慣組中光纖陀螺溫度漂移的二維插值建模研究

白子杰，蔡春龍，牟玉濤

(北京航天時代光電科技有限公司，北京 100094)

0 引言

光纖陀螺是基于薩格納克(Sagnac)效應進行角速度測量的光學慣性儀表。因其具備可靠性高、體積功耗小、生產工藝相對簡單等優點，被越來越廣泛地應用于航空航天及武器裝備領域中。以光纖陀螺為基礎的捷聯慣性導航系統也正逐步向高精度發展。

光纖陀螺工作于慣性測量組合中，輸出慣組自身三軸方向的角速度，用于對應慣導系統的對準與導航計算。光纖陀螺因本身儀表的精度限制和所處不同工作環境的影響，輸出與真實值會存在誤差，其中零偏是主要誤差之一。光纖陀螺的工作原理和器件構成使其對溫度較為敏感，溫度相關變量的變化會使其輸出產生很大波動，從而使零偏產生溫度漂移。零偏的溫度漂移會對慣組所在慣導系統的導航精度產生影響，因此該誤差是光纖慣導向高精度發展過程中必須解決的問題之一。

20世紀80年代初期D. M. Shupe發現在干涉型光纖陀螺中，光纖環溫度變化時會產生熱致非互易性相位延遲，并命名為Shupe效應[1]。Shupe效應從理論上分析了溫度漂移產生的原因。在此之后F.Mohr研究證實了使用四極對稱繞法繞制光纖環可以極大地降低光纖陀螺中因溫度變化產生的相位誤差，但是這種方法繞制的光纖環過于理想，在實際應用中并不能完美實現。

目前，針對溫度漂移誤差可以使用溫度控制或溫度建模補償來消除。當光纖慣組的工作環境溫度范圍較大時，溫度控制的升溫幅度較大、啟動時間過長，升溫相對較難實現且不利于系統的快速響應。溫度建模補償則能更好地解決此問題。目前，溫度建模多采用多項式模型的擬合方法，如最小二乘法，因其原理簡單、用法成熟被廣泛應用于各種產品中。同時隨著計算機技術的發展，神經網絡也得到了人們的重視。單獨使用各種不同的神經網絡或與其他方法組合建立非線性模型的方法也得到了研究。張瀟等在研究分類建模的過程中使用了最小二乘法建模[2]；周琪等研究了利用自適應神經模糊推理系統(Adaptive Network-based Fuzzy Inference System，ANFIS)對光纖陀螺溫度漂移誤差進行建模補償[3]；胡國欣等在研究基于跟蹤微分器的建模時，使用了徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)神經網絡的方法進行建模[4]；李健等研究了基于小波神經網絡的光纖陀螺溫度建模補償[5]。

但是多項式模型的擬合方法在較復雜的輸出情況下，擬合效果有限；而神經網絡的方法計算量較大，所需時間較長，且無法直觀得到所建立模型，不利于在工程上的應用。本文經研究發現，可以利用二維插值模型對溫度漂移誤差進行補償[6]，并對比多項式模型進行分析。

本文首先通過研究光纖陀螺的工作原理及溫度漂移誤差產生的原因，分析了相關變量對溫度漂移誤差的影響。在對比使用多項式模型中最小二乘法建模補償的結果后，基于二維插值的方法對光纖陀螺的輸出進行建模補償，并通過試驗對其結果進行了驗證。

1 溫度漂移誤差機理分析

光纖陀螺是基于薩格納克效應進行工作的，即沿閉合光路相向傳播的兩束光波之間的相位差正比于閉合光路法向的輸出角速度。在光纖陀螺相對慣性空間存在轉動時，兩束相向傳播的光傳播路程發生變化，從而產生時間差Δt，最終引起相應的相位差，其相位差如式(1)

(1)

