評(píng)價(jià)的地質(zhì)基礎(chǔ)、油藏?cái)?shù)值模擬的必要參數(shù)以及油藏開(kāi)發(fā)調(diào)整方案的直接依據(jù)。國(guó)內(nèi)對(duì)于曲流河的地質(zhì)建模方法，一般都是基于常規(guī)的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行建模研究[1-5]。基于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的屬性數(shù)據(jù)模擬，這些屬性數(shù)據(jù)分布的趨勢(shì)與變差函數(shù)有著密切的關(guān)系。在曲流河沉積的區(qū)域，河道多次變遷、改向使得很難用變差函數(shù)來(lái)控制約束屬性數(shù)據(jù)的方向。為此提出了Schwarz Christoffel 映射變換模型，將曲流河沿著河道映射到矩形區(qū)域，在矩形區(qū)域中按照常規(guī)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行模型建立并預(yù)測(cè)屬性參數(shù)。Schwarz Christoffel 變換能夠把一個(gè)二維空間上復(fù)雜邊界幾何體映射到另一個(gè)二維空間上形狀簡(jiǎn)單的幾何體，從而可以簡(jiǎn)化工程中復(fù)雜邊界問(wèn)題的處理。因此借助Schwarz Christoffel 變換方法，把曲流河沿著河道方向映射到矩形區(qū)域，映射后的模型保證河道方向唯一性。在Schwarz Christoffel 變換方面，諸多學(xué)者做了大量的研究。從多邊形帶狀區(qū)域到矩形區(qū)域的Schwarz Christoffel 變換映射，需要借助帶狀過(guò)度區(qū)域輔助完成映射。先將多邊形帶狀區(qū)域映射到上半平面的兩端開(kāi)口的帶狀過(guò)度區(qū)域，帶狀過(guò)度區(qū)域的高度為1，然后借助雅克比橢圓函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，將帶狀過(guò)度區(qū)域邊界映射到矩形區(qū)域邊界[7]。在Schwarz Christoffel 映射變數(shù)值計(jì)算時(shí)，多邊形帶狀區(qū)域形狀與矩形區(qū)域的形狀差異大，或映射點(diǎn)選擇不當(dāng)，將導(dǎo)致計(jì)算速度慢，計(jì)算結(jié)果精度低[8，9]。多邊形帶狀區(qū)域到帶狀過(guò)度區(qū)域的Schwarz Christoffel 變換數(shù)值計(jì)算時(shí)，存在奇異積分方程的計(jì)算。對(duì)于奇異積分方程處理時(shí)，需要借助高斯雅克比積分方法進(jìn)行求解。高斯雅克比積分求解時(shí)的難點(diǎn)在于如何選擇積分節(jié)點(diǎn)數(shù)量及積分的路徑長(zhǎng)度，Tobin A 和Eugenio Costamagna 提出了解決辦法[9，10]。Schwarz Christoffel 邊界映射計(jì)算都要受到邊界映射點(diǎn)位的約束，要遵循黎曼原理。王玉風(fēng)等根據(jù)文獻(xiàn)[11，12]對(duì)實(shí)參數(shù)的變換方法，結(jié)合文獻(xiàn)[7]變換思想，建立復(fù)參數(shù)與實(shí)參數(shù)的變換關(guān)系，解決了邊界映射參數(shù)的約束問(wèn)題。

借鑒這些學(xué)者的研究成果，根據(jù)曲流河的特點(diǎn)，將帶狀不規(guī)則曲流河邊界進(jìn)行離散，形成封閉的多邊形帶狀區(qū)域。根據(jù)Schwarz Christoffel 變換的基本思想及曲流河形狀與矩形區(qū)域形狀的相似關(guān)系，將曲流河邊界沿著河流的流向映射到矩形規(guī)則區(qū)域，曲流河中的井位等相關(guān)參數(shù)映射到規(guī)則矩形區(qū)域進(jìn)行地質(zhì)模型的建立與分析。經(jīng)過(guò)映射之后，規(guī)則區(qū)域中河流的流向與矩形邊界平行或垂直，因此對(duì)于映射后的矩形區(qū)域油藏而言，儲(chǔ)層物性沿著河道的分布方向基本統(tǒng)一。通過(guò)上述映射變換的模擬，使得模擬的結(jié)果更加符合實(shí)際的沉積情況。

