一種全局優化的激光光斑亞像素定中算法

徐尤南,高文海,宋小科,余昌鑫

(華東交通大學機電與車輛工程學院,江西 南昌 330013)

1 引 言

在盾構導向系統中,激光靶測量法用于測量盾構機姿態角,其原理是通過圖像預處理和定中算法確定激光靶在CCD上形成激光光斑中心位置[1]。這一方法同樣適用TBM姿態角的測量。據調查掘進機(包括盾構和TBM)的姿態誤差控制極限值為30 mm/m,而激光光斑直徑達2 mm左右。顯然,其定中精度對姿態測量誤差控制有較大影響,另一方面,激光光斑定中算法的速度還對掘進機姿態進行適時反饋控制有直接影響。因此,如何提高激光光斑定中精度及其算法效率,對掘進機姿態的測量與控制具有實際研究意義。

目前,激光光斑中心位置定中算法主要有質心法、Hough變換法、圓擬合法、高斯曲面擬合法等[2-5]。這些方法,雖然在一定范圍內滿足了各類光學測量場合中高精度光斑定位要求,但是也存在某些方面局限。如:質心法和圓擬合法計算速度快,但抗噪能力弱；Hough變換法在光斑邊緣較清晰時精度高,但耗時較長,易受干擾；高斯擬合法精度較高,但算法復雜,運算量大。

近年來,在激光制導、通信等領域,對激光光斑中心的檢測要求不斷提高,涌現了一些定位精度高,抗干擾性強的激光光斑定中算法,如加權插值法[6]、閾值分割法[7]等。其特點是以半導體激光器作為發光點,盡管在介質中傳播時受到各種干擾,但其在CCD表面形成的激光光斑的能量依然可以看作以中心對稱的高斯分布[8]。加權插值法對高斯光斑圖像內所有有效像元分組插值計算,對結果加權平均處理,使得定位精度達到0.01 pixels,同時提高了結果的穩定性,但容易受到內飽和的影響。閾值分割法則是改進Ostu閾值分割方法,使得對高斯噪聲和湍流影響抗干擾性有明顯提高,光斑定位精度得以提高,但同時也增加了原算法的計算量。

針對現有激光光斑的定中算法的不足,本文提出一種基于距離加權的激光光斑定中算法,旨在提高其算法的精度、穩定性與效率。擬通過人工光斑仿真分析算法的定中精度及其效率,通過不同噪聲水平下定中分析檢驗所述算法的穩定性和抗干擾能力,通過對實測激光光斑進行定中,檢驗該算法的有效性和實用性。所述算法,將為掘進機姿態測量精度和效率的提高提供參考。下面將從等效激光光斑模型的建立、評價指標和中心定位算法、仿真分析與實驗等方面對所述算法加以介紹。

2 等效激光光斑模型建立

理論上,單色激光照射到CCD表面上后,會形成一幅光斑灰度圖,且其光強等值線圖為一族同心圓,為方便敘述,將該圓稱為投影圓(圖1)。基于這一假設,與其激光光斑中心點C距離相等的點處的光強處處相等。據此,可建立識別其中心點C的等效物理模型。假定待識別的光斑中心點為P,以該點為參考點,在光斑圖像所在平面建立如圖2所示的笛卡爾坐標系P-uv,Ci為等效光斑上的投影圓,其上任意一點Q(r,θ),r為極坐標的半徑,θ為極坐標的極角,其對應的笛卡爾坐標為Q(u,v)。

圖1 單色激光光斑灰度圖Fig.1 Monochromatic laser spot

圖2 等效光斑物理模型Fig.2 Equivalent physical model of laser spot

(1)

與傳統的圓投影計算中采用Bresenham算法離散數字圓相比[9],本文采用一種整數圓離散,并根據等效光強原理,利用相鄰的兩投影圓內的整點,估計該投影圓上期望值,稱為整數圓投影。為計算方便,先對整點至與其相鄰的兩個整數投影圓間的距離進行定義:

(2)

式中,[r]為r(u,v)的向下取整值;λ(r),μ(r)分別為Q(u,v)點至相鄰兩個投影圓的距離;其半徑分別為[r]及[r]+1。由此可得,整數圓投影上光強的等效值為:

(3)

有了整數圓投影光強之后,即可對激光光斑進行重建。顯然,對于正好落在投影圓上的整點,其重建后的光強即為投影圓上的光強。顯然,僅有少數整點將落在投影圓上,為此,對于不在投影圓上的整點的光強需要根據相鄰的兩個整數投影圓的等效光強來估計,其計算式為:

(4)

下面將根據所建立的等效光斑模型與原光斑模型的差異,來建立識別P點是否為激光光斑中心的評價指標。

3 激光光斑中心定位

為建立識別P點是否為激光光斑中心的評價指標,有必要對等效光斑的特征進行簡要分析。顯然,如若P恰好位于C點,則所建立的等效光斑將于原光斑相同,如若P與C點有位置偏差,則所建立的等效光斑將于原光斑產生一定的差異。如若兩者距離較近,則其等效光斑將比原光斑略大,但光強略小(圖2)；如若兩者距離較大,則其等效光斑將出現中心及外側較暗的光環(圖3)。根據這一特征,可以根據等效光斑最大光強、等效光斑大小、等效光斑光強沿徑向分布來識別P點是否為光斑中心。

圖3 等效光斑Fig.3 Equivalent laser spot

上述方法,未考慮重建光斑與原光斑光強的具體分布差異,且有多個參數,評價不便。為此,定義識別點P與真實點C的距離指標PDI(Points Distance Index):

(5)

圖4 等效光斑與原光斑的光強差Fig.4 The Intensity difference between equivalent spot and original spot

圖4可以看出,如若P恰好位于C點,則所建立的等效光斑將于原光斑相同,PDI1=0。如若P與C點有位置偏差,則所建立的等效光斑將于原光斑產生一定的差異,PDI1≠0。這與之前的假定一致。

3.1 等效光斑評價指標確定

為考察上述評價指標的科學性,不失一般性,對如圖5所示的理想高斯光斑進行分析。該光斑大小為255×255為像素,中心點處于圖像中心位置。據式(5)所給出的指標計算結果,在整個區間的分布情況如圖6(a)、圖6(c)所示(為便于比較,圖中計算結果做了歸一化處理)。圖中注意到,雖然光斑中心為其全局最有點,但其同時還存在四個局部最優點,使得運用優化工具搜索時,有可能得到局部最優,而非全局最優。

圖5 理想高斯光斑三維模型Fig.5 3D model of ideal Gauss spot

為提高指標對誤差的敏感性,分別對以下指標進行了試探,結果如圖6所示。

(6)

圖6 各類指標分布圖Fig.6 Distribution map of various index

圖中可知,光強偏差平方和指標(PDI2)與光強絕對值之和指標(PDI1)相比,雖然其局部最優點的值更大,距離中心更遠,更容易識別,但其分布規律基本相同,不能消除其缺點(圖6(c)、(d))。采用光強絕對值反距離加權之和指標(PDI3)與光強絕對值之和指標(PDI1)相比,其共有無窮多個全局最優點分布在光斑四周,其光斑中心則為局部最優點,雖其識別更為容易,但仍然不能消除指標PDI1的缺點(圖6(e)、(f))。

采用光強絕對值距離加權之和指標(PDI4)與光強絕對值之和指標(PDI1)相比,只有光斑中心處一個最優點,且其等值線呈圓形(圖6(g)、(h)),因此,用優化算法搜索其最優點時,其算法將極為快速穩定。其原理在于,對于CCD采集的光斑圖像,由于激光光斑基本服從高斯分布,在±3σ以外范圍的像元影響幾乎為零,而越靠近中心的像元貢獻越大,相反越遠離待測光斑中心的光強偏差值影響越大。另外,通過整數投影圓的期望值有利與排除一部分噪聲的干擾。

綜上所述,本文采用距離加權的圓度偏差作為本文定中算法的評價指標,用于激光光斑的中心識別的表達式為:

(7)

式中,PDI為給定待識別中心P采用光強絕對值距離加權之和指標。

在全域范圍內,如若Q=0,則表示已找到絕對的光強中心C；如若Q≠0,則表示所述搜索點O與絕對光強中心C還有一定偏差。該式,利用距離抑加權法制了噪聲干擾對算法精度的影響。

3.2 光斑中心全局優化方法

為了找到激光光斑中心C,本文擬采用非線性問題的最優化算法,搜索C(x,y)的位置,確定目標函數為該加權值之和Q。

根據最優化理論,當目標函數F值最小時,所得解即為中心點坐標(x,y),因此其優化檢測模型如下,

s.t.