其中，λ0為光的波長，Ω為轉速，Δφ為相位差，l為光纖環長度，r為光纖環半徑。

光纖陀螺所在工作環境溫度的不同以及在工作中自身溫度的不斷上升，使其輸出發生變化，即產生溫度漂移誤差。光纖線圈是光纖陀螺的重要部件之一，當光纖線圈上某段光纖的溫度隨著時間發生變化時，自身的折射率也會隨之變化。相向傳播的光在光纖線圈中經過該段光纖的時間不同，因其折射率的不同，它們所經歷的光程也不同，從而產生相位誤差，被稱為非互易性相位延遲，即Shupe效應。這種相位誤差無法與薩格納克效應相區分，從而產生了零偏的溫度漂移誤差[7-9]。

假設光纖線圈的總長度為L，其中因溫度變化產生的相位延遲為

(2)

其中，k為真空中的波數，即波長λ的倒數，理論物理中定義為k=2π/λ，n為折射率，α為光纖線性膨脹系數，L為光纖總長，ΔT為光纖溫度的變化。

當兩束光波分別沿順時針(Clock Wise，CW)與逆時針(Counter Clock Wise，CCW)傳播時，達到初始端時刻為t，則經過l處的時刻分別為

(3)

其中，c為真空中光速，c0為光在光纖中的傳播速度c0=c/n。

代入(2)式可求出兩束光分別產生的相位延遲ΔφCW與ΔφCCW。相減后，再經過整理得到相位差公式

(4)

為了抑制Shupe效應，減少相位誤差，在實際中可以采用對稱法來繞制光纖線圈，這樣可以很大程度上保證光纖環對稱部分的一小段光纖具有相同的溫度，從而具有相同的折射率。但是這種方法要求光纖線圈繞制處于絕對理想的狀態中，在實際中無法完美實現，并不能完全解決Shupe效應帶來的誤差。

同時，本文使用的某型號光纖慣組要求工作環境溫度范圍較大。在溫度不同的環境下，光纖陀螺內部的光源、光纖環、探測器等光學器件以及慣組中其他結構零件，由于熱脹冷縮造成的形變和擠壓等也會產生漂移誤差。慣組在通電啟動后，光纖陀螺等各部件會產生熱量使自身溫度升高并向外傳播，此過程光纖陀螺的溫度持續升高，直到工作一定時間后，溫度才會達到穩態。在溫度由低升高到最終穩態的過程中，溫度變化率在從大向小發生變化，相應也造成了溫度漂移誤差。最后慣組在工作時，內部會產生一個變化的溫度場，若當前環境溫度變化較快時，內部器件因受熱不均也會產生溫度延遲，造成漂移誤差[13]。

本文使用的光纖慣組陀螺在某溫度下工作一段時間，其溫度、溫度變化率、角速度原始輸出如圖1所示，可見在慣組正常工作時陀螺因溫度的變化使輸出產生了較大的漂移誤差，遠遠高于陀螺本身的精度，因此必須針對溫度相關信息對陀螺進行建模補償，抑制溫度漂移誤差。

圖1 光纖陀螺溫度、溫變率與原始輸出Fig.1 Temperature, temperature change rate and original output of fiber optic gyroscope

2 誤差模型的分析與建立

光纖陀螺安裝于慣組中，陀螺轉動將兩束光傳播產生的相位差轉化為電信號，然后轉換為脈沖信號輸出，信號輸出在DSP中經過標度因數等參數的計算后得到慣組的角速度。光纖陀螺在工作時其輸出與輸入角速度存在如下簡化關系

D=Kω+D0+ΔDT+ε

(5)