1 基本數(shù)學(xué)原理

在復(fù)平面w（封閉多邊形區(qū)域）上有N（N≥4）邊形，它的頂點(diǎn)與內(nèi)角分別為wb（k）和παk（k=1，2，…N）。將帶狀區(qū)域z 邊界上的點(diǎn)映射到復(fù)平面w 多邊形區(qū)域頂點(diǎn)的Schwarz Christoffel 映射公式為：

式中：A-伸縮系數(shù)；C-映射中心，m；wb（k）-多邊形區(qū)域邊界點(diǎn)，m；zb（k）-帶狀過(guò)度區(qū)域邊界點(diǎn)，m；fj（ξ）-分段函數(shù)，具體表達(dá)式如下：

式中：i-虛數(shù)單位；M-帶狀區(qū)域下邊界點(diǎn)的總個(gè)數(shù)；N-復(fù)平面w 多邊形區(qū)域頂點(diǎn)的總個(gè)數(shù)；θ+-帶狀區(qū)域左邊的無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的角度，rad，則θ+=π；θ--帶狀區(qū)域右邊的無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的角度，rad，則θ-=-π。

若已知矩形基本參數(shù)，即映射模量，則矩形區(qū)域邊界到帶狀區(qū)域邊界的Schwarz Christoffel 映射可由（3）式表示：

式中：ub（k）-矩形區(qū)域邊界點(diǎn)位，m；l-第一類橢圓函數(shù)的映射模量，由選擇映射的矩形頂點(diǎn)決定。關(guān)于（2）式與（3）式邊界映射的計(jì)算方法在文獻(xiàn)[6]中已有詳細(xì)論述。

2 實(shí)例分析

2.1 X 油藏基本情況

X 油田2000 年發(fā)現(xiàn)，位于鄂爾多斯盆地，其勘探開(kāi)發(fā)主要經(jīng)歷了三個(gè)階段，第一階段15×104t 方案編制實(shí)施、第二階段全油田20×104t 方案編制實(shí)施滾動(dòng)增儲(chǔ)上產(chǎn)、第三階段全油田50×104t 產(chǎn)能方案編制及實(shí)施。到2017 年7 月，X 油田砂巖油藏共鉆井78 口，其中直井50 口，水平井28 口，目前采油井70 口，累積采油24.48×104m3。2006 年8 月開(kāi)始注水，目前注水井8 口，累積注水6.68×104m3。

X 砂巖油藏屬于河流相沉積，屬于小型的地層加背斜構(gòu)造復(fù)合圈閉，油藏整體無(wú)統(tǒng)一的油水界面，含油面積79.6 km2。含油范圍既受巖性尖滅線限制，也受構(gòu)造控制。針對(duì)X 砂巖油藏，采用測(cè)井曲線組合對(duì)比的方法，首先從取心井的骨架剖面出發(fā)，確定全區(qū)閉合的精細(xì)地層劃分對(duì)比方案，進(jìn)而擴(kuò)展到全區(qū)78 口直井，建立X 砂巖油藏精細(xì)的地層格架。研究區(qū)內(nèi)X 砂巖油藏厚度為8 m～26 m，總體上具有由西向東、由南向北逐漸減薄的趨勢(shì)。X 砂巖油藏地層自下而上劃分為5個(gè)砂層。X 砂巖油藏共計(jì)有78 口井，其中部分直井與斜井位于同一個(gè)位置，因此在建模過(guò)程中，選出本區(qū)域具有代表性的38 口井進(jìn)行建模。

根據(jù)X 砂巖油藏沉積相分布情況，確定油藏的邊界，并將油藏的邊界進(jìn)行離散。X 砂巖油藏邊界及井位分布（見(jiàn)圖1）。根據(jù)圖1 油藏邊界的形狀，按照第1 部分的方法確定矩形油藏邊界四個(gè)頂點(diǎn)，第一頂點(diǎn)為37號(hào)點(diǎn)，第二頂點(diǎn)為16 號(hào)點(diǎn)，第三頂點(diǎn)為17 號(hào)點(diǎn)，第四頂點(diǎn)為36 號(hào)點(diǎn)。

