基于離散蒙特卡洛的一種3T1R并聯機構工作空間分析

李旭，羅霞，羅成，孫淼

基于離散蒙特卡洛的一種3T1R并聯機構工作空間分析

李旭1，羅霞1，羅成1，孫淼*,2

（1.東方電氣集團東方汽輪機有限公司，四川 德陽 618000；2.四川省機械研究設計院，四川 成都 610063）

針對一種拓撲結構為2-PRPU型的3T1R空間并聯機構，采用離散式蒙特卡洛法，通過對動平臺轉動自由度作離散化處理，在輸入對稱的情況下，實現了整個空間并聯機構的定姿態工作空間、可達工作空間和靈活工作空間的可視化。從定姿態工作空間、靈活工作空間和可達工作空間的角度分析2-PRPU型空間并聯機構的工作性能，表明該機構動平臺的可達工作空間范圍較大，且大部分為靈巧工作空間。這為多自由度空間并聯機構的研究和應用提供理論基礎。

3T1R；并聯機構；工作空間；離散蒙特卡洛

并聯機構是具有兩個或兩個以上自由度，且以并聯方式驅動的一種閉環機構[1-2]，其中3T1R并聯機構[3-6]能夠實現三個方向的平移和繞一個軸的轉動。根據所繞軸線的不同，可將3T1R機構分為3T1R、3T1R、3T1R，即動平臺可實現三維平動（,,）和分別繞、、軸的轉動[7]。目前應用最多的是3T1R型并聯機構。在實際生活中，3T1R并聯機構由于剛性好、動態性能好等優點在快速抓取、高速分揀等領域被大量應用。工作空間是3T1R機構工作性能的重要指標之一，通過對工作空間的可視化研究可以幫助設計人員完善和改進機構設計，幫助控制人員完成路徑規劃等。

并聯機構工作空間的研究方法主要有解析法、圖論解法及數值法[8]，其中以解析法和數值法最為常見。解析法具有較高的精度，但依賴于求解機構運動學正解，而對并聯機構而言，正解求解過程一般非常繁瑣。數值法既可依賴于機構運動學正解也可依賴于機構運動學反解，由于正解求解困難，故數值法一般通過機構的運動學反解分析工作空間。文獻[9-10]使用數值法分析了六自由度并聯機構的工作空間。文獻[11-12]采用極坐標搜索法研究3-RRR平面并聯機器人的工作空間邊界，并對邊界進行了優化。文獻[13]采用基于混沌映射算法的水波法對并聯機構的工作空間進行快速搜索，并對相應的機構參數進行了優化研究。文獻[14]中通過D-H方法建立3-PRRU并聯機構的正解數學模型，得到非線性方程組，利用MATLAB數值求解方程，實現了工作空間的仿真。

1 2-PRPU機構描述與分析

本文研究的2-PRPU型3T1R空間并聯機構如圖1所示。O-yz和O-yz分別為固定在機架和動平臺上的笛卡爾坐標系，它們通過2個PRPU支鏈相互連接，每個PRPU支鏈包含一個與機架相連的PR副（P副與R副組成一個C副），C副的軸線平行于U鉸鏈中第一個R副的鉸鏈。動平臺通過2個R副與2個支鏈相連，兩個R副的軸線相互平行并且在運動中一直保持平行關系。1和3分別是點1和2到定坐標系原點O的距離，表示兩個與機架相連的P副的輸入運動變量。2和4分別是構件11與22的長度（即支鏈長度），表示剩下兩個P副的輸入運動變量。表示構件12的長度。姿態角是構件12與軸間的夾角（逆時針方向為正），表示了動平臺的轉動運動。角度θ（＝1,2,…,6）分別表示了6個R副的副變量。1和θ2、4和5、3和6依次為與軸、、的逆時針方向夾角。

圖1所示機構中，兩個C副的軸線分別平行于軸和軸，因此兩個U鉸鏈的第二個R副的軸線均平行于軸。1和2是兩個U鉸鏈的幾何中心。1（2）是1（2）到軸（）垂線的垂足。兩個U鉸鏈的第二個R副的軸線方向必須保持相互平行，而兩個U鉸鏈的第一個R副轉動方向均由各自相連的PRPU支鏈從幾何上確定。因此，在運動過程中動平臺法方向不變，動平臺始終繞（）軸旋轉。

圖1 機構示意圖

2 機構的位置反解與約束條件

以四元組(1,2,3,4)T表示輸入運動空間中的一點，1、2、3和4對應各個驅動器的運動變量。以在定坐標系O-yzb中動平臺上點1坐標(1,1,1)和姿態角唯一表示動平臺的位姿。以四元組(1,1,1,)T表示工作空間中的一個點，即機構的實際工作空間由(1,1,1,)T的集合表示。

直接由圖1可以得下列關系：

式中：1、2、1、2為在坐標系O-xyz中對應各點的坐標向量。

運動學反解分析是在給定動平臺位姿的情況下，找到所有滿足約束條件的驅動器參數，即在給定(1,1,1,)T的情況下，找到所有的(1,2,3,4)T。在本文研究的2-PRPU型3T1R并聯機構中，一旦給定1、1、1和，輸入運動參數1和2可以計算為：