其中，K為陀螺標度因數，ω為輸入角速度，D0為零偏，ΔDT為零偏溫度漂移誤差，ε為隨機誤差。其中ΔDT主要由Shupe效應產生的非互易性相位延遲所造成。

光纖陀螺在工作時環境較為復雜,其輸入輸出存在某種特定的關系，同樣溫度、溫度變化率等溫度相關變量與溫度漂移誤差也存在某種特定的關系。通過第1節的理論分析得出，溫度與溫度變化率能夠直接造成光纖陀螺漂移誤差的產生，但因為在慣組中溫度對其他部件也造成影響，多種效應共同作用產生最終的漂移誤差，所以很難理論分析出具體的數學關系。因此需要使用系統辨識的方法，把慣組視為一個黑箱，通過對慣組試驗所得數據進行分析，建立數學模型，使用模型擬合出這種特定的關系，從而用數學的方法補償掉光纖陀螺的溫度漂移誤差，使其輸出更加逼近真實情況。

2.1 多項式模型

傳統建模方法多使用多項式模型進行擬合，最小二乘法是其中一種在工程中被廣泛應用的多項式擬合方法。所謂最小二乘，是一種數學上的優化方法，使擬合出的模型與實際數據的偏差平方和最小。但在實際試驗中發現，僅使用單一的溫度T與溫度變化率ΔT作為輸入時，往往擬合效果并不理想。分析發現其他的溫度相關變量，如溫度與溫度變化率的不同冪次項、溫度與溫度變化率的乘積，以及各自不同冪次項與對方的乘積都會對溫度漂移誤差產生影響，因此應在自變量的選擇中添加上述變量。

在MATLAB中對光纖陀螺輸出與溫度、溫度的不同冪次項、溫度變化率、溫度變化率的不同冪次項、溫度與溫度變化率的乘積等變量進行逐步回歸分析[14]。在分析中將變量逐個引入模型，每次引入一個新變量進行F檢驗，同時對已經引入的變量進行t檢驗，在檢驗的過程中刪除不顯著的變量，使模型中任意一個變量都是顯著的。當最終引入所有變量后，不再有新的變量引入時，模型中剩下的所有變量均為顯著。

根據顯著性分析所得結果判斷，選取下列各項作為自變量

建立陀螺輸出與上述變量相關的模型為

Y(T,ΔT)=Y0+f1(T)+f2(T2)+f3(T3)+

f4(ΔT)+f5(ΔT2)+f6(ΔT3)+

f7(T×ΔT)+f8(T2×ΔT)+

f9(T×ΔT2)+f10(T3×ΔT)+

f11(T×ΔT3)

(6)

對上述模型進行最小二乘擬合：設X是某一確定性常值向量，無法直接觀測到X，只能觀測到X各個分量的線性組合Z。其中關系如下

Z=HX+V

(7)

(8)

經過推導得出使式(8)成立的條件為

(9)

(10)

因此，構造矩陣H包含所有溫度相關變量自變量，同時構造參數矩陣X包含模型中溫度相關變量的系數，y為陀螺原始輸出，可得

y=H×X+ε

(11)

利用最小二乘法得

(12)

此時，求得了此多項式模型中的所有參數，代入其他數據即可完成模型的建立。

2.2 二維插值模型

在以往的試驗分析中，使用多項式模型往往不能很好地適應不同位置下的輸出，尤其在試驗數據較為復雜的情況下，會產生很大的誤差。因為把慣組在不同溫度下工作的數據放在一起時波動較大，在不同溫度下升溫速率也不相同，許多關鍵的數據點在多項式擬合中會被當作誤差所忽略。所以在最小二乘建模中，僅在選取的自變量上優化也不能很好地擬合出整個試驗范圍內的輸出結果。針對這一規律，本文發現使用插值法更適合在該情況下的模型建立。插值法會使模型一定通過所選中的數據點，保留數據中這些具有特點的真實結果，同時也能使模型更好地符合真實情況。

根據之前理論分析，使用插值法建模時需要使用溫度T與溫度變化率ΔT這2個變量進行二維插值。一般的二維插值使用的數據為等間距且單調變化的網格形式，但是慣組實際工作時的數據并不能按照溫度與溫變率這2個方向排列成標準的網格形式，無論是溫度還是溫變率均難以在試驗中控制為不同的標準大小。因此在建模時只能使用基于不規則的散點數據進行插值的方法。