2.2 矩形區(qū)中地質(zhì)模型建立及物性參數(shù)的建立與分析

為了使映射后建立的矩形區(qū)域的模型與原地質(zhì)模型在尺度上具有一致性，對(duì)矩形區(qū)域中的地質(zhì)模型進(jìn)行縮放。由于矩形邊界的第一點(diǎn)（37 點(diǎn)）位于坐標(biāo)原點(diǎn)，不存在平移，因此只需對(duì)帶狀區(qū)域邊界及帶狀區(qū)域中的井位乘以相應(yīng)的伸縮系數(shù)即可。根據(jù)映射伸縮系數(shù)的計(jì)算方法，計(jì)算得到x 方向的伸縮系數(shù)為2 462.986，y 方向的伸縮系數(shù)為22 230.606。因此在建立矩形區(qū)域的地質(zhì)模型時(shí)，對(duì)映射后矩形區(qū)域的井位及邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)，分別乘以x 方向和y 方向?qū)?yīng)的伸縮系數(shù)，同時(shí)分別除以矩形寬度和矩形的高度。在構(gòu)造、地層模型的控制下，通過(guò)不同模擬方法比較，最終選用了砂層厚度控制的序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏在映射后矩形區(qū)域油藏中的孔隙度參數(shù)場(chǎng)的分布（見(jiàn)圖2），孔隙度沿著矩形區(qū)域油藏的高度方向呈現(xiàn)條帶狀的分布。

圖1 油藏邊界映射為矩形區(qū)域的頂點(diǎn)選擇結(jié)果

圖2 矩形區(qū)域中X 砂巖油藏孔隙度分布模擬結(jié)果圖

2.3 矩形區(qū)域地質(zhì)模型與原區(qū)域模型的比較

針對(duì)原始油藏的數(shù)據(jù)，在構(gòu)造、地層模型的控制下，采用序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏映射前的孔隙度參數(shù)場(chǎng)的分布模型（見(jiàn)圖3）。從圖3 四個(gè)圖采用序貫高斯模擬孔隙度的方向與變差函數(shù)分析的方向基本一致，在河流改向后有一段與孔隙度的變化方向與河流流向垂直，造成這種結(jié)果的主要原因是由于變差函數(shù)的方向性引起的。在第2 小層、第3 小層和第5 小層的模擬中，孔隙度都呈現(xiàn)出明顯的方向性，而且這個(gè)方向由變差函數(shù)的方向決定。

圖3 X 砂巖油藏映射變換前的孔隙度分布圖

圖4 從矩陣區(qū)域還原到實(shí)際油藏邊界的X 砂巖油藏孔隙度分布圖

將區(qū)域的地質(zhì)模型通過(guò)Schwarz Christoffel 逆變換，將屬性參數(shù)還原到原油藏的實(shí)際邊界區(qū)域中，還原后的孔隙度分布情況（見(jiàn)圖4）。通過(guò)圖4 可以看出，進(jìn)行映射變換處理，孔隙度變化方向基本沿著河道方向，符合基本的地質(zhì)規(guī)律。矩形油藏的規(guī)則正交網(wǎng)格也被映射到實(shí)際油藏的模型中，也保持了一定的正交性。

3 結(jié)論及建議

根據(jù)Schwarz Christoffel 變換基本原理，建立曲流河邊界映射到矩形區(qū)域邊界的積分方程的數(shù)學(xué)模型。以鄂爾多斯盆地曲流河沉積的X 砂巖油藏為例，選擇了研究區(qū)域的38 口直井進(jìn)行分析，得出直接采用變差函數(shù)分析，原地質(zhì)模型物性分布依賴于變差函數(shù)，而通過(guò)Schwarz Christoffel 映射變換，可以減弱變差函數(shù)對(duì)物性依賴性。通過(guò)適當(dāng)選擇的變換點(diǎn)位，使得曲流河中物性分布更加符合地質(zhì)規(guī)律。