然后，2點的坐標可以由式（3）算出：

最后，剩下的輸入運動參數3和4計算為：

考慮對應于實際情況的P副一般由直線電機或者油缸等驅動器驅動，其直線行程有一定范圍，相應地假設該2-PRPU型3T1R并聯機構中四個P副的直線輸入運動在一定范圍內且均為[0,20]。則可有如下工作空間約束條件：

3 并聯機構工作空間分析的離散式蒙特卡洛法原理

3T1R機構包含四個自由度，其可視化相對較難，往往需對其降維。本文采用的離散式蒙特卡洛法不但可應用于最常見的3T1R型四自由度并聯機構，亦可用于3T1R型和3T1R型。

離散式蒙特卡洛法基于蒙特卡洛法，是一種利用“隨機數”或“偽隨機數”結合機構運動學反解進行并聯機構工作空間可視化分析的方法，其適用于絕大多數3T1R空間并聯機構。關于離散式蒙特卡洛法的具體原理介紹及算法流程可以參考文獻[15]。結合前期的工作，可以給出應用Mathematica軟件分析該2-PRPU并聯機構的算法，如圖2所示。

圖2 計算流程圖

4 工作空間可視化分析

下面以本文中的2-PRPU型3T1R空間并聯機構工作空間可視化為例，在Mathematica中可視化分析機構的定姿態工作空間、靈活工作空間和可達工作空間，相關參數如表1所示。

表1 機構相關參數表

4.1 定姿態工作空間

定姿態工作空間是指機構的動平臺在約束條件下以某一固定姿態，動平臺參考點能夠到達的所有位置的點的集合[16]。本文機構中，用前面所述的角表示動平臺的繞（）軸的姿態夾角，1為動平臺參考點，則定姿態工作空間S是取定每一個α角對應的1點所能達到的范圍。這里取姿態角為0、π/4、π/2、3π/4、π對應的定姿態工作空間如圖3所示。

圖3 姿態角為0、π/4、π/2、3π/4、π時定姿態工作空間

從圖3可以看出，當姿態角為π時，工作空間是最大；當姿態角為π/2時，工作空間最小。姿態角從0～π過程中，工作空間呈現先逐漸較小后逐漸增大的趨勢。

4.2 可達工作空間

機構的可達工作空間指在結構限制下機構動平臺的姿態角在0～2π范圍內連續變化，所得到的所有定姿態工作空間的并集[17]。從圖4可以看出，該并聯機構的可達工作空間體積較大，邊界清晰且內部無空腔或空洞，機構動平臺運動范圍較大。這有利于該型3T1R并聯機構的實際應用，也能為在該機構基礎上改進大工作空間的并聯機器人提供參考。

4.3 靈活工作空間

靈活工作空間指機構末端執行器任意能夠到達的區域[18]。靈活工作空間范圍越大說明機構的工作性能越好。給出2-PRPU型3T1R空間并聯機構的靈活工作空間如圖5所示，可以看出該機構的靈活工作空間占可達工作空間的比例較大，因此該機構具有較好的工作性能。

圖5 靈活工作空間

5 結論

結合離散式蒙特卡洛法分析了2-PRPU型3T1R空間并聯機構的定姿態工作空間、可達工作空間、靈活工作空間，結果表明該2-PRPU的定姿態工作空間隨姿態角變換而變化，且在姿態角為π時最大。通過各姿態角對應的定姿態工作空間的并集，可得該機構的可達工作空間，從可達工作空間的可視化結果可看出，該機構的動平臺能到達的空間范圍較大，這將為該機構的實際應用奠定有利基礎。通過各姿態角對應的定姿態工作空間的交集得到該機構的靈活工作空間，可發現靈活工作空間占可達工作空間的比例較大，但還有提升空間，這將為以后改進該機構提供參考。

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A Discrete Monte Carlo Approach to Workspace Analysis of a Type of 3T1R Parallel Mechanism

LI Xu1，LUO Xia1，LUO Cheng1，SUN Miao2

(1.Dongfang Turbine Co., Ltd., Dongfang Electric Corporation, Deyang 618000, China; 2.Sichuan Provincial Machinery Research & Design Institute, Chengdu 610063, China)

The paper studies a type of 3T1R spatial parallel mechanism with the topology of 2-PRPU. Discrete Monte Carlo approach is applied to perform the discretization of the rotational degrees of freedom of the moving platform, which enables the visualization of the fixed-orientation, reachable and dexterous workspace of the mechanism with symmetrical inputs. The performance analysis of 2-PRPU mechanism based on fixed- orientation, reachable and dexterous workspace indicates that the reachable workspace of the mechanism’s moving platform is large and the dexterous workspace accounts for a large proportion of the reachable workspace, which laid the foundation of the research and application of multi-DOF parallel mechanism.

3T1R；parallel mechanism；workspace；discrete Monte Carlo

TH112

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.05.005

1006－0316 (2020) 05－0027－06

2020－01－06

四川省科技計劃（國際合作）資助項目（2018HH0144）

李旭（1977－），男，四川資陽人，高級工程師，主要研究方向為機械設計及制造。*通訊作者：孫淼（1987－），男，四川德陽人，工學碩士，工程師，主要研究方向為機構學、機電控制，E-mail：sunmiao198@sina.com。