基于Hanning Window 設計FIR 數字高通濾波器*

陳紹榮，徐 舜，沈建國，朱行濤

（陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035）

0 引 言

一般有限沖激響應(FIR)數字濾波器均要求設計成具有線性相位。國內《數字信號處理》著作[1-3]， 對四種線性相位濾波器的頻率特性，均是先研究有限長對稱序列的z變換及其零極點分布，再研究有限長對稱序列在單位圓周上的z變換具有的特征，即序列的傅里葉變換具有的特征，其過程十分冗長。基于著作[4]，本文提出了一種研究線性相位FIR數字濾波器幅度函數的簡潔方法，首先揭示了偶對稱和奇對稱的線性相位FIR數字濾波器幅度函數的特點，然后研究了矩形窗函數對線性相位理想數字低通濾波器幅頻特性的影響，最后介紹了利用Hanning Window 來設計FIR數字高通濾波器的步驟及方法。

1 線性相位FIR 數字濾波器幅度函數的特點

1.1 實序列的傅里葉變換具有的特征

序列h(n)的傅里葉變換定義為：

式（1）表明，一個序列h(n)的傅里葉變換H(ejω)是一個周期為2π的周期函數。通常將區間[-π,π] 稱為H(ejω)的主值區間。

若序列h(n)為實序列，則有：

考慮到式（2），由式（1）可得：

式（3）表明，實序列的傅里葉變換具有的特征是：實序列的傅里葉變換的反褶與傅里葉變換取共軛等價。

1.2 線性相位條件

（1）偶對稱情況

若FIR數字濾波器的單位沖激響應h(n)是n定義在0 ≤n≤N-1 的N點長序列，并且滿足：

由于h(0)=h(N-1)，h(1)=h(N-2)，…，因此，稱h(n)為偶對稱序列，并將n=(N-1)/2 稱為偶對稱軸。

若h(n)是實序列，對式（4）兩邊取DTFT，并注意到式（3），則FIR數字濾波器的頻率特性可寫成：

記：

式中，Hg(ω)稱為幅度函數，φ(ω)稱為相位函數。注意，這里的Hg(ω)是ω的實函數，可為正值，也可為負值，即Hg(ω)=±|H(ejω)|。

考慮到式（6），則式（5）可寫成：

由式（7）可得：

由式（8）可得線性相位函數，即：

將式（9）代入式（6），可得FIR數字濾波器的頻率特性，即：

（2）奇對稱情況

若FIR數字濾波器的單位沖激響應h(n)是n定義在0 ≤n≤N-1 的N點長序列，并且滿足：

由于h(0)=-h(N-1)，h(1)=-h(N-2)，…，因此，稱h(n)為奇對稱序列，并將n=(N-1)/2稱為奇對稱軸。

若h(n)是實序列，對式（11）兩邊取DTFT，并注意到式（3），則FIR數字濾波器的頻率特性可寫成：

記：

考慮到式（13），則式（12）可寫成：

由式（14）可得：

由式（15）可得線性相位函數，即：

將式（16）代入式（13），可得FIR數字濾波器的頻率特性，即：

1.3 偶對稱線性相位數字濾波器幅度函數的特點

考慮到式（10），則有：

考慮到式（74）及式（75），并注意到WR(ω)為偶函數，由式（77）可得：

于是：

由式（80）可知，所設計的線性相位FIR 數字高通濾波器滿足阻帶最小衰減指標的要求。

4 結 語

本文提出了一種研究線性相位FIR 數字濾波器幅度函數的簡潔方法。首先揭示了偶對稱和奇對稱的線性相位FIR 數字濾波器幅度函數的特點；然后研究了矩形窗函數對線性相位理想數字低通濾波器幅頻特性的影響，并得到了一些有益的結論；最后給出了基于Hanning Window 來設計線性相位FIR數字高通濾波器的實例。