在插值法建模中，第一要考慮已知數據點的選擇，需要讓選出的數據點大致均勻地分布在需要估計出的點的周圍，在數據密集處選擇較多的數據點，在數據稀疏處選擇較少的數據點，分布不均的數據往往會造成較大的插值誤差。第二要注意數據點的篩選，過多的數據點并不會使插值的準確度提高，反而會因為數據過多造成冗余，掩蓋住真實的結果，對某一次的試驗數據過度擬合后，對其他位置試驗數據的重復適應性會相應變差。過多的數據點也會造成數據計算量過大，增加計算時間。慣組在啟動初期溫度變化較大，相同時間內數據較少且變化較為規律，百秒平滑后每個數據均可選擇；隨著溫度變化幅度變小后，溫度在較小范圍內波動，相同時間內數據變多，為了更好地反映數據變化規律，每隔2～3個數據擇一個[15]。

經過多次測試，在每個啟動溫度點下根據溫度變化的快慢且參考變化趨勢的規律性，選擇適量的原始數據點，畫出以溫度與溫變率為自變量，陀螺輸出為因變量的三維曲面圖(其中x、y軸為溫度與溫變率，z軸為陀螺原始輸出)，圖2所示即為二維插值模型的基礎。

圖2 陀螺原始輸出曲面Fig.2 Gyro original output surface

在圖2的基礎模型上進行插值，得出自變量范圍內所需新的溫度與溫變率下陀螺的輸出值。相較于一維插值，二維插值更為復雜，但許多一維插值的方法無法適用。對于曲面上的插值，首先把數據點投影至自變量所在平面，需要根據已知的數據點表示出自變量平面內任意一點，當使用的數據點是標準的網格形式時較容易實現。但是因為慣組的數據為不規則的散點，不能根據橫縱坐標分割成標準的矩形，因此要重新對x、y軸所在的二維平面進行分割。Delaunay三角剖分法可以根據一定的算法，建立空間中散點的聯系，最終使平面形成三角網格的形式，然后可以依據此三角網格進行插值。

首先，把溫度與溫變率所在平面組成的平面點集按Delaunay方法進行三角割分，然后進行數據的插值計算。假設經過分割后平面內某3個點組成三角形，3個點分別為A、B、C，其中每個點對應的值為f(A)、f(B)、f(C),此三角形內任意一點X可以用相對此三角形的重心坐標來表示

X=lA+mB+nC

(13)

其中，l、m、n為坐標系數，當0

X點輸出線性插值表示為

f(X)=l·f(A)+m·f(B)+n·f(C)

(14)

因此，想要求得任意點的線性插值，需要求出式(14)中的系數l、m、n。假設三角形3個頂點為3個已知數據點，其中每個頂點溫度表示為T1、T2、T3，溫變率表示為ΔT1、ΔT2、ΔT3，陀螺輸出表示為y1、y2、y3。所求插值點X的溫度為T、溫變率為ΔT、陀螺輸出為y。

陀螺輸出可使用自變量線性表示為

yi=aTi+bΔTi+c

(15)

以此建立三元一次方程組

(16)

求解可得

(17)

對于三角形任意一點X的輸出，可表示為

(18)

將式(16)代入式(17)中，可求得系數l、m、n

(19)

將式(19)代入式(13)中，即可求得任意點X在二維線性插值下的陀螺輸出。依照此方法可以根據圖2中的原始模型，插值出任意定義域范圍內陀螺的輸出值，以此進行建模補償。

3 試驗設計與驗證

根據模型需求搭建試驗平臺，試驗用光纖陀螺采用了光電公司某型號光纖慣組產品中的光纖陀螺，其精度達到5‰。試驗以此慣組為基礎，同時還包含溫箱、直流穩壓電源、通信電纜、數據串口盒、測試電腦等設備。試驗具體設計為：使慣組在不同溫度下啟動并工作2h，直到內部陀螺溫度趨于穩定并記錄采集數據。