(8)

如圖7所示的是目標函數PDI歸一化后隨偏移距離d變化的關系曲線,其中偏移距離d為搜索點坐標至真實坐標中心(x0,y0)的像素距離值。

圖7 目標函數-偏置距離關系曲線圖Fig.7 Object function-bias distance relation curve

可以看出,當偏移距離d在全局范圍內,目標函數PDI是d的增函數,此時搜索中心為(x0,y0)時,目標函數最小。

經上述處理,激光光斑的中心定位等效為帶邊界約束的二元非線性最優化問題,本文采用常規的單純形優化算法求解。

4 仿真計算

圖5是服從高斯分布的理想激光光斑三維模型,從中可以看出激光光斑具有中心圓對稱的分布特點。圖8為不同噪聲水平的模擬激光光斑圖像,其中光斑大小為255×255像素,理論中心點坐標(128,128),當方差為0.05時,在高斯噪聲的干擾下,光斑圖像的中心已變得非常模糊,貼近實際光斑圖像。

圖8 不同噪聲下光斑仿真圖Fig.8 Spot simulation under different noises

4.1 定中精度

在無任何噪聲情況下,給定不同初始中心點,該算法所得定中結果如表1所示。表中可以看出,所述算法的收斂效果良好,且收斂范圍廣。經統計,定中結果隨著估計中心的偏移距離越小定中精度越高,且偏移距離d在光斑范圍內,x和y軸方向極限誤差絕對值均優于1.0×10-4(保留至小數點后四位),最大定中誤差為0.0002,定中誤差的標準差為0.0001,該方法可以實現亞像素級定位精度。

表1 不同初始估計中心定中結果Tab.1 Center of laser spot determined by different initial point

4.2 穩定性和抗干擾性

如表2所示,添加不同水平的噪聲模擬實際激光光斑,分別為常見的高斯噪聲、椒鹽噪聲以及隨機噪聲,每個樣本容量為1000。其中高斯噪聲均值為0,方差則分為0.005、0.02和0.05等三個水平；椒鹽噪聲密度為0.02；隨機噪聲均值為0,方差為0.2。

表2 不同噪聲水平下的仿真結果Tab.2 Statistical results corresponding to different noise level

表中可以看出,在均值為0,方差為0.05的高斯噪聲水平下,該算法定中結果依然保持較小的定中誤差和標準差,且中心搜索時間小于0.35 s,基本滿足激光光斑亞像素級定位要求。

5 實驗驗證

利用CCD采集激光光斑圖像經圖像處理為二值化圖像,如圖9所示。通過比較質心法和該算法的定中結果,可以看出光斑的中心不在質心處(標記*),這是由于大氣湍流,各種光學噪聲等因素,造成實際光斑光強不再嚴格服從高斯分布[10]。點1為初始估計中心(185.5,210.54),點2為本文算法定中坐標(193.3370,202.8271)。

圖9 光斑中心檢測結果Fig.9 Spot center detection results

給出不同估計初始中心,該算法檢測到的光斑中心和最優化目標函數值,如表3所示,可以看出,該算法具有較好的定位精度,穩定性。定中結果均近似等于平均值(193.3366,202.8267)。該算法在檢測中心處的目標函數值為3.59×108,對不同偏移距離的初始估計中心收斂。若要進一步優化定中精度,在不改變光斑中心的情況下,可以對光斑圖像進行高斯濾波預處理。

表3 不同估計初始中心檢測結果Tab.3 Detection results of initial centers with different estimates

6 結 論

本文根據激光光斑光強服從高斯分布和圓對稱的特點,提出了一種基于整數圓投影的全局優化中心定位算法。該法首先通過估計中心點重建等效光斑,使得整數圓光強為期望均值,計算差分圖像的圓投影絕對值；接著構建了若干種圓度偏差指標,并確立了圓度偏差的距離加權之和作為最終評價指標；然后,以所述評價指標為優化目標,建立了最優化數學模型,根據目標函數最小值確定光斑中心點。所述方法具備其他算法所沒有的全局收斂能力,仿真和實驗結果表明,該算法能從含有大量噪聲的光斑圖像中找到激光中心,具備小于0.1 pixels的亞像素級定中精度,可靠的穩定性和較快檢測速度,能滿足盾構導向系統中激光光斑定中要求。該算法也可用于類似的具有圓對稱特征的光斑圖像中心檢測,且可以與其他方法融合,通過兩步法定中,以進一步提高算法效率。