首先進行第1組試驗，將慣組放置于溫箱中，在-40℃～60℃范圍內設置以下溫度點：-40℃，-25℃，-10℃，5℃，20℃，35℃，45℃，60℃。在第1個溫度點充分保溫，在確保慣組中的陀螺處于設定溫度點后，慣組上電進行測試。2h后慣組斷電，在第2個溫度點再次充分保溫后上電測試。依次完成所有溫度點的測試并保存好數據后，改變慣組位置進行第2組試驗，同樣按照設定的溫度重復進行上述步驟，用于驗證模型效果。實驗平臺如圖3所示。

圖3 試驗平臺Fig.3 Test platform

本慣組采樣頻率為1000Hz，所得數據在疊加了白噪聲后，其真實的輸出結果被淹沒在噪聲中無法看出變化，同時過多的原始數據會造成冗余對于插值建模反而不利。因此對于原始數據進行百秒平滑，減少噪聲對慣性器件輸出的影響，消除了不穩定的噪聲對輸出數據的影響，之后對經過平滑的溫度數據使用差分法求得對應的溫度變化率。經過平滑后的陀螺溫度、溫度變化率、輸出數據如圖4所示。

圖4 經平滑處理后的試驗數據Fig.4 Test data after smoothing

使用平滑處理后的第1組試驗數據建立多項式模型，之后把第2組試驗中相同陀螺的輸出數據輸入該模型。其模型擬合效果及補償后的結果如圖5所示。

圖5 最小二乘建模結果Fig.5 Modeling results of the least squares model

通過補償結果可見，以此方法擬合的模型，對相同陀螺的不同試驗數據補償的結果并不理想，尤其是在-25℃下的補償結果。這種在不同溫度下啟動的工作數據組合在一起波動較大，而傳統多項式模型在此情況下擬合能力有限，無法滿足更高精度的要求。

之后使用二維插值方法建模，按2.2節中圖2所選擇的數據點作為插值的基礎模型。把另一組驗證數據的溫度和溫變率作為插值點的自變量輸入模型，得到插值點的輸出值。此模型補償后結果如圖6所示。

圖6 二維插值建模結果Fig.6 Modeling results of the two-dimensional interpolation model

通過圖6與圖5對比可以看出，二維插值模型的補償效果明顯優于最小二乘法的多項式模型擬合。慣組在-25℃啟動時的數據也得到了較好的補償。

表1列出了陀螺輸出數據補償前與多項式模型和二維插值模型進行溫度建模補償后的結果對比。

表1 補償前后陀螺零偏穩定性

從表1中可以看出，通過二維插值建模對陀螺輸出數據進行補償，很大程度上減小了因溫度造成的零偏漂移誤差，使陀螺的零偏穩定性由補償前的0.0153(°)/h減小到0.0051(°)/h；使慣組在剛剛啟動工作溫度并未達到穩態勢時，輸出仍較為穩定，繼而使慣導系統在上電短時間內對準導航精度得到提升。

4 結論

目前，光纖慣組中陀螺輸出因受溫度影響而產生溫度漂移誤差，很大程度上限制了其向高精度的進一步發展,本文經研究分析:

1)從光纖陀螺溫度漂移誤差產生的機理入手，分析了Shupe效應的影響以及產生溫度漂移誤差的事實。

2)建立光纖陀螺的溫度誤差模型，對比了傳統的多項式擬合方法，得出的補償結果并不理想。

3)提出了一種使用二維插值法對慣組中光纖陀螺溫度漂移誤差進行建模補償的方法。經過試驗的設計與驗證，有效地補償了慣組輸出因溫度相關信息而產生的誤差項，使陀螺的零偏穩定性大大減小，且優于傳統多項式模型，在工程中具有一定的應用